Homological dimensions of Banach spaces

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The purpose of this paper is to lay the foundations for the study of the problem of when $\operatorname{Ext}^n(X, Y)=0$ in Banach spaces. We provide a number of examples of couples $X$, $Y$ such that $\operatorname{Ext}^n(X,Y)$ is (or is not) $0$. We show that $\operatorname{Ext}^n(\mathcal K, \mathcal K)\neq 0$ for all $n\in \mathbb{N}$ when $\mathcal K$ is the Kadec space. Inparticular, both the projective and injective dimensions of $\mathcal K$ are infinite.Bibliography: 48 titles.

About the authors

Félix Cabello Sánchez

Universidad de Extremadura

Jesús María Fernández Castillo

Universidad de Extremadura

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Ricardo García

Universidad de Extremadura

References

  1. B. Mitchell, Theory of categories, Pure Appl. Math., 17, Academic Press, New York–London, 1965, xi+273 pp.
  2. L. Frerick, D. Sieg, Exact categories in functional analysis, Script, 2010, viii+241 pp.
  3. M. Wodzicki, “Homological dimensions of Banach spaces”, Linear and complex analysis problem book 3, Part I, Lecture Notes in Math., 1573, Springer-Verlag, Berlin, 1994, 34–35
  4. В. П. Паламодов, “Функтор проективного предела в категории топологических линейных пространств”, Матем. сб., 75(117):4 (1968), 567–603
  5. В. П. Паламодов, “Гомологические методы в теории локально выпуклых пространств”, УМН, 26:1(157) (1971), 3–65
  6. J. Wengenroth, Derived functors in functional analysis, Lecture Notes in Math., 1810, Springer-Verlag, Berlin, 2003, viii+134 pp.
  7. J. Wengenroth, “A conjecture of Palamodov about the functors $operatorname{Ext}^k$ in the category of locally convex spaces”, J. Funct. Anal., 201:2 (2003), 561–571
  8. F. Cabello Sanchez, J. M. F. Castillo, N. J. Kalton, “Complex interpolation and twisted twisted Hilbert spaces”, Pacific J. Math., 276:2 (2015), 287–307
  9. F. Cabello Sanchez, J. M. F. Castillo, W. H. G. Corrêa, V. Ferenczi, R. Garcia, “On the $operatorname{Ext}^2$-problem in Hilbert spaces”, J. Funct. Anal., 280:4 (2021), 108863, 36 pp.
  10. G. Köthe, “Hebbare lokalkonvexe Räume”, Math. Ann., 165 (1966), 181–195
  11. J. Lindenstrauss, H. P. Rosenthal, “The $mathscr L_p$-spaces”, Israel J. Math., 7 (1969), 325–349
  12. A. Aviles, F. Cabello Sanchez, J. M. F. Castillo, M. Gonzalez, Y. Moreno, Separably injective Banach spaces, Lecture Notes in Math., 2132, Springer, Cham, 2016, xxii+217 pp.
  13. J. Lindenstrauss, “On a certain subspace of $ell_1$”, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 12 (1964), 539–542
  14. N. J. Kalton, A. Pelczynski, “Kernels of surjections from $mathscr L_1$-spaces with an application to Sidon sets”, Math. Ann., 309:1 (1997), 135–158
  15. F. Cabello Sanchez, J. M. F. Castillo, “Uniform boundedness and twisted sums of Banach spaces”, Houston J. Math., 30:2 (2004), 523–536
  16. J. M. F. Castillo, Y. Moreno, J. Suarez, “On Lindenstrauss–Pelczynski spaces”, Studia Math., 174:3 (2006), 213–231
  17. A. Sobczyk, “On the extension of linear transformations”, Trans. Amer. Math. Soc., 55 (1944), 153–169
  18. M. Zippin, “The separable extension problem”, Israel J. Math., 26:3-4 (1977), 372–387
  19. W. B. Johnson, M. Zippin, “Extension of operators from weak*-closed subspaces of $ell_1$ into $C(K)$ spaces”, Studia Math., 117:1 (1995), 43–55
  20. J. M. F. Castillo, M. Gonzalez, Three-space problems in Banach space theory, Lecture Notes in Math., 1667, Springer-Verlag, Berlin, 1997, xii+267 pp.
  21. P. Enflo, J. Lindenstrauss, G. Pisier, “On the “Three space problem””, Math. Scand., 36 (1975), 199–210
  22. N. J. Kalton, N. T. Peck, “Twisted sums of sequence spaces and the three space problem”, Trans. Amer. Math. Soc., 255 (1979), 1–30
