$n$-valued groups, branched coverings and hyperbolic 3-manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The theory of $n$-valued groups and its applications is developed by going over from groups defined axiomatically to combinatorial groups defined by generators and relations. A wide class of cyclic $n$-valued groups is introduced on the basis of cyclically presented groups. The best-known cyclically presented groups are the Fibonacci groups introduced by Conway. The problem of the existence of the orbit space of $n$-valued groups is related to the problem of the integrability of $n$-valued dynamics. Conditions for the existence of such spaces are presented. Actions of cyclic $n$-valued groups on $\mathbb R^3$ with orbit space homeomorphic to $S^3$ are constructed. The projections $\mathbb R^3 \to S^3$ onto the orbit space are shown to be connected, by means of commutative diagrams, with coverings of the sphere $S^3$ by three-dimensional compact hyperbolic manifolds which are cyclically branched along a hyperbolic knot. Bibliography: 54 titles.

About the authors

Victor Matveevich Buchstaber

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Faculty of Computer Science, National Research University "Higher School of Economics"

Email: buchstab@mi-ras.ru
ORCID iD: 0000-0003-0083-6599
Scopus Author ID: 7004180276
ResearcherId: I-9829-2014
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Andrei Yurievich Vesnin

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Tomsk State University; Novosibirsk State University

Email: vesnin@math.nsc.ru
ORCID iD: 0000-0001-7553-1269
SPIN-code: 9584-2130
Scopus Author ID: 56244455800
ResearcherId: K-1134-2012
Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. В. М. Бухштабер, С. П. Новиков, “Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса”, Матем. сб., 84(126):1 (1971), 81–118
  2. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:5 (1975), 1044–1064
  3. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. II”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 289–325
  4. В. М. Бухштабер, “Топологические приложения теории двузначных формальных групп”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:1 (1978), 130–184
  5. В. М. Бухштабер, “Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы”, УМН, 45:3(273) (1990), 185–186
  6. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Multivalued groups, their representations and Hopf algebras”, Transform. Groups, 2:4 (1997), 325–349
  7. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Frobenius $n$-homomorphisms, transfers and branched coverings”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 144:1 (2008), 1–12
  8. V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, “Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1996:8 (1996), 381–400
  9. V. M. Buchstaber, V. Dragovic, “Two-valued groups, Kummer varieties, and integrable billiards”, Arnold Math. J., 4:1 (2018), 27–57
  10. В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, А. А. Гайфуллин, “Классификация инволютивных коммутативных двузначных групп”, УМН, 77:4(466) (2022), 91–172
  11. G. Higman, “A finitely generated infinite simple group”, J. London Math. Soc., 26:1 (1951), 61–64
  12. D. L. Johnson, J. W. Wamsley, D. Wright, “The Fibonacci groups”, Proc. London Math. Soc. (3), 29:4 (1974), 577–592
  13. H. Helling, A. C. Kim, J. L. Mennicke, “A geometric study of Fibonacci groups”, J. Lie Theory, 8:1 (1998), 1–23
  14. В. Г. Бардаков, А. Ю. Веснин, “Об обобщении групп Фибоначчи”, Алгебра и логика, 42:2 (2003), 131–160
  15. C. Maclachlan, A. W. Reid, “Generalized Fibonacci manifolds”, Transform. Groups, 2:2 (1997), 165–182
  16. A. Szczepanski, A. Vesnin, “On generalized Fibonacci groups with an odd number of generators”, Comm. Algebra, 28:2 (2000), 959–965
  17. J. H. Conway, “Advanced problem 5327”, in “Advanced problems: 5320–5329”, Amer. Math. Monthly, 72:8 (1965), 915
  18. J. H. Conway, J. A. Wenzel, R. C. Lyndon, H. Flanders, “5327”, in “Solutions of advanced problems”, Amer. Math. Monthly, 74:1 (1967), 91–93
  19. G. Williams, “Groups of Fibonacci type revisited”, Internat. J. Algebra Comput., 22:08 (2012), 1240002, 19 pp.
  20. A. J. Sieradski, “Combinatorial squashings, 3-manifolds, and the third homology of groups”, Invent. Math., 84:1 (1986), 121–139
  21. А. Ю. Веснин, А. Ч. Ким, “Дробные группы Фибоначчи и многообразия”, Сиб. матем. журн., 39:4 (1998), 765–775
  22. M. F. Newman, “Proving a group infinite”, Arch. Math. (Basel), 54:3 (1990), 209–211
  23. V. Noferini, G. Williams, “Cyclically presented groups as labelled oriented graph groups”, J. Algebra, 605 (2022), 179–198
  24. W. A. Bogley, “On shift dynamics for cyclically presented groups”, J. Algebra, 418 (2014), 154–173
  25. K. McDernott, Topological and dynamical properties of cyclically presented groups, Ph.D. thesis, Oregon State Univ., 2017, 111 pp.
  26. В. М. Бухштабер, А. М. Вершик, С. А. Евдокимов, И. Н. Пономаренко, “Комбинаторные алгебры и многозначные инволютивные группы”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 12–18
  27. J. Howie, G. Williams, “Fibonacci type presentations and 3-manifolds”, Topology Appl., 215 (2017), 24–34
  28. A. Cavicchioli, F. Hegenbarth, A. C. Kim, “A geometric study of Sieradski groups”, Algebra Colloq., 5:2 (1998), 203–217
  29. A. C. Kim, A. Vesnin, “Cyclically presented groups and Takahashi manifolds”, Analysis of discrete groups, II (Kyoto, 1996), Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku, 1022 (1997), 200–212
  30. M. Mulazzani, A. Vesnin, “Generalized Takahashi manifolds”, Osaka J. Math., 39:3 (2002), 705–721
  31. V. M. Buchstaber, “$n$-valued groups: theory and applications”, Mosc. Math. J., 6:1 (2006), 57–84
  32. H. Behravesh, A. Borovik, “A note on multivalued groups”, Ric. Mat., 61:2 (2012), 245–253
  33. Э. Баннаи, Т. Ито, Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений, Мир, М., 1987, 375 с.
  34. А. А. Гайфуллин, “Коммутативность инволютивных двузначных групп”, УМН, 79:2(476) (2024), 185–186
  35. M. Edjvet, P. Hammond, N. Thomas, “Cyclic presentations of the trivial group”, Exp. Math., 10:2 (2001), 303–306
  36. М. И. Корнев, “$n$-значные косетные группы и динамика”, Матем. заметки, 116:1 (2024), 77–90
  37. A. Dold, “Ramified coverings, orbit projections and symmetric powers”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 99:1 (1986), 65–72
  38. R. Benedetti, C. Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1992, xiv+330 pp.
  39. J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Grad. Texts in Math., 149, Springer-Verlag, New York, 1994, xii+747 pp.
  40. R. H. Fox, “Covering spaces with singularities”, Algebraic geometry and topology, A simposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Math. Ser., 12, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1957, 243–257
  41. Д. В. Гугнин, “Топологические приложения градуированных $n$-гомоморфизмов Фробениуса”, Тр. ММО, 72, № 1, МЦНМО, М., 2011, 127–188
  42. M. Mulazzani, A. Vesnin, “The many faces of cyclic branched coverings of 2-bridge knots and links”, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 49 (2001), 177–215
  43. M. Boileau, J. Porti, Geometrization of 3-orbifolds of cyclic type, Asterisque, 272, Soc. Math. France, Paris, 2001, vi+208 pp.
  44. A. Kawauchi, A survey of knot theory, Transl. from the Japan., Birkhäuser Verlag, Basel, 1996, xxii+420 pp.
  45. А. Ю. Веснин, А. Д. Медных, “Гиперболические объемы многообразий Фибоначчи”, Сиб. матем. журн., 36:2 (1995), 266–277
  46. W. Hantzsche, H. Wendt, “Dreidimensionale euklidische Raumformen”, Math. Ann., 110:1 (1935), 593–611
  47. B. Zimmermann, “On the Hantzsche–Wendt manifold”, Monatsh. Math., 110:3-4 (1990), 321–327
  48. Дж. Вольф, Пространство постоянной кривизны, Наука, М., 1982, 480 с.
  49. Г. Зейферт, В. Трельфалль, Топология, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 2001, 448 с.
  50. H. M. Hilden, M. T. Lozano, J. M. Montesinos-Amilibia, “The arithmeticity of the figure eight knot orbifolds”, Topology {'}90 (Columbus, OH, 1990), Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ., 1, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992, 169–183
  51. А. Ю. Веснин, А. А. Рассказов, “Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи”, Сиб. матем. журн., 40:1 (1999), 14–29
  52. A. Whittemore, “On representations of the groups of Listing's knot by subgroups of $SL(2,C)$”, Proc. Amer. Math. Soc., 40:2 (1973), 378–382
  53. M. Dehn, “Die beiden Kleeblattschlingen”, Math. Ann., 75:3 (1914), 402–413
  54. W. Magnus, “Untersuchungen über einige unendliche diskontinuierliche Gruppen”, Math. Ann., 105:1 (1931), 52–74

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Бухштабер В.M., Веснин А.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».