The degrees of maps between $(n-1)$-connected $(2n+1)$-dimensional manifolds or Poincare complexes and their applications

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this paper, using homotopy theoretical methods we study the degrees of maps between $(n-1)$-connected $(2n+1)$-dimensional Poincare complexes. Necessary and sufficient algebraic conditions for the existence of mapping degrees between such Poincare complexes are established. These conditions allow us, up to homotopy, to construct explicitly all maps with a given degree. As an application of mapping degrees, we consider maps between ${(n-1)}$-connected $(2n+1)$-dimensional Poincare complexes with degree $\pm 1$, and give a sufficient condition for these to be homotopy equivalences. This resolves a homotopy theoretical analogue of Novikov's question: when is a map of degree $1$ between manifolds a homeomorphism? For low $n$, we classify, up to homotopy, torsion free $(n-1)$-connected $(2n+1)$-dimensional Poincare complexes. Bibliography: 29 titles.

About the authors

Jelena Grbić

University of Southampton

Email: J.Grbic@soton.ac.uk
PhD, Professor

Aleksandar Vučić

University of Belgrade, Faculty of Mathematics

References

  1. H.-J. Baues, “The degree of maps between certain 6-manifolds”, Compositio Math., 110:1 (1998), 51–64
  2. P. Beben, Jie Wu, “The homotopy type of a Poincare duality complex after looping”, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 58:3 (2015), 581–616
  3. L. E. J. Brouwer, “Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl”, Math. Ann., 70:2 (1911), 161–165
  4. L. E. J. Brouwer, “Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten”, Math. Ann., 71:1 (1911), 97–115
  5. F. R. Cohen, J. C. Moore, J. A. Neisendorfer, “Torsion in homotopy groups”, Ann. of Math. (2), 109:1 (1979), 121–168
  6. Haibao Duan, “Self-maps of the Grassmannian of complex structures”, Compositio Math., 132:2 (2002), 159–175
  7. Haibao Duan, Shicheng Wang, “The degrees of maps between manifolds”, Math. Z., 244:1 (2003), 67–89
  8. Hai Bao Duan, Shi Cheng Wang, “Non-zero degree maps between $2n$-manifolds”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 20:1 (2004), 1–14
  9. A. L. Edmonds, “Deformation of maps to branched coverings in dimension two”, Ann. of Math. (2), 110:1 (1979), 113–125
  10. M. H. Freedman, “The topology of four-dimensional manifolds”, J. Differential Geometry, 17:3 (1982), 337–453
  11. M. Golasinski, J. Mukai, “Gottlieb groups of spheres”, Topology, 47:6 (2008), 399–430
  12. C. Hayat-Legrand, Shicheng Wang, H. Zieschang, “Minimal Seifert manifolds”, Math. Ann., 308:4 (1997), 673–700
  13. M. Hoffman, “Endomorphisms of the cohomology of complex {G}rassmannians”, Trans. Amer. Math. Soc., 281:2 (1984), 745–760
  14. I. M. James, “Reduced product spaces”, Ann. of Math. (2), 62:1 (1955), 170–197
  15. C. A. Mcgibbon, “Endomorphisms of the cohomology of complex Grassmannians”, Trans. Amer. Math. Soc., 281:2 (1984), 745–760
  16. Дж. Милнор, “Топология с дифференциальной точки зрения”: Дж. Милнор, А. Уоллес, Дифференциальная топология. Начальный курс, Мир, М., 1972, 178–262
  17. J. Mukai, K. Yamaguchi, “Homotopy classification of twisted complex projective spaces of dimension 4”, J. Math. Soc. Japan, 57:2 (2005), 461–489
  18. J. Neisendorfer, Primary homotopy theory, Mem. Amer. Math. Soc., 25, no. 232, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, iv+67 pp.
  19. J. Neisendorfer, Algebraic methods in unstable homotopy theory, New Math. Monogr., 12, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, xx+554 pp.
  20. Yongwu Rong, “Maps between Seifert fibered spaces of infinite $pi_1$”, Pacific J. Math., 160:1 (1993), 143–154
  21. С. П. Новиков, “Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 365–474
  22. S. Sasao, “On homotopy type of certain complexes”, Topology, 3:2 (1965), 97–102
  23. Н. Стинрод, Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953, 274 с.
  24. T. Somma, “Maps between Seifert fibered spaces of infinite $pi_1$”, Pacific J. Math., 160 (1993), 143–154
  25. Х. Тода, Композиционные методы в теории гомотопических групп сфер, Наука, М., 1982, 222 с.
  26. C. T. C. Wall, “Poincare complexes. I”, Ann. of Math. (2), 86 (1967), 213–245
  27. C. T. C. Wall, “Classification of $(n-1)$-connected $2n$-manifolds”, Ann. of Math. (2), 75 (1962), 163–189
  28. Shicheng Wang, “The $pi_1$-injectivity of self-maps of nonzero degree on 3-manifolds”, Math. Ann., 297:1 (1993), 171–189
  29. G. W. Whitehead, Elements of homotopy theory, Grad. Texts in Math., 61, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1978, xxi+744 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Грбич Е., Вучич А.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».