  23. J. Bourgain, “A counterexample to a complementation problem”, Compositio Math., 43:1 (1981), 133–144
  24. J. Lindenstrauss, H. P. Rosenthal, “Automorphisms in $c_0$, $ell_1$ and $m$”, Israel J. Math., 9 (1969), 227–239
  25. J. Wengenroth, “Palamodov's questions from homological methods in the theory of locally convex spaces”, Methods in Banach space theory (Caceres, 2004), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 337, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006, 169–182
  26. J. M. F. Castillo, R. Garcia, “Bilinear forms and the $operatorname{Ext}^2$-problem in Banach spaces”, Linear Algebra Appl., 566 (2019), 199–211
  27. A. Aviles, F. Cabello Sanchez, J. M. F. Castillo, M. Gonzalez, Y. Moreno, “Corrigendum to “On separably injective Banach spaces””, Adv. Math., 318 (2017), 737–747
  28. W. B. Johnson, J. Lindenstrauss, “Some remarks on weakly compactly generated Banach spaces”, Israel J. Math., 17 (1974), 219–230
  29. W. Marciszewski, G. Plebanek, “Extension operators and twisted sums of $c_0$ and $C(K)$ spaces”, J. Funct. Anal., 274:5 (2018), 1491–1529
  30. F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Grad. Texts in Math., 233, 2nd ed., Springer, Cham, 2016, xx+508 pp.
  31. С. Маклейн, Гомология, ИО НФМИ, Новокузнецк, 2000, 540 с.
  32. С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, Методы гомологической алгебры, т. I, Наука, М., 1988, 416 с.
  33. А. Я. Хелемский, Гомология в банаховых и топологических алгебрах, Изд-во Моск. ун-та, M., 1986, 288 с.
  34. W. B. Johnson, M. Zippin, “On subspaces of quotients of $(sum G_n )_{ell_p}$ and $(sum G_n )_{c_0}$”, Israel J. Math., 13 (1972), 311–316
  35. J. M. F. Castillo, Y. Moreno, “Sobczyk's theorem and the bounded approximation property”, Studia Math., 201:1 (2010), 1–19
  36. M. I. Kadec, “On complementably universal Banach spaces”, Studia Math., 40 (1971), 85–89
  37. A. Pelczynski, “Universal bases”, Studia Math., 32 (1969), 247–268
  38. A. Pelczynski, P. Wojtaszczyk, “Banach spaces with finite dimensional expansions of identity and universal bases of finite dimensional subspaces”, Studia Math., 40 (1971), 91–108
  39. N. J. Kalton, N. T. Peck, J. W. Roberts, An $F$-space sampler, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 89, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984, xii+240 pp.
  40. N. J. Kalton, “Quasi-Banach spaces”, Handbook of the geometry of Banach spaces, v. 2, North-Holland, Amsterdam, 2003, 1099–1130
  41. W. J. Stiles, “Some properties of $ell_p$, $0 < p < 1$”, Studia Math., 42 (1972), 109–119
  42. В. А. Смирнов, Чан Хуен, “О функторе Ext в категории линейных топологических пространств”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:1 (1990), 188–200
  43. M. Ribe, “Examples for the nonlocally convex three space problem”, Proc. Amer. Math. Soc., 73:3 (1979), 351–355
  44. N. J. Kalton, “The three space problem for locally bounded $F$-spaces”, Compositio Math., 37:3 (1978), 243–276
  45. J. W. Roberts, “A nonlocally convex $F$-space with the Hahn–Banach approximation property”, Banach spaces of analytic functions (Kent State Univ., Kent, OH, 1976), Lecture Notes in Math., 604, Springer, Berlin, 1977, 76–81
  46. В. А. Смирнов, В. А. Шейхман, “О продолжении однородных функционалов с заданной выпуклостью”, Матем. заметки, 50:5 (1991), 90–96
  47. S. Dierolf, Über Vererbbarkeitseigenschaften in topologischen Vektorräumen, Dissertation, Ludwing-Maximilians-Univ., München, 1974, 85 pp.
  48. N. J. Kalton, J. W. Roberts, “Uniformly exhaustive submeasures and nearly additive set functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 278:2 (1983), 803–816

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Cabello Sánchez F., Castillo J.M., García R.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».