Integrable billiards on a Minkowski hyperboloid: extremal polynomials and topology

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

We consider billiard systems within compact domains bounded by confocal conics on a hyperboloid of one sheet in the Minkowski space. We derive conditions for elliptic periodicity for such billiards. We describe the topology of these billiard systems in terms of Fomenko invariants. Then we provide periodicity conditions in terms of functional Pell equations and related extremal polynomials.Several examples are computed in terms of elliptic functions and classical Chebyshev and Zolotarev polynomials, as extremal polynomials over one or two intervals. These results are contrasted with the cases of billiards on the Minkowski and Euclidean planes.Dedicated to R. Baxter on the occasion of his 80th anniversary.Bibliography: 51 titles.

作者简介

Vladimir Dragović

Department of Mathematical Sciences, The University of Texas at Dallas; Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts

Sean Gasiorek

School of Mathematics and Statistics, The University of Sydney

Email: sean.gasiorek@sydney.edu.au

Milena Radnović

School of Mathematics and Statistics, The University of Sydney; Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts

Email: milena@mi.sanu.ac.rs

参考

  1. A. K. Adabrah, V. Dragovic, M. Radnovic, “Periodic billiards within conics in the Minkowski plane and Akhiezer polynomials”, Regul. Chaotic Dyn., 24:5 (2019), 464–501
  2. N. Achyeser, “Über einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen. I Teil”, Изв. АН СССР. VII сер. Отд. матем. и естеств. наук, 1932, no. 9, 1163–1202
  3. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Гостехиздат, М.–Л., 1947, 323 с.
  4. Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд., Наука, М., 1970, 304 с.
  5. R. J. Baxter, “Eight-vertex model in lattice statistics”, Phys. Rev. Lett., 26:14 (1971), 832–833
  6. R. J. Baxter, “One-dimensional anisotropic Heisenberg chain”, Phys. Rev. Lett., 26:14 (1971), 834–834
  7. R. J. Baxter, “One-dimensional anisotropic Heisenberg chain”, Ann. Physics, 70:2 (1972), 323–337
  8. R. J. Baxter, “Partition function of the eight-vertex lattice model”, Ann. Physics, 70:1 (1972), 193–228
  9. Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Мир, М., 1985, 488 с.
  10. А. В. Болсинов, А. В. Борисов, И. С. Мамаев, “Топология и устойчивость интегрируемых систем”, УМН, 65:2(392) (2010), 71–132
  11. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. 1, 2, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 444 с., 447 с.
  12. А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, “Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности”, УМН, 45:2(272) (1990), 49–77
  13. A. Cayley, “Developments on the porism of the in-and-circumscribed polygon”, Philos. Mag. (4), 7:46 (1854), 339–345
  14. A. Cayley, “On the porism of the in-and-circumscribed polygon”, Philos. Trans. Roy. Soc. London, 151 (1861), 225–239
  15. V. Dragovic, “Algebro-geometric approach to the Yang–Baxter equation and related topics”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 91:105 (2012), 25–48
  16. V. I. Dragovic, “Geometrization and generalization of the Kowalevski top”, Comm. Math. Phys., 298:1 (2010), 37–64
  17. V. Dragovic, B. Jovanovic, M. Radnovic, “On elliptical billiards in the Lobachevsky space and associated geodesic hierarchies”, J. Geom. Phys., 47:2-3 (2003), 221–234
  18. V. Dragovic, M. Radnovic, “Conditions of Cayley's type for ellipsoidal billiard”, J. Math. Phys., 39:1 (1998), 355–362
  19. V. Dragovic, M. Radnovic, “On periodical trajectories of the billiard systems within an ellipsoid in $mathbf R^d$ and generalized Cayley's condition”, J. Math. Phys., 39:11 (1998), 5866–5869
  20. V. Dragovic, M. Radnovic, “Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards”, Regul. Chaotic Dyn., 14:4-5 (2009), 479–494
  21. В. Драгович, М. Раднович, “Интегрируемые биллиарды и квадрики”, УМН, 65:2(392) (2010), 133–194
  22. В. Драгович, М. Раднович, Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2010, 338 с.
  23. V. Dragovic, M. Radnovic, “Ellipsoidal billiards in pseudo-Euclidean spaces and relativistic quadrics”, Adv. Math., 231:3-4 (2012), 1173–1201
  24. V. Dragovic, M. Radnovic, “Minkowski plane, confocal conics, and billiards”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 94:108 (2013), 17–30
