Lyapunov stability of an equilibrium of the nonlocal continuity equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper is devoted to developing Lyapunov's methods for analyzing the stability of an equilibrium of a dynamical system in the space of probability measures that is defined by a nonlocal continuity equation. Sufficient stability conditions are obtained based on the basis of an analysis of the behaviour of a nonsmooth Lyapunov function in a neighbourhood of the equilibrium and the investigation of a certain quadratic form defined on the tangent space of the space of probability measures. The general results are illustrated by the study of the stability of an equilibrium for a gradient flow in the space of probability measures and the Gibbs measure for a system of connected simple pendulums. Bibliography: 28 titles.

About the authors

Yurii Vladimirovich Averboukh

N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, Russia

Email: ayv@imm.uran.ru
Doctor of Science, Head Scientist Researcher

Aleksei Mikhailovich Volkov

N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, Russia

Email: volkov@imm.uran.ru
without scientific degree, Scientific Employee

References

  1. V. C. Boffi, G. Spiga, “Continuity equation in the study of nonlinear particle-transport evolution problems”, Phys. Rev. A, 29:2 (1984), 782–790
  2. M. Tucci, M. Volonteri, “Constraining supermassive black hole evolution through the continuity equation”, Astronom. and Astrophys., 600 (2017), A64, 17 pp.
  3. L. W. Botsford, “Optimal fishery policy for size-specific, density-dependent population models”, J. Math. Biol., 12:3 (1981), 265–293
  4. C. di Mario, N. Meneveau, R. Gil, P. Jaegere, P. J. de Feyter, C. J. Slager, J. R. T. C. Roelandt, P. W. Serruys, “Maximal blood flow velocity in severe coronary stenoses measured with a Doppler guidewire: limitations for the application of the continuity equation in the assessment of stenosis severity”, Am. J. Cardiol., 71:14 (1993), D54–D61
  5. A. Pluchino, V. Latora, A. Rapisarda, “Changing opinions in a changing world: a new perspective in sociophysics”, Internat. J. Modern Phys. C, 16:04 (2005), 515–531
  6. L. Ambrosio, G. Crippa, “Continuity equations and ODE flows with non-smooth velocity”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 144:6 (2014), 1191–1244
  7. B. Bonnet, H. Frankowska, “Viability and exponentially stable trajectories for differential inclusions in Wasserstein spaces”, 2022 IEEE 61st conference on decision and control (CDC) (Cancun, 2022), IEEE, 2022, 5086–5091
  8. C. D'Apice, R. Manzo, B. Piccoli, V. Vespri, “Lyapunov stability for measure differential equations”, Math. Control Relat. Fields, 14:4 (2024), 1391–1407
  9. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Дисс. … докт. матем., Имп. Моск. ун-т, М., 1892
  10. А. М. Ляпунов, “К вопросу об устойчивости движения”, Сообщ. Харьк. матем. о-ва. (2), 3:1 (1893), 265–272
  11. И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, Гостехиздат, М.–Л., 1952, 432 с.
  12. Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, М., 1959, 211 с.
  13. C. Seis, “Optimal stability estimates for continuity equations”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 148:6 (2018), 1279–1296
  14. I. Karafyllis, M. Krstic, “Stability results for the continuity equation”, Systems Control Lett., 135 (2020), 104594, 9 pp.
  15. D. Shevitz, B. Paden, “Lyapunov stability theory of nonsmooth systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 39:9 (1994), 1910–1914
  16. C. Calcaterra, Dynamics and geometry on metric spaces: flows and foliations, Preprint at ResearchGate: 359061756, 2019, xvi+471 pp.
  17. Yu. Orlov, Nonsmooth Lyapunov analysis in finite and infinite dimensions, Comm. Control Engrg. Ser., Springer, Cham, 2020, xix+340 pp.
  18. A. N. Michel, Ling Hou, Ling Liu, Stability of dynamical systems. On the role of monotonic and non-monotonic Lyapunov functions, Systems Control Found. Appl., 2nd ed., Birkhäuser/Springer, Cham, 2015, xvii+653 pp.
  19. F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth analysis and control theory, Grad. Texts in Math., 178, Springer-Verlag, New York, 1998, xiv+276 pp.
  20. J.-P. Aubin, A. M. Bayen, P. Saint-Pierre, Viability theory. New directions, 2nd ed., Springer, Heidelberg, 2011, xxii+803 pp.
  21. P. Cardaliaguet, F