Smoothness of functions and Fourier coefficients

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider functions represented as trigonometric series with general monotone Fourier coefficients. The main result of the paper is the equivalence of the $L_p$ modulus of smoothness, $1< p< \infty$, of such functions to certain sums of their Fourier coefficients. As applications, for such functions we give a description of the norm in the Besov space and sharp direct and inverse theorems in approximation theory.
Bibliography: 34 titles.

About the authors

Mikhail Ivanovich Dyachenko

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Author for correspondence.
Email: dyach@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Askhat Birlesovich Mukanov

Universitat Autònoma de Barcelona; Centre de Recerca Matemàtica; Kazakhstan Branch of Lomonosov Moscow State University

Email: mukanov.askhat@gmail.com

Sergei Yur'evich Tikhonov

Centre de Recerca Matemàtica; Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats; Universitat Autònoma de Barcelona

Email: stikhonov@crm.cat
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.
  2. S. Tikhonov, “Trigonometric series of Nikol'skii classes”, Acta Math. Hungar., 114:1-2 (2007), 61–78
  3. G. G. Lorentz, “Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen”, Math. Z., 51:2 (1948), 135–149
  4. А. Ф. Тиман, М. Ф. Тиман, “Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем”, Докл. АН СССР, 71:1 (1950), 17–20
  5. D. Gorbachev, S. Tikhonov, “Moduli of smoothness and growth properties of Fourier transforms: two-sided estimates”, J. Approx. Theory, 164:9 (2012), 1283–1312
  6. А. А. Конюшков, “О классах Липшица”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 21:3 (1957), 423–448
  7. S. Aljančic, “On the integral moduli of continuity in $L_p (1
  8. М. К. Потапов, M. Бериша, “Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 26(40) (1979), 215–228
  9. S. Aljančic, M. Tomic, “Über den Stetigkeitsmodul von Fourier-Reihen mit monotonen Koeffizienten”, Math. Z., 88:3 (1965), 274–284
  10. R. Askey, “Smoothness conditions for Fourier series with monotone coefficients”, Acta Sci. Math. (Szeged), 28 (1967), 169–171
  11. R. P. Boas Jr., Integrability theorems for trigonometric transforms, Ergeb. Math. Grenzgeb., 38, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1967, v+66 pp.
  12. Y. Kolomoitsev, S. Tikhonov, “Hardy–Littlewood and Ulyanov inequalities”, Mem. Amer. Math. Soc. (to appear)
  13. Б. В. Симонов, С. Ю. Тихонов, “Теоремы вложения в конструктивной теории приближений”, Матем. сб., 199:9 (2008), 107–148
  14. S. Tikhonov, “Trigonometric series with general monotone coefficients”, J. Math. Anal. Appl., 326:1 (2007), 721–735
  15. S. Tikhonov, “Best approximation and moduli of smoothness: computation and equivalence theorems”, J. Approx. Theory, 153:1 (2008), 19–39
  16. D. B. H. Cline, “Regularly varying rates of decrease for moduli of continuity and Fourier transforms of functions on $mathbb{R}^d$”, J. Math. Anal. Appl., 159:2 (1991), 507–519
  17. W. Trebels, “Estimates for moduli of continuity of functions given by their Fourier transform”, Constructive theory of functions of several variables (Math. Res. Inst., Oberwolfach, 1976), Lecture Notes in Math., 571, Springer, Berlin, 1977, 277–288
  18. J. Garcia-Cuerva, V. I. Kolyada, “Rearrangement estimates for Fourier transforms in $L^p$ and $H^p$ in terms of moduli of continuity”, Math. Nachr., 228 (2001), 123–144
  19. R. J. Le, S. P. Zhou, “A remark on “two-sided” monotonicity condition: an application to $L_p$ convergence”, Acta Math. Hungar., 113:1-2 (2006), 159–169
  20. L. Leindler, “Relations among Fourier coefficients and sum-functions”, Acta Math. Hungar., 104:1-2 (2004), 171–183
  21. C. Oehring, “Asymptotics of rearranged trigonometric and Walsh–Fourier coefficients of smooth functions”, J. Math. Anal. Appl., 164:2 (1992), 422–446
  22. B. Szal, “On the integral modulus of continuity of Fourier series”, Acta Math. Hungar., 131:1-2 (2011), 138–159
  23. Dansheng Yu, Songping Zhou, “On relations among Fourier coefficients and sum-functions”, Studia Sci. Math. Hungar., 45:3 (2008), 301–319
  24. E. Liflyand, S. Tikhonov, “A concept of general monotonicity and applications”, Math. Nachr., 284:8-9 (2011), 1083–1098
  25. Lei Feng, V. Totik, Song Ping Zhou, “Trigonometric series with a generalized monotonicity condition”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 30:8 (2014), 1289–1296
  26. M. I. Dyachenko, S. Yu. Tikhonov, “Smoothness and asymptotic properties of functions with general monotone Fourier coefficients”, J. Fourier Anal. Appl., 24:4 (2018), 1072–1097
  27. M. Dyachenko, E. Nursultanov, A. Kankenova, “On summability of Fourier coefficients of functions from Lebesgue space”, J. Math. Anal. Appl., 419:2 (2014), 959–971
  28. M. I. Dyachenko, E. D. Nursultanov, A. M. Zhantakbayeva, “Hardy–Littlewood type theorems”, Eurasian Math. J., 4:2 (2013), 140–143
  29. Z. Ditzian, V. H. Hristov, K. G. Ivanov, “Moduli of smoothness and $K$-functionals in $L_p$, $0
  30. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, II, Мир, М., 1965, 615 с., 537 с.
  31. R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive approximation, Grundlehren Math. Wiss., 303, Springer-Verlag, Berlin, 1993, x+449 pp.
  32. F. Dai, Z. Ditzian, S. Tikhonov, “Sharp Jackson inequalities”, J. Approx. Theory, 151:1 (2008), 86–112
  33. А. А. Конюшков, “Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье”, Матем. сб., 44(86):1 (1958), 53–84
  34. M. Dyachenko, A. Mukanov, S. Tikhonov, “Hardy–Littlewood theorems for trigonometric series with general monotone coefficients”, Studia Math. (to appear)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Дьяченко М.I., Муканов А.B., Тихонов С.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».