Линейная совместная коллокационная аппроксимация для параметрических и стохастических эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными

Рассмотрим параметрическую эллиптическую задачу $$- \operatorname{div}(a(y)(x)\nabla u(y)(x))=f(x),\qquad x \in D, \quad y \in {\mathbb I}^\infty, \quad u|_{\partial D}=0, $$ где $D \subset \mathbb R^m$ – ограниченная липшицева область, ${\mathbb I}^\infty:=[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$ и коэффициенты диффузии $a$ удовлетворяют условию равномерной эллиптичности и аффинно зависят от $y$. Параметр $y$ может быть детерминированной или случайной величиной. Основная задача, изучением которой мы будем заниматься в настоящей работе, состоит в следующем. Предположим, что имеется последовательность аппроксимаций с некоторой скоростью сходимости погрешности в энергетической норме пространства $V:=H^1_0(D)$ для непараметрической задачи $- \operatorname{div} (a(y_0)(x)\nabla u(y_0)(x))=f(x)$ в каждой точке $y_0 \in {\mathbb I}^\infty$. При каких условиях эта последовательность будет индуцировать последовательность аппроксимаций с той же скоростью сходимости погрешности для параметрической эллиптической задачи в норме пространств Бохнера $L_\infty({\mathbb I}^\infty,V)$? Мы решили эту задачу линейными совместными коллокационными методами на основе интерполяции многочленами Лагранжа в области параметра ${\mathbb I}^\infty$. Мы покажем, что при очень слабых условиях эти методы аппроксимации дают ту же скорость сходимости погрешности, что и для непараметрической эллиптической задачи. В этом смысле линейные методы нивелируют проклятие размерности. Библиография: 22 названия.

задачи высокой размерности, параметрические и стохастические эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными, линейная совместная коллокационная аппроксимация, аффинная зависимость коэффициентов диффузии