On the sharp Baer-Suzuki theorem for the $\pi$-radical of a finite group

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Let $\pi$ be a proper subset of the set of prime numbers. Denote by $r$ the least prime not contained in $\pi$ and set $m=r$ for $r=2$ and $3$ and $m=r-1$ for $r\ge5$. The conjecture under consideration claims that a conjugacy class $D$ of a finite group $G$ generates a $\pi$-subgroup of $G$ (equivalently, is contained in the $\pi$-radical) if and only if any $m$ elements of $D$ generate a $\pi$-group. It is shown that this conjecture holds if every non-Abelian composition factor of $G$ is isomorphic to a sporadic, an alternating, a linear, or a unitary simple group. Bibliography: 49 titles.

About the authors

Nanying Yang

Jiangnan University

Email: south0418@126.com

Zhenfeng Wu

Jiangnan University

Danila Olegovich Revin

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: revin@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Evgeny Petrovitch Vdovin

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: vdovin@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. M. Aschbacher, Finite group theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 10, Corr. reprint of the 1986 original, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, x+274 pp.
  2. K. Doerk, T. O. Hawkes, Finite soluble groups, De Gruyter Exp. Math., 4, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992, xiv+891 pp.
  3. D. Gorenstein, Finite groups, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York, 1980, xvii+519 pp.
  4. I. M. Isaacs, Finite group theory, Grad. Stud. Math., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, xii+350 pp.
  5. H. Kurzweil, B. Stellmacher, The theory of finite groups. An introduction, Universitext, Springer-Verlag, New York, 2004, xii+387 pp.
  6. R. Baer, “Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen”, Math. Ann., 133 (1957), 256–270
  7. M. Suzuki, “Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is 2-closed”, Ann. of Math. (2), 82 (1965), 191–212
  8. J. Alperin, R. Lyons, “On conjugacy classes of $p$-elements”, J. Algebra, 19:2 (1971), 536–537
  9. H. Wielandt, “Kriterien für Subnormalität in endlichen Gruppen”, Math. Z., 138 (1974), 199–203
  10. R. Solomon, “A brief history of the classification of the finite simple groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 38:3 (2001), 315–352
  11. F. Timmesfeld, “Groups generated by a conjugacy class of involutions”, The Santa Cruz conference on finite groups (Univ. California, Santa Cruz, CA, 1979), Proc. Sympos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 103–109
  12. P. Flavell, S. Guest, R. Guralnick, “Characterizations of the solvable radical”, Proc. Amer. Math. Soc., 138:4 (2010), 1161–1170
  13. F. Fumagalli, G. Malle, “A generalisation of a theorem of Wielandt”, J. Algebra, 490 (2017), 474–492
  14. N. Gordeev, F. Grunewald, B. Kunyavskii, E. Plotkin, “A description of Baer–Suzuki type of the solvable radical of a finite group”, J. Pure Appl. Algebra, 213:2 (2009), 250–258
  15. N. Gordeev, F. Grunewald, B. Kunyavskiĭ, E. Plotkin, “Baer–Suzuki theorem for the solvable radical of a finite group”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 347:5-6 (2009), 217–222
  16. N. Gordeev, F. Grunewald, B. Kunyavskiĭ, E. Plotkin, “From Thompson to Baer–Suzuki: a sharp characterization of the solvable radical”, J. Algebra, 323:10 (2010), 2888–2904
  17. S. Guest, “A solvable version of the Baer–Suzuki theorem”, Trans. Amer. Math. Soc., 362:11 (2010), 5909–5946
  18. R. Guralnick, G. Malle, “Variations on the Baer–Suzuki theorem”, Math. Z., 279:3-4 (2015), 981–1006
  19. R. M. Guralnick, G. R. Robinson, “On extensions of the Baer–Suzuki theorem”, Israel J. Math., 82:1-3 (1993), 281–297
  20. В. Д. Мазуров, А. Ю. Ольшанский, А. И. Созутов, “О бесконечных группах конечного периода”, Алгебра и логика, 54:2 (2015), 243–251
