New moduli components of rank 2 bundles on projective space

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We present a new family of monads whose cohomology is a stable rank 2 vector bundle on $\mathbb{P}^3$. We also study the irreducibility and smoothness together with a geometrical description of some of these families. These facts are used to construct a new infinite series of rational moduli components of stable rank 2 vector bundles with trivial determinant and growing second Chern class. We also prove that the moduli space of stable rank 2 vector bundles with trivial determinant and second Chern class equal to 5 has exactly three irreducible rational components.Bibliography: 40 titles.

About the authors

Charles Almeida

Federal University of Minas Gerais

Marcos Jardim

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Alexander Sergeevich Tikhomirov

Department of Mathematics, National Research University "Higher School of Economics"

Email: astikhomirov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Sergey Aleksandrovich Tikhomirov

Yaroslavl State Pedagogical University named after K. D. Ushinsky, Faculty of Physics and Mathematics

Email: satikhomirov@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. C. Bănică, N. Manolache, “Rank 2 stable vector bundles on $mathbb{P}^3(mathbb{C})$ with Chern classes $c_1=-1$, $c_2 = -4$”, Math. Z., 190:3 (1985), 315–339
  2. C. Bănică, M. Putinar, G. Schumacher, “Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer Räume”, Math. Ann., 250:2 (1980), 135–155
  3. W. Barth, “Some properties of stable rank-2 vector bundles on $mathbb{P}_n$”, Math. Ann., 226:2 (1977), 125–150
  4. W. Barth, “Stable vector bundles on $mathbb{P}_3$, some experimental data”, Les equations de Yang–Mills, Seminaire E.N.S. 1977–1978, Asterisque, 71-72, Soc. Math. France, Paris, 1980, 205–218
  5. W. Barth, G. Elencwajg, “Concernant la cohomologie des fibres algebriques stables sur $mathbb{P}_n(mathbb{C})$”, Varietes analytiques compactes (Nice, 1977), Lecture Notes in Math., 683, Springer, Berlin, 1978, 1–24
  6. W. Barth, K. Hulek, “Monads and moduli of vector bundles”, Manuscripta Math., 25:4 (1978), 323–347
  7. W. P. Barth, K. Hulek, C. A. M. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 4, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+436 pp.
  8. G. Bohnhorst, H. Spindler, “The stability of certain vector bundles on $mathbb{P}^n$”, Complex algebraic varieties (Bayreuth, 1990), Lecture Notes in Math., 1507, Springer, Berlin, 1992, 39–50
  9. J. Brun, A. Hirschowitz, “Variete des droites sauteuses du fibre instanton general”, Compos. Math., 53:3 (1984), 325–336
  10. U. Bruzzo, D. Markushevich, A. S. Tikhomirov, “Moduli of symplectic instanton vector bundles of higher rank on projective space $mathbb{P}^3$”, Cent. Eur. J. Math., 10:4 (2012), 1232–1245
  11. Mei-Chu Chang, “Stable rank 2 bundles on $mathbf{IP}^3$ with $c_1=0$, $c_2=4$ and $alpha=1$”, Math. Z., 184:3 (1983), 407–415
  12. Mei-Chu Chang, “Stable rank 2 reflexive sheaves on $mathbf{P}^3$ with small $c_2$ and applications”, Trans. Amer. Math. Soc., 284:1 (1984), 57–89
  13. I. Coandă, A. Tikhomirov, G. Trautmann, “Irreducibility and smoothness of the moduli space of mathematical 5-instantons over $mathbb{P}_3$”, Internat. J. Math., 14:1 (2003), 1–45
  14. L. Costa, R. M. Miro-Roig, “Monads and regularity of vector bundles on projective varieties”, Michigan Math. J., 55:2 (2007), 417–436
  15. L. Ein, “Generalized null correlation bundles”, Nagoya Math. J., 111 (1988), 13–24
  16. G. Ellingsrud, S. A. Stromme, “Stable rank $2$ vector bundles on $mathbb{P}^3$ with $c_1 = 0$ and $c_2 = 3$”, Math. Ann., 255:1 (1981), 123–135
