Convergence criterion for quantum relative entropy and its use

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A criterion and necessary conditions for the convergence (local continuity) of quantum relative entropy are obtained. Some applications of these results are considered. In particular, the preservation of the local continuity of quantum relative entropy under completely positive linear maps is established.Bibliography: 29 titles.

About the authors

Maksim Evgenievich Shirokov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: msh@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. B. Schumacher, M. D. Westmoreland, “Relative entropy in quantum information theory”, Quantum computation and information (Washington, DC, 2000), Contemp. Math., 305, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, 265–289
  2. V. Vedral, “The role of relative entropy in quantum information theory”, Rev. Modern Phys., 74:1 (2002), 197–234
  3. A. Wehrl, “General properties of entropy”, Rev. Modern Phys., 50:2 (1978), 221–250
  4. M. Ohya, D. Petz, Quantum entropy and its use, Theoret. Math. Phys., Corr. 2nd pr., Springer-Verlag, Berlin, 2004, 357 pp.
  5. А. С. Холево, Квантовые системы, каналы, информация, МЦНМО, М., 2010, 328 с.
  6. M. M. Wilde, Quantum information theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2013, xvi+655 pp.
  7. G. Lindblad, “Expectations and entropy inequalities for finite quantum systems”, Comm. Math. Phys., 39:2 (1974), 111–119
  8. J. Naudts, “Continuity of a class of entropies and relative entropies”, Rev. Math. Phys., 16:6 (2004), 809–822
  9. M. E. Shirokov, “Convergence conditions for the quantum relative entropy and other applications of the deneralized quantum Dini lemma”, Lobachevskii J. Math., 43:7 (2022), 1755–1777
  10. B. Simon, Operator theory, Compr. Course Anal., 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xviii+749 pp.
  11. L. Mirsky, “Symmetric gauge functions and unitarily invariant norms”, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 11 (1960), 50–59
  12. М. А. Нильсен, И. Л. Чанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Мир, М., 2006, 824 с.
  13. У. Рудин, Основы математического анализа, 2-е изд., Мир, М., 1976, 319 с.
  14. H. Umegaki, “Conditional expectation in an operator algebra. IV. Entropy and information”, Kōdai Math. Sem. Rep., 14:2 (1962), 59–85
  15. У. Браттели, Д. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, Мир, М., 1982, 512 с.
  16. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 1, Функциональный анализ, Мир, М., 1977, 357 с.
  17. М. Е. Широков, А. С. Холево, “Об аппроксимации бесконечномерных квантовых каналов”, Пробл. передачи информ., 44:2 (2008), 3–22
  18. M. E. Shirokov, “Strong convergence of quantum channels: continuity of the Stinespring dilation and discontinuity of the unitary dilation”, J. Math. Phys., 61:8 (2020), 082204, 14 pp.
  19. G. F. Dell'Antonio, “On the limits of sequences of normal states”, Comm. Pure Appl. Math., 20:2 (1967), 413–429
  20. M. E. Shirokov, “Strong* convergence of quantum channels”, Quantum Inf. Process., 20:4 (2021), 145, 16 pp.
  21. A. Winter, Energy-constrained diamond norm with applications to the uniform continuity of continuous variable channel capacities
  22. М. Е. Широков, “Энтропийные характеристики подмножеств состояний. I”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:6 (2006), 193–222
  23. G. Lindblad, “Completely positive maps and entropy inequalities”, Comm. Math. Phys., 40:2 (1975), 147–151
  24. M. E. Shirokov, Continuity of characteristics of composite quantum systems: a review
  25. G. Lindblad, “Entropy, information and quantum measurements”, Comm. Math. Phys., 33 (1973), 305–322
  26. M. E. Shirokov, A. V. Bulinski, “On quantum channels and operations preserving finiteness of the von Neumann entropy”, Lobachevskii J. Math., 41:12 (2020), 2383–2396
  27. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд., Наука, М., 1966, 543 с.
  28. Man-Duen Choi, “Completely positive linear maps on complex matrices”, Linear Algebra Appl., 10:3 (1975), 285–290
  29. A. Jamiolkowski, “Linear transformations which preserve trace and positive semidefiniteness of operators”, Rep. Math. Phys., 3:4 (1972), 275–278

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Shirokov M.E.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».