On the measure of KAM tori in the neighborhood of a separatrix

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Рассмотрим интегрируемую по Лиувиллю гамильтонову систему с $n$ степенями свободы. Предположим, что слоение фазового пространства на инвариантные лагранжевы $n$-мерные торы вырождается на $(2n-1)$-мерном особом подмногообразии $\mathbb{W}$, образованном асимптотическими многообразиями $(n-1)$-мерных гиперболических торов. При малом порядка $\varepsilon$ возмущении системы интегрируемость, как правило, исчезает, но согласно КАМ-теории большинство $n$-мерных инвариантных торов выживает. Динамику на дополнении $C$ к указанному торическому множеству принято ассоциировать с хаосом.В статье исследуется мера множества точек, являющегося пересечением окрестности многообразия $\mathbb{W}$ c множеством $C$. При естественных предположениях эта мера имеет порядок $\sqrt \varepsilon$.Этот результат дополняет и обобщает оценки меры множества $C$ вдали от многообразия $\mathbb{W}$, полученные в работах Н. В. Сванидзе, А. И. Нейштадта и Ю. Пёшеля.Библиография: 13 названий.

About the authors

Anton Gennad'evich Medvedev

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: medvedev_ag@inbox.ru
without scientific degree, no status

References

  1. А. Н. Колмогоров, “О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона”, Докл. АН СССР, 98 (1954), 527–530
  2. В. И. Арнольд, “Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона”, УМН, 18:5(113) (1963), 13–40
  3. Ю. Мозер, “О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь”, Математика, 6:5 (1962), 51–68
  4. А. И. Нейштадт, “Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений”, ПММ, 45:6 (1981), 1016–1025
  5. J. Pöschel, “Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets”, Comm. Pure Appl. Math., 35:5 (1982), 653–695
  6. Н. В. Сванидзе, “Малые возмущения интегрируемой динамической системы с интегральным инвариантом”, Краевые задачи математической физики. 10, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 147, 1980, 124–146
  7. L. Biasco, L. Chierchia, “Explicit estimates on the measure of primary KAM tori”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 197:1 (2018), 261–281
  8. L. Biasco, L. Chierchia, “On the measure of Lagrangian invariant tori in nearly-integrable mechanical systems”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 26:4 (2015), 423–432
  9. A. G. Medvedev, A. I. Neishtadt, D. V. Treschev, “Lagrangian tori near resonances of near-integrable Hamiltonian systems”, Nonlinearity, 28:7 (2015), 2105–2130
  10. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, “Математические аспекты классической и небесной механики”, Динамические системы – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5–290
  11. L. Biasco, L. Chierchia, Singular KAM theory, 2023
  12. J. Möser, “The analytic invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point”, Comm. Pure Appl. Math., 9:4 (1956), 673–692
  13. D. Treschev, O. Zubelevich, Introduction to the perturbation theory of Hamiltonian systems, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2010, x+211 pp.
  14. А. И. Нейштадт, Вопросы теории возмущений нелинейных резонансных систем, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, МГУ им. М. В. Ломоносова, М., 298 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2024 Медведев А.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».