Отправить статью по E-mail Геодезический поток на пересечении нескольких софокусных квадрик в $\mathbb{R}^n$
- Авторы: Белозеров Г.В.1
-
Учреждения:
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
- Выпуск: Том 214, № 7 (2023)
- Страницы: 3-26
- Раздел: Статьи
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/133531
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9864
- ID: 133531
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Согласно теореме Якоби–Шаля для любой геодезической на $n$-осном эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве найдутся помимо этого эллипсоида еще $n-2$ софокусных с ним квадрик, которых одновременно касаются все касательные прямые, проведенные к этой геодезической. В работе показано, что если рассмотреть геодезический поток на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик, результат останется верным. Как и в случае теоремы Якоби–Шаля, этот факт обеспечивает интегрируемость соответствующего геодезического потока. Для каждого компактного пересечения нескольких невырожденных софокусных квадрик был определен его класс гомеоморфности. Как оказалось, любое такое пересечение гомеоморфно прямому произведению нескольких сфер. Также в работе описано достаточное условие на потенциал, добавление которого сохранит интегрируемость соответствующей динамической системы на пересечении произвольного числа софокусных квадрик.Библиография: 16 названий.
Об авторах
Глеб Владимирович Белозеров
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Список литературы
- C. G. J. Jacobi, “Note von der geodätischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiedenen Anwendungen einer merkwürdigen analytischen Substitution”, J. Reine Angew. Math., 1839:19 (1839), 309–313
- К. Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, М.–Л., 1936, 272 с.
- M. Chasles, “Sur les lignes geodesiques et les lignes de courbure des surfaces du second degre”, J. Math. Pures Appl., 11 (1846), 5–20
- В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, 3-е изд., Наука, М., 1989, 472 с.
- А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, “Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела”, Функц. анализ и его прил., 29:3 (1995), 1–15
- А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. 1, 2, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 444 с., 447 с.
- Нгуен Тьен Зунг, “Топологические инварианты интегрируемых геодезических потоков на многомерном торе и сфере”, Новые результаты в теории топологической классификации интегрируемых систем, Сборник статей, Тр. МИАН, 205, Наука, М., 1994, 73–90
- K. M. Davison, H. R. Dullin, A. V. Bolsinov, “Geodesics on the ellipsoid and monodromy”, J. Geom. Phys., 57:12 (2007), 2437–2454
- В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами, Изд-во Моск. ун-та, М., 1991, 168 с.
- В. Драгович, М. Раднович, Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2010, 338 с.
- В. В. Фокичева, “Описание особенностей системы ‘биллиард в эллипсе’ ”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2012, № 5, 31–34
- В. В. Фокичева, “Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2014, № 4, 18–27
- В. В. Фокичева, “Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик”, Матем. сб., 206:10 (2015), 127–176
- В. В. Козлов, “Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем”, Докл. АН СССР, 249:6 (1979), 1299–1302
- S. Gitler, S. Lopez de Medrano, “Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums”, Geom. Topol., 17:3 (2013), 1497–1534
- В. В. Козлов, “Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде”, ПММ, 59:1 (1995), 3–9
Дополнительные файлы
