Sharp Bernstein-type inequalities for Fourier-Dunkl multipliers

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A method for the proof of analogues of the classical Bernstein, Riesz and Boas inequalities for differentiation and difference operators defined by means of multipliers in terms of the Fourier-Dunkl transform is developed. This method is based on Civin-type interpolation formulae. Some of the inequalities obtained are sharp in the uniform norm. Bibliography: 42 titles.

About the authors

Oleg Leonidovich Vinogradov

Saint Petersburg State University

Email: olvin@math.spbu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, 2-е изд., Наука, М., 1965, 407 с.
  2. А. Ф. Тиман, Теория приближения функций действительного переменного, Физматгиз, М., 1960, 624 с.
  3. С. Н. Бернштейн, “О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени”, Собрание сочинений, т. 1, Изд-во АН СССР, М., 1952, 11–104
  4. С. Н. Бернштейн, “Об одном свойстве целых функций”, Собрание сочинений, т. 1, Изд-во АН СССР, М., 1952, 269–270
  5. M. Riesz, “Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome”, Jahresber. Deutsch. Math.-Ver., 23 (1914), 354–368
  6. С. Н. Бернштейн, “Распространение неравенства С. Б. Стечкина на целые функции конечной степени”, Собрание сочинений, т. 2, Изд-во АН СССР, М., 1954, 442–445
  7. С. М. Никольский, “Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна”, Избранные труды, т. 1, Наука, М., 2006, 243–246
  8. С. Б. Стечкин, “Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна”, Избранные труды: математика, Наука. Физматлит, М., 1998, 15–18
  9. R. P. Boas (Jr.), “Quelques generalisations d'un theorème de S. Bernstein sur la derivee d'un polynome trigonometrique”, C. R. Acad. Sci. Paris, 227 (1948), 618–619
  10. P. Civin, “Inequalities for trigonometric integrals”, Duke Math. J., 8:4 (1941), 656–665
  11. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., Наука, М., 1977, 455 с.
  12. О. Л. Виноградов, В. В. Жук, “Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на тригонометрических многочленах”, Проблемы матем. анализа, 21, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2000, 68–109
  13. О. Л. Виноградов, “Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени”, Сиб. матем. журн., 48:3 (2007), 538–555
  14. Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Константы Никольского–Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, № 2, 2019, 75–87
  15. D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, S. Yu. Tikhonov, “Positive $L^p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications”, Constr. Approx., 49:3 (2019), 555–605
  16. D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, “Fractional smoothness in $L^p$ with Dunkl weight and its applications”, Math. Notes, 106:4 (2019), 537–561
  17. Йонг Пинг Ли, Чун Мей Су, В. И. Иванов, “Некоторые задачи теории приближений в пространствах $L_p$ на прямой со степенным весом”, Матем. заметки, 90:3 (2011), 362–383
  18. А. И. Камзолов, “Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для функций на однородных пространствах”, Матем. заметки, 15:6 (1974), 967–978
  19. С. С. Платонов, “Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:5 (2007), 149–196
  20. C. F. Dunkl, “Differential-difference operators associated to reflection groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 311:1 (1989), 167–183
  21. K. Trimèche, Generalized harmonic analysis and wavelet packets, CRC Press, London, 2001, xii+306 pp.
  22. M. A. Mourou, “Transmutation operators associated with a Dunkl type differential-difference operator on the real line and certain of their applications”, Integral Transform. Spec. Funct., 12:1 (2001), 77–88
  23. M. F. E. de Jeu, “The Dunkl transform”, Invent. Math., 113:1 (1993), 147–162
  24. M. Rösler, “Bessel-type signed hypergroups on $mathbb R$”, Probability measures on groups and related structures. XI (Oberwolfach, 1994), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1995, 292–304
  25. M. A. Mourou, K. Trimèche, “Transmutation operators and Paley–Wiener theorem associated with a singular differential-difference operator on the real line”, Anal. Appl. (Singap.), 1:1 (2003), 43–70
  26. О. Л. Виноградов, “О нормах операторов обобщенного сдвига, порожденных операторами типа Данкля”, Аналитическая теория чисел и теория функций. 26, Зап. науч. сем. ПОМИ, 392, ПОМИ, СПб., 2011, 5–31
  27. M. A. Mourou, K. Trimèche, “Calderon's reproducing formula related to the Dunkl operator on the real line”, Monatsh. Math., 136:1 (2002), 47–65
  28. M. Rösler, “Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators”, Comm. Math. Phys., 192:3 (1998), 519–542
  29. H. B. Mohamed, K. Trimèche, “Dunkl transform on $mathbb R$ and convolution product on new spaces of distributions”, Integral Transforms Spec. Funct., 14:5 (2003), 437–458
  30. Д. В. Чертова, “Теоремы Джексона в пространстве $L_2(mathbb R)$ со степенным весом”, Изв. Тульского гос. ун-та. Естественные науки, 2009, № 3, 100–116
  31. С. Н. Бернштейн, “Аналитические функции вещественной переменной, их возникновение и пути обобщений”, Собрание сочинений, т. 1, Изд-во АН СССР, М., 1952, 285–320
  32. F. W. Steutel, K. van Harn, Infinite divisibility of probability distributions on the real line, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., 259, Marcel Dekker, Inc., New York, 2004, xii+546 pp.
  33. О. Л. Виноградов, “Логарифмически абсолютно монотонные тригонометрические функции”, Исследования по линейным операторам и теории функций. 49, Зап. науч. сем. ПОМИ, 503, ПОМИ, СПб., 2021, 57–71
  34. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, Ч. I, ИЛ, М., 1949, 798 с.
  35. Б. М. Левитан, “Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье”, УМН, 6:2(42) (1951), 102–143
  36. C. F. Dunkl, “Integral kernels with reflection group invariance”, Canad. J. Math., 43:6 (1991), 1213–1227
  37. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.
  38. И. А. Киприянов, Сингулярные эллиптические краевые задачи, Наука, М., 1997, 204 с.
  39. Д. В. Горбачев, “Константы Никольского–Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального типа на оси”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 4, 2018, 92–103
  40. А. И. Степанец, Методы теории приближений, т. I, II, Тр. Ин-та матем. НАН Украины, 40, Ин-т матем. НАН Украины, Киев, 2002, 427 с., 468 с.
  41. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, Мир, М., 1965, 615 с.
  42. A. I. Kozko, “The exact constants in the Bernstein–Zygmund–Szegö inequalities with fractional derivatives and the Jackson–Nikolskii inequality for trigonometric polynomials”, East J. Approx., 4:3 (1998), 391–416

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Vinogradov O.L.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».