Coincidence of set functions in quasiconformal analysis

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

It is known that mappings occurring in quasiconformal analysis can be defined in several equivalent ways: 1) as homeomorphisms inducing bounded composition operators between Sobolev spaces; 2) as Sobolev-class homeomorphisms with bounded distortion whose operator distortion function is integrable; 3) as homeomorphism changing the capacity of the image of a condenser in a controllable way in terms of the weighted capacity of the condenser in the source space; 4) as homeomorphism changing the modulus of the image of a family of curves in a controllable way in terms of the weighted modulus of the family of curves in the source space. A certain set function, defined on open subsets, can be associated with each of these definitions. The main result consists in the fact that all these set functions coincide. Bibliography: 48 titles.

About the authors

Sergei Konstantinovich Vodopyanov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: vodopis@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. F. W. Gehring, J. Väisälä, “The coefficients of quasiconformality of domains in space”, Acta Math., 114 (1965), 1–70
  2. J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 229, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, xiv+144 pp.
  3. Г. Д. Мостов, “Квазиконформные отображения в $n$-мерном пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм”, Математика, 16:5 (1972), 105–157
  4. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, “Структурные изоморфизмы пространств $W_n^1$ и квазиконформные отображения”, Сиб. матем. журн., 16:2 (1975), 224–246
  5. В. M. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения, Изд-во ВолГУ, Волгоград, 2005, 273 с.
  6. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2009, xii+367 pp.
  7. J. Hesse, “A $p$-extremal length and $p$-capacity equality”, Ark. Mat., 13:1-2 (1975), 131–144
  8. В. А. Шлык, “О равенстве $p$-емкости и $p$-модуля”, Сиб. матем. журн., 34:6 (1993), 216–221
  9. H. Aikawa, M. Ohtsuka, “Extremal length of vector measures”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 24:1 (1999), 61–88
  10. С. К. Водопьянов, “Об эквивалентности двух подходов к задачам квазиконформного анализа”, Сиб. матем. журн., 62:6 (2021), 1252–1270
  11. С. К. Водопьянов, “Операторы композиции весовых пространства Соболева и теория $mathscr Q_p$-гомеоморфизмов”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 494 (2020), 21–25
  12. С. К. Водопьянов, “Об аналитических и геометрических свойствах отображений в теории $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Матем. заметки, 108:6 (2020), 925–929
  13. С. К. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским, и теория $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Сиб. матем. журн., 61:6 (2020), 1257–1299
  14. С. К. Водопьянов, А. О. Томилов, “Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:5 (2021), 58–109
  15. С. К. Водопьянов, “Основы квазиконформного анализа двухиндексной шкалы пространственных отображений”, Докл. РАН, 484:2 (2019), 142–146
  16. С. К. Водопьянов, “Основы квазиконформного анализа двухиндексной шкалы пространственных отображений”, Сиб. матем. журн., 59:5 (2018), 1020–1056
  17. С. К. Водопьянов, “О дифференцируемости отображений класса Соболева $W^1_{n-1}$ с условиями на функцию искажения”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1240–1267
  18. С. K. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским”, Матем. сб., 203:10 (2012), 3–32
  19. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Соболева”, Изв. вузов. Матем., 2002, № 10, 11–33
  20. C. К. Водопьянов, “Допустимые замены переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях”, Матем. сб., 210:1 (2019), 63–112
  21. C. К. Водопьянов, “Изоморфизмы соболевских пространств на римановых многообразиях и квазиконформные отображения”, Сиб. матем. журн., 60:5 (2019), 996–1034
  22. С. Л. Соболев, “О некоторых группах преобразований $n$-мерного пространства”, Докл. АН СССР, 32:6 (1941), 380–382
  23. В. Г. Мазья, Классы множеств и теоремы вложения функциональных пространств. Некоторые вопросы теории эллиптических уравнений, Автореферат дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 1962
  24. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск, 1982, 286 с.
  25. H. M. Reimann, “Über harmonische Kapazität und quasikonforme Abbildungen im Raum”, Comment. Math. Helv., 44 (1969), 284–307
  26. F. W. Gehring, “Lipschitz mappings and $p$-capacity of rings in $n$-space”, Advances in the theory of Riemann surfaces (Stony Brook, N. Y., 1969), Ann. of Math. Studies, 66, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 175–193
  27. J. Lelong-Ferrand, “Etude d'une classe d'applications liees à des homomorphismes d'algebres de fonctions et generalisant les quasi-conformes”, Duke Math. J., 40 (1973), 163–186
  28. A. Molchanova, S. Vodopyanov, “Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 59:1 (2020), 17, 25 pp.
  29. J. Heinonen, T. Kilpeläinen, O. Martio, Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1993, vi+363 pp.
  30. T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous transformations in analysis. With an introduction to algebraic topology, Grundlehren Math. Wiss., LXXV, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1955, vii+442 pp.
  31. M. Гусман, Дифференцирование интегралов в $mathbb{R}^n$, Математика: новое в зарубежной науке, 9, Мир, М., 1978, 200 с.
  32. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I”, Матем. тр., 6:2 (2003), 14–65
  33. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
  34. P. Hajlasz, “Change of variables formula under minimal assumptions”, Colloq. Math., 64:1 (1993), 93–101
  35. С. К. Водопьянов, Формула Тейлора и функциональные пространства, Учебное пособие, НГУ, Новосибирск, 1988, 96 с.
  36. А. Д. Ухлов, “Отображения, порождающие вложения пространств Соболева”, Сиб. матем. журн., 34:1 (1993), 185–192
  37. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Пространства Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения групп Карно”, Сиб. матем. журн., 39:4 (1998), 776–795
  38. С. К. Водопьянов, “Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно”, Сиб. матем. журн., 37:6 (1996), 1269–1295
  39. R. R. Salimov, E. A. Sevost'yanov, “$ACL$ and differentiability of open discrete ring $(p, Q)$-mappings”, Mat. Stud., 35:1 (2011), 28–36
  40. В. И. Кругликов, “Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем”, Матем. сб., 130(172):2(6) (1986), 185–206
  41. В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, “Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений”, Сиб. матем. журн., 52:3 (2011), 665–679
  42. Р. Р. Салимов, “Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:5 (2008), 141–148
  43. R. Salimov, “$ACL$ and differentiability of $Q$-homeomorphisms”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1 (2008), 295–301
  44. Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “Теория кольцевых $Q$-отображений в геометрической теории функций”, Матем. сб., 201:6 (2010), 131–158
  45. E. A. Sevost'yanov, S. A. Skvortsov, On behavior of homeomorphisms with inverse modulus conditions
  46. Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “О некоторых локальных свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий”, Матем. заметки, 101:4 (2017), 594–610
  47. R. Salimov, “On $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus”, Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 2(LX):2 (2011), 207–213
  48. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Vodopyanov S.K.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».