  25. В. Драгович, М. Раднович, “Топологические инварианты эллиптических биллиардов и геодезических потоков эллипсоидов в пространстве Минковского”, Фундамент. и прикл. матем., 20:2 (2015), 51–64
  26. V. Dragovic, M. Radnovic, “Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials”, Regul. Chaotic Dyn., 24:1 (2019), 1–35
  27. V. Dragovic, M. Radnovic, “Periodic ellipsoidal billiard trajectories and extremal polynomials”, Comm. Math. Phys., 372:1 (2019), 183–211
  28. V. Dragovic, V. Shramchenko, “Deformations of Zolotarev polynomials and Painleve VI equations”, Lett. Math. Phys., 111:3 (2021), 75, 28 pp.
  29. J. J. Duistermaat, Discrete integrable systems. QRT maps and elliptic surfaces, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2010, xxii+627 pp.
  30. L. Euler, “Evolutio generalior formularum comparationi curvarum inservientium”, E347/1765, Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petropol., 12 (1768), 42–86
  31. A. Fomenko, I. Kharcheva, V. Kibkalo, Realization of integrable Hamiltonian systems by billiard books
  32. A. T. Fomenko, S. S. Nikolaenko, “The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsoid”, J. Geom. Phys., 87 (2015), 115–133
  33. В. В. Фокичева, “Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами”, Матем. сб., 205:8 (2014), 139–160
  34. A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Implementation of integrable systems by topological, geodesic billiards with potential and magnetic field”, Russ. J. Math. Phys., 26:3 (2019), 320–333
  35. A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, V. N. Zav'yalov, “Liouville foliations of topological billiards with slipping”, Russ. J. Math. Phys., 28:1 (2021), 37–55
  36. P. Griffiths, J. Harris, “A Poncelet theorem in space”, Comment. Math. Helv., 52:1 (1977), 145–160
  37. S. Gasiorek, M. Radnovic, “Pseudo-Euclidean billiards within confocal curves on the hyperboloid of one sheet”, J. Geom. Phys., 161 (2021), 104032, 21 pp.
  38. M. G. Kreĭn, B. Ya. Levin, A. A. Nudel'man, “On special representations of polynomials that are positive on a system of closed intervals, and some applications”, Functional analysis, optimization, and mathematical economics, Oxford Univ. Press, New York, 1990, 56–114
  39. B. Khesin, S. Tabachnikov, “Pseudo-Riemannian geodesics and billiards”, Adv. Math., 221:4 (2009), 1364–1396
  40. J. Moser, A. P. Veselov, “Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials”, Comm. Math. Phys., 139:2 (1991), 217–243
  41. M. Pnueli, V. Rom-Kedar, “On the structure of Hamiltonian impact systems”, Nonlinearity, 34:4 (2021), 2611–2658
  42. M. Radnovic, “Topology of the elliptical billiard with the Hooke's potential”, Theoret. Appl. Mech. (Belgrade), 42:1 (2015), 1–9
  43. N. Trudi, “Rappresentazione geometrica immediata dell' equazione fondamentale della teoria delle funzioni ellitiche con diverse applicazioni”, Mem. R. Accad. Sci. Napoli, 1853, 63–99
  44. N. Trudi, “Studii intorno ad una singolare eliminazione, con applicazione alla ricerca delle relazione tra gli elementi di due coniche, l'una iscritta, l'altra circoscritta ad un poligono, ed ai corrispondenti teoremi di Poncelet”, Atti R. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli, 1 (1863), 6, 53 pp.
  45. В. В. Ведюшкина, “Инварианты Фоменко–Цишанга невыпуклых топологических биллиардов”, Матем. сб., 210:3 (2019), 17–74
  46. A. P. Veselov, “Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space”, J. Geom. Phys., 7:1 (1990), 81–107
  47. А. П. Веселов, “О росте числа образов точки при итерациях многозначного отображения”, Матем. заметки, 49:2 (1991), 29–35
  48. A. P. Veselov, “Growth and integrability in the dynamics of mappings”, Comm. Math. Phys., 145:1 (1992), 181–193
  49. В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, “Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем”, Матем. сб., 209:12 (2018), 17–56
  50. A. P. Veselov, L. H. Wu, “Geodesic scattering on hyperboloids and Knörrer's map”, Nonlinearity, 34:9 (2021), 5926–5954
  51. Е. И. Золотарев, “Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее уклоняющихся от нуля (1877)”, Полное собрание сочинений, т. II, Изд-во АН СССР, Л., 1932, 1–59

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Dragović V.I., Gasiorek S., Radnović M., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».