Vanishing properties of $f$-minimal hypersurfaces in a complete smooth metric measure space

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

Let $(N^{n+1},g,e^{-f}dv)$ be a complete smooth metric measure space with $M^{n}$ being a complete noncompact $f$-minimal hypersurface in $N^{n+1}$. In this paper, we extend the classical vanishing theorems for $L^2$-harmonic $1$-forms on a complete minimal hypersurface to a weighted manifold. In addition, we obtain a vanishing result under the assumption that $M^n$ has sufficiently small weighted $L^n$-norm of the second fundamental form on $M^{n}$, which can be regarded as a generalization of a result by Yun and Seo. Bibliography: 26 titles.

Sobre autores

Rong Mi

Northwest Normal University

without scientific degree, no status

Bibliografia

  1. D. Bakry, M. Emery, “Diffusions hypercontractives”, Seminaire de probabilites XIX 1983/84, Lecture Notes in Math., 1123, Springer, Berlin, 1985, 177–206
  2. M. Batista, H. Mirandola, “Sobolev and isoperimetric inequalities for submanifolds in weighted ambient spaces”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 194:6 (2015), 1859–1872
  3. M. P. Cavalcante, H. Mirandola, F. Vitorio, “$L^{2}$-harmonic $1$-forms on submanifolds with finite total curvature”, J. Geom. Anal., 24:1 (2014), 205–222
  4. Huai-Dong Cao, Ying Shen, Shunhui Zhu, “The structure of stable minimal hypersurfaces in $mathbb{R}^{n+1}$”, Math. Res. Lett., 4:5 (1997), 637–644
  5. Xu Cheng, Tito Mejia, Detang Zhou, “Simons-type equation for $f$-minimal hypersurfaces and applications”, J. Geom. Anal., 25:4 (2015), 2667–2686
  6. Xu Cheng, Tito Mejia, Detang Zhou, “Stability and compactness for complete $f$-minimal surfaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:6 (2015), 4041–4059
  7. M. do Carmo, C. K. Peng, “Stable complete minimal surfaces in $R^3$ are planes”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1:6 (1979), 903–906
  8. Nguyen Thac Dung, Keomkyo Seo, “Vanishing theorems for $L^{2}$ harmonic $1$-forms on complete submanifolds in a Riemanian manifold”, J. Math. Anal. Appl., 423:2 (2015), 1594–1609
  9. D. Impera, M. Rimoldi, “Stability properties and topology at infinity of $f$-minimal hypersurfaces”, Geom. Dedicata, 178 (2015), 21–47
  10. P. Li, R. Schoen, “$L^{p}$ and mean value properties of subharmonic functions on Riemannian manifolds”, Acta Math., 153:3-4 (1984), 279–301
  11. A. Lichnerowicz, “Varietes riemanniennes à tenseur $C$ non negatif”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 271 (1970), A650–A653
  12. Gand Liu, “Stable weighted minimal surfaces in manifolds with non-negative Bakry–Emery Ricci tensor”, Comm. Anal. Geom., 21:5 (2013), 1061–1079
  13. J. Lott, C. Villani, “Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport”, Ann. of Math. (2), 169:3 (2009), 903–991
  14. J. Lott, “Some geometric properties of the Bakry–Emery–Ricci tensor”, Comment. Math. Helv., 78:4 (2003), 865–883
  15. R. Miyaoka, “$L^2$ harmonic $1$-forms on a complete stable minimal hypersurface”, Geometry and global analysis (Sendai, 1993), Tohoku Univ., Sendai, 1993, 289–293
  16. F. Morgan, “Manifolds with density”, Notices Amer. Math. Soc., 52:8 (2005), 853–858
  17. Keomkyo Seo, “$L^{2}$ harmonic $1$-forms on minimal submanifolds in hyperbolic space”, J. Math. Anal. Appl., 371:2 (2010), 546–551
  18. Keomkyo Seo, “Rigidity of minimal submanifolds in hyperbolic space”, Arch. Math. (Basel), 94:2 (2010), 173–181
  19. Keomkyo Seo, “$L^{p}$ harmonic $1$-forms and first eigenvalue of a stable minimal hypersurface”, Pacific J. Math., 268:1 (2014), 205–229
  20. K.-T. Sturm, “On the geometry of metric measure spaces. I”, Acta. Math., 196:1 (2006), 65–131
  21. K.-T. Sturm, “On the geometry of metric measure spaces. II”, Acta. Math., 196:1 (2006), 133–177
  22. M. Vieira, “Harmonic forms on manifolds with non-negative Bakry–Emery–Ricci curvature”, Arch. Math. (Basel), 101:6 (2013), 581–590
  23. Guofang Wei, W. Wylie, “Comparison geometry for the Bakry–Emery–Ricci tensor”, J. Differential Geom., 83:2 (2009), 377–405
  24. Shing-Tung Yau, “Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry”, Indiana Univ. Math. J., 25:7 (1976), 659–670
  25. Gabjin Yun, “Total scalar curvature and $L^{2}$ harmonic $1$-forms on a minimal hypersuface in Euclidean space”, Geom. Dedicata, 89 (2002), 135–141
  26. Gabjin Yun, Keomkyo Seo, “Weighted volume growth and vanishing properties of $f$-minimal hypersurfaces in a weighted manifold”, Nonlinear Anal., 180 (2019), 264–283

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Mi R., 2020

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».