  21. А. С. Мамонтов, “Аналог теоремы Бэра–Сузуки для бесконечных групп”, Сиб. матем. журн., 45:2 (2004), 394–398
  22. А. С. Мамонтов, “О теореме Бэра–Сузуки для групп $2$-периода $4$”, Алгебра и логика, 53:5 (2014), 649–652
  23. Э. М. Пальчик, “О порождениях парами сопряженных элементов в конечных группах”, Докл. НАН Беларуси, 55:4 (2011), 19–20
  24. Д. О. Ревин, “О $pi$-теоремах Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 52:2 (2011), 430–440
  25. Д. О. Ревин, “О связи между теоремами Силова и Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 52:5 (2011), 1138–1149
  26. А. И. Созутов, “Об одном обобщении теоремы Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 41:3 (2000), 674–675
  27. F. G. Timmesfeld, “A remark on a theorem of Baer”, Arch. Math. (Basel), 54:1 (1990), 1–3
  28. В. Н. Тютянов, “О существовании разрешимых нормальных подгрупп в конечных группах”, Матем. заметки, 61:5 (1997), 755–758
  29. В. Н. Тютянов, “Критерий непростоты для конечной группы”, Изв. Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры, 16:3 (2000), 125–137
  30. M. L. Sylow, “Theorèmes sur les groupes de substitutions”, Math. Ann., 5:4 (1872), 584–594
  31. P. Hall, “A note on soluble groups”, J. London Math. Soc., 3:2 (1928), 98–105
  32. Nanying Yang, D. O. Revin, E. P. Vdovin, “Baer–Suzuki theorem for the $pi$-radical”, Israel J. Math., 245:1 (2021), 173–207
  33. R. M. Guralnick, J. Saxl, “Generation of finite almost simple groups by conjugates”, J. Algebra, 268:2 (2003), 519–571
  34. Н. Ян, Чж. У, Д. О. Ревин, “О точной теореме Бэра–Сузуки для $pi$-радикала: спорадические группы”, Сиб. матем. журн., 63:2 (2022), 464–472
  35. I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, Pure Appl. Math., 69, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1976, xii+303 pp.
  36. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Clarendon Press, Oxford, 1985, xxxiv+252 pp.
  37. S. Guest, D. Levy, “Criteria for solvable radical membership via $p$-elements”, J. Algebra, 415 (2014), 88–111
  38. P. Kleidman, M. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 129, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, x+303 pp.
  39. D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A. Almost simple $K$-groups, Math. Surveys Monogr., 40.3, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xvi+419 pp.
  40. R. W. Carter, Simple groups of Lie type, Pure Appl. Math., 28, John Wiley & Sons, London–New York–Sydney, 1972, viii+331 pp.
  41. S. Gonshaw, M. W. Liebeck, E. A. O'Brien, “Unipotent class representatives for finite classical groups”, J. Group Theory, 20:3 (2017), 505–525
  42. B. N. Cooperstein, “Minimal degree for a permutation representation of a classical group”, Israel J. Math., 30:3 (1978), 213–235
  43. W. M. Kantor, “Subgroups of classical groups generated by long root elements”, Trans. Amer. Math. Soc., 248:2 (1979), 347–379
  44. J. McLaughlin, “Some groups generated by transvections”, Arch. Math. (Basel), 18 (1967), 364–368
  45. J. McLaughlin, “Some subgroups of $SL_n(mathbf{F}_2)$”, Illinois J. Math., 13:1 (1969), 108–115
  46. M. W. Liebeck, J. Saxl, “Minimal degrees of primitive permutation group, with an application to monodromy groups of covers of Riemann surfaces”, Proc. London Math. Soc. (3), 63:2 (1991), 266–314
  47. M. W. Liebeck, “The classification of finite simple Moufang loops”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102:1 (1987), 33–47
  48. G. Glauberman, Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Conf. Ser. Math., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1976, ix+74 pp.
  49. GAP – Groups, Algorithms, Programming – a system for computational discrete algebra, Version 4.11.1, 2019

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Yang N., Wu Z., Revin D.O., Vdovin E.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».