Email this article Polyhomomorphisms of locally compact groups
- Authors: Neretin Y.A.1,2,3,4
-
Affiliations:
- Faculty of Mathematics, University of Vienna
- State Scientific Center of the Russian Federation - Institute for Theoretical and Experimental Physics
- Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
- Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)
- Issue: Vol 212, No 2 (2021)
- Pages: 53-80
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/142359
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9412
- ID: 142359
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Let $G$ and $H$ be locally compact groups with fixed two-sided invariant Haar measures. A polyhomomorphism $G\rightarrowtail H$ is a closed subgroup $R\subset G\times H$ with fixed Haar measure, whose marginals on $G$ and $H$ are dominated by the Haar measures on $G$ and $H$. A polyhomomorphism can be regarded as a multi-valued map sending points to sets equipped with ‘uniform’ measures. For two polyhomomorphisms $G\rightarrowtail H$ and $H\rightarrowtail K$ there is a well-defined product $G\rightarrowtail K$. The set of polyhomomorphisms $G\rightarrowtail H$ is a metrizable compact space with respect to the Chabauty-Bourbaki topology and the product is separately continuous. A polyhomomorphism $G\rightarrowtail H$ determines a canonical operator $L^2(H)\to L^2(G)$, which is a partial isometry up to a scalar factor. For example, we consider locally compact linear spaces over finite fields and examine the closures of groups of linear operators in semigroups of polyhomomorphisms. Bibliography: 40 titles.
About the authors
Yurii Aleksandrovich Neretin
Faculty of Mathematics, University of Vienna; State Scientific Center of the Russian Federation - Institute for Theoretical and Experimental Physics; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)
Email: hepetuh@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- Э. Хьюитт, К. Росс, Абстрактный гармонический анализ, т. I, Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представления групп, Наука, М., 1975, 654 с.
- Н. Бурбаки, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, Наука, М., 1969
- Н. Бурбаки, Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, Наука, М., 1970
- А. Вейль, Интегрирование в топологических группах и его применения, ИЛ, М., 1950, 224 с.
- Д. П. Желобенко, Основные структуры и методы теории представлений, МЦНМО, М., 2004, 488 с.
- Ю. А. Неретин, Топологические группы и инвариантные меры
- A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Grad. Texts in Math., 156, Springer-Verlag, New York, 1995, xviii+402 pp.
- В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Москва–Ижевск, 2003, 576 с.
- С. Маклейн, “Алгебра аддитивных отношений”, Математика, 7:6 (1963), 3–12
- Yu. A. Neretin, Lectures on Gaussian integral operators and classical groups, EMS Ser. Lect. Math., Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2011, xii+559 pp.
- H. Schubert, Kategorien, v. I, Heidelberger Taschenbücher, 65, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1970, ix+160 pp.
- Ю. А. Неретин, Категории симметрий и бесконечномерные группы, Эдиториал УРСС, М., 1998, 431 с.
- E. Michael, “Topologies on spaces of subsets”, Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951), 152–182
- I. Biringer, “Metrizing the Chabauty topology”, Geom. Dedicata, 195 (2018), 19–22
- Ю. А. Неретин, “Категории бистохастических мер и представления некоторых бесконечномерных групп”, Матем. сб., 183:2 (1992), 52–76
- Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич, Интеграл, мера и производная, 2-е изд., Наука, М., 1967, 220 с.
- E. Hopf, “The general temporally discrete Markoff process”, J. Rational Mech. Anal., 3 (1954), 13–45
- Ж. Невe, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969, 309 с.
- А. М. Вершик, “Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы”, Проблемы теории вероятностных распределений. IV, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 72, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1977, 26–61
- U. Krengel, Ergodic theorems, De Gruyter Stud. Math., 6, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985, viii+357 pp.
- K. Schmidt, A. Vershik, “Algebraic polymorphisms”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 28:2 (2008), 633-642
- J. A. Wolf, “Elliptic spaces in Grassmann manifolds”, Illinois J. Math., 7:3 (1963), 447–462
- T. Tsankov, “Unitary representations of oligomorphic groups”, Geom. Funct. Anal., 22:2 (2012), 528–555
- G. I. Ol'shanskiĭ, “On semigroups related to infinite-dimensional groups”, Topics in representation theory, Adv. Soviet Math., 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 67–101
- Yu. A. Neretin, “The space $L^2$ on semi-infinite Grassmannian over finite field”, Adv. Math., 250 (2014), 320–350
- Yu. A. Neretin, Groups $mathrm{GL}(infty)$ over finite fields and multiplications of double cosets
- Yu. A. Neretin, On the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group over a finite field
- G. I. Olshanskiĭ, “Unitary representations of infinite-dimensional pairs $(G,K)$ and the formalism of R. Howe”, Representations of Lie groups and related topics, Adv. Stud. Contemp. Math., 7, Gordon and Breach, New York, 1990, 269–463
- E. Nelson, “The free Markoff field”, J. Funct. Anal., 12:2 (1973), 211–227
- Yu. A. Neretin, “Spreading maps (polymorphisms), symmetries of Poisson processes, and matching summation”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. VII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 292, ПОМИ, СПб., 2002, 62–91
- Yu. Neretin, “Symmetries of Gaussian measures and operator colligations”, J. Funct. Anal., 263:3 (2012), 782–802
- Ю. А. Неретин, “Распределения Уишарта–Пикреля и замыкания групповых действий”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 448, ПОМИ, СПб., 2016, 236–245
- R. E. Howe, C. C. Moore, “Asymptotic properties of unitary representations”, J. Funct. Anal., 32:1 (1979), 72–96
- J. King, “The commutant is the weak closure of the powers, for rank-1 transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 6:3 (1986), 363–384
- E. Janvresse, T. de la Rue, V. Ryzhikov, “Around King's rank-one theorems: flows and $mathbb{Z}^n$-actions”, Dynamical systems and group actions, Contemp. Math., 567, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 143–161
- S. Solecki, “Closed subgroups generated by generic measure automorphisms”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 34:3 (2014), 1011–1017
- E. Janvresse, A. A. Prikhod'ko, T. de la Rue, V. V. Ryzhikov, “Weak limits of powers of Chacon's automorphism”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 35:1 (2015), 128–141
- А. Ю. Кушнир, В. В. Рыжиков, “Слабые замыкания эргодических действий”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 847–854
- В. В. Рыжиков, “Слабое замыкание бесконечных действий ранга $1$, присоединения и спектр”, Матем. заметки, 106:6 (2019), 894–903
- G. W. Mackey, “Borel structure in groups and their duals”, Trans. Amer. Math. Soc., 85 (1957), 134–165
Supplementary files