  17. B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. L. Kleiman, N. Nitsure, A. Vistoli, Fundamental algebraic geometry. Grothendieck's FGA explained, Math. Surveys Monogr., 123, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, x+339 pp.
  18. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
  19. R. Hartshorne, “Stable vector bundles of rank 2 on $mathbb{P}^3$”, Math. Ann., 238:3 (1978), 229–280
  20. R. Hartshorne, “Stable reflexive sheaves”, Math. Ann., 254:2 (1980), 121–176
  21. R. Hartshorne, A. P. Rao, “Spectra and monads of stable bundles”, J. Math. Kyoto Univ., 31:3 (1991), 789–806
  22. R. Hartshorne, I. Sols, “Stable rank 2 vector bundles on $mathbf{P}^3$ with $c_1=-1$, $c_2=2$”, J. Reine Angew. Math., 325 (1981), 145–152
  23. G. Horrocks, “Vector bundles on the punctured spectrum of a local ring”, Proc. London Math. Soc. (3), 14:4 (1964), 689–713
  24. D. Huybrechts, M. Lehn, The geometry of moduli spaces of sheaves, Cambridge Math. Lib., 2nd ed., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2010, xviii+325 pp.
  25. M. Jardim, “Instanton sheaves on complex projective spaces”, Collect. Math., 57:1 (2006), 69–91
  26. M. Jardim, S. Marchesi, A. Wissdorf, “Moduli of autodual instanton bundles”, Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.), 47:3 (2016), 823–843
  27. M. Jardim, R. V. Martins, “Linear and Steiner bundles on projective varieties”, Comm. Algebra, 38:6 (2010), 2249–2270
  28. M. Jardim, M. Verbitsky, “Trihyperkähler reduction and instanton bundles on $mathbb{C}mathbb{P}^3$”, Compos. Math., 150:11 (2014), 1836–1868
  29. P. I. Katsylo, “Rationality of the module variety of mathematical instantons with $c_2=5$”, Lie groups, their discrete subgroups, and invariant theory, Adv. Soviet Math., 8, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 105–111
  30. P. I. Katsylo, G. Ottaviani, “Regularity of the moduli space of instanton bundles $mathbf{MI}_{mathbf{P}^3}(5)$”, Transform. Groups, 8:2 (2003), 147–158
  31. A. A. Kytmanov, A. S. Tikhomirov, S. A. Tikhomirov, “Series of rational moduli components of stable rank two vector bundles on $mathbb{P}^3$”, Selecta Math. (N.S.), 25:2 (2019), 29, 47 pp.
  32. H. Lange, “Universal families of extensions”, J. Algebra, 83:1 (1983), 101–112
  33. N. Manolache, “Rank 2 stable vector bundles on $mathbf{P}^3$ with Chern classes $c_1=-1$, $c_2=2$”, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 26:9 (1981), 1203–1209
  34. M. Maruyama, “Moduli of stable sheaves. I”, J. Math. Kyoto Univ., 17:1 (1977), 91–126
  35. К. Оконек, М. Шнейдер, Х. Шпиндлер, Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах, Мир, М., 1984, 312 с.
  36. A. P. Rao, “A family of vector bundles on $mathbb{P}^3$”, Space curves (Rocca di Papa, 1985), Lecture Notes in Math., 1266, Springer, Berlin, 1987, 208–231
  37. И. Р. Шафаревич, “Ч. 1. Основные понятия”, Основы алгебраической геометрии, 3-е изд., доп., МЦНМО, М., 2007, 13–306
  38. А. С. Тихомиров, “Модули математических инстантонных векторных расслоений с нечетным $c_2$ на проективном пространстве”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:5 (2012), 143–224
  39. А. С. Тихомиров, “Модули математических инстантонных векторных расслоений с четным $c_2$ на проективном пространстве”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:6 (2013), 139–168
  40. А. С. Тихомиров, С. А. Тихомиров, Д. А. Васильев, “Построение стабильных расслоений ранга $2$ на ${mathbb P}^3$ посредством симплектических расслоений”, Сиб. матем. журн., 60:2 (2019), 441–460

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Almeida C., Jardim M., Tikhomirov A.S., Tikhomirov S.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».