Traces of Sobolev spaces to irregular subsets of metric measure spaces

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

При $p \in (1,\infty)$ пусть $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с равномерно локально удваивающей мерой $\mu$, допускающее слабое локальное $(1,p)$-неравенство Пуанкаре. При каждом $\theta \in [0,p)$ мы характеризуем след пространства Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ на замкнутых множествах $S \subset \operatorname{X}$, удовлетворяющих условию регулярности $\theta$-коразмерностного обхвата снизу. В частности, если пространство $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некоторых $Q \geq 1$ и $p \in (Q,\infty)$, то мы получаем внутреннее описание следа пространства Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ на произвольных непустых замкнутых множествах $S \subset \operatorname{X}$. Библиография: 43 названия.

Sobre autores

Alexander Tyulenev

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: tyulenev-math@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Bibliografia

  1. J. Heinonen, P. Koskela, N. Shanmugalingam, J. T. Tyson, Sobolev spaces on metric measure spaces. An approach based on upper gradients, New Math. Monogr., 27, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2015, xii+434 pp.
  2. N. Gigli, E. Pasqualetto, Lectures on nonsmooth differential geometry, SISSA Springer Ser., 2, Springer, Cham, 2020, xi+204 pp.
  3. L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare, “Density of Lipschitz functions and equivalence of weak gradients in metric measure spaces”, Rev. Mat. Iberoam., 29:3 (2013), 969–996
  4. L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare, “Calculus and heat flow in metric measure spaces and applications to spaces with Ricci bounds from below”, Invent. Math., 195:2 (2014), 289–391
  5. N. J. Korevaar, R. M. Schoen, “Sobolev spaces and harmonic maps for metric space targets”, Comm. Anal. Geom., 1:3-4 (1993), 561–659
  6. P. Hajlasz, “Sobolev spaces on an arbitrary metric space”, Potential Anal., 5:4 (1996), 403–415
  7. J. Cheeger, “Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces”, Geom. Funct. Anal., 9:3 (1999), 428–517
  8. N. Shanmugalingam, “Newtonian spaces: an extension of Sobolev spaces to metric measure spaces”, Rev. Mat. Iberoam., 16:2 (2000), 243–279
  9. N. Gigli, A. Tyulenev, “Korevaar–Schoen's energy on strongly rectifiable spaces”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:6 (2021), 235, 54 pp.
  10. A. Björn, J. Björn, Nonlinear potential theory on metric spaces, EMS Tracts Math., 17, Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2011, xii+403 pp.
  11. R. Gibara, R. Korte, N. Shanmugalingam, Solving a Dirichlet problem for unbounded domains via a conformal transformation
  12. R. Gibara, N. Shanmugalingam, “Trace and extension theorems for homogeneous Sobolev and Besov spaces for unbounded uniform domains in metric measure spaces”, Труды МИАН, 323 (to appear)
  13. A. Jonsson, H. Wallin, Function spaces on subsets of $mathbb{R}^{n}$, Math. Rep., 2, no. 1, Harwood Acad. Publ., London, 1984, xiv+221 pp.
  14. L. Maly, Trace and extension theorems for Sobolev-type functions in metric spaces
  15. L. Maly, N. Shanmugalingam, M. Snipes, “Trace and extension theorems for functions of bounded variation”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 18:1 (2018), 313–341
  16. V. S. Rychkov, “Linear extension operators for restrictions of function spaces to irregular open sets”, Studia Math., 140:2 (2000), 141–162
  17. E. Saksman, T. Soto, “Traces of Besov, Triebel–Lizorkin and Sobolev spaces on metric spaces”, Anal. Geom. Metr. Spaces, 5:1 (2017), 98–115
  18. P. Shvartsman, “On extensions of Sobolev functions defined on regular subsets of metric measure spaces”, J. Approx. Theory, 144:2 (2007), 139–161
  19. P. Shvartsman, “Sobolev $W^{1}_{p}$-spaces on closed subsets of $mathbf{R}^{n}$”, Adv. Math., 220:6 (2009), 1842–1922
  20. P. Shvartsman, “Whitney-type extension theorems for jets generated by Sobolev functions”, Adv. Math., 313 (2017), 379–469
  21. С. К. Водопьянов, А. И. Тюленев, “Пространства Соболева $W^{1}_{p}$ на $d$-толстых замкнутых подмножествах $mathbb{R}^{n}$”, Матем. сб., 211:6 (2020), 40–94
  22. А. И. Тюленев, “О почти точном описании следов пространств Соболева на компактах”, Матем. заметки, 110:6 (2021), 948–953
  23. A. I. Tyulenev, “Almost sharp descriptions of traces of Sobolev $W_{p}^{1}(mathbb{R}^{n})$-spaces to arbitrary compact subsets of $mathbb{R}^{n}$. The case $p in (1,n]$”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 26 (2025) (to appear)
  24. M. Garcia-Bravo, T. Ikonen, Zheng Zhu, Extensions and approximations of Banach-valued Sobolev functions
  25. J. Azzam, R. Schul, “An analyst's traveling salesman theorem for sets of dimension larger than one”, Math. Ann., 370:3-4 (2018), 1389–1476
  26. J. Azzam, M. Villa, “Quantitative comparisons of multiscale geometric properties”, Anal. PDE, 14:6 (2021), 1873–1904
  27. А. И. Тюленев, “Некоторые свойства множеств типа пористости, связанные с $d$-обхватом по Хаусдорфу”, Труды МИАН, 319 (2022), 298–323
  28. E. M. Stein, Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton Math. Ser., 43, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, xiv+695 pp.
  29. A. P. Calderon, “Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions”, Studia Math., 44 (1972), 563–582
  30. Ю. А. Брудный, “Пространства, определяемые с помощью локальных приближений”, Тр. ММО, 24, Изд-во Моск. ун-та, М., 1971, 69–132
  31. P. Shmerkin, Porosity, dimension, and local entropies: a survey
  32. L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity problems, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 2000, xviii+434 pp.
  33. M. Christ, “A $T(b)$ theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral”, Colloq. Math., 60/61:2 (1990), 601–628
  34. J. Martin, W. A. Ortiz, “A Sobolev type embedding theorem for Besov spaces defined on doubling metric spaces”, J. Math. Anal. Appl., 479:2 (2019), 2302–2337
  35. P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability, Cambridge Stud. Adv. Math., 44, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, xii+343 pp.
  36. T. J. Laakso, “Ahlfors $Q$-regular spaces with arbitrary $Q > 1$ admitting weak Poincare inequality”, Geom. Funct. Anal., 10:1 (2000), 111–123
  37. E. Järvenpää, M. Järvenpää, A. Käenmäki, T. Rajala, S. Rogovin, V. Suomala, “Packing dimension and Ahlfors regularity of porous sets in metric spaces”, Math. Z., 266:1 (2010), 83–105
  38. L. Ambrosio, M. Colombo, S. Di Marino, “Sobolev spaces in metric measure spaces: reflexivity and lower semicontinuity of slope”, Variational methods for evolving objects, Adv. Stud. Pure Math., 67, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2015, 1–58
  39. L. Ambrosio, “Calculus, heat flow and curvature-dimension bounds in metric measure spaces”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Rio de Janeiro, 2018), v. 1, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, 301–340
  40. S. Di Marino, G. Speight, “The $p$-weak gradient depends on $p$”, Proc. Amer. Math. Soc., 143:12 (2015), 5239–5252
  41. X. Tolsa, “$BMO$, $H^{1}$ and Calderon–Zygmund operators for non doubling measures”, Math. Ann., 319:1 (2001), 89–149
  42. A. I. Tyulenev, “Restrictions of Sobolev $W_{p}^{1}(mathbb{R}^{2})$-spaces to planar rectifiable curves”, Ann. Fenn. Math., 47:1 (2022), 507–531
  43. C. Cascante, J. M. Ortega, I. E. Verbitsky, “Nonlinear potentials and two weight trace inequalities for general dyadic and radial kernels”, Indiana Univ. Math. J., 53:3 (2004), 845–882

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Тюленев А.I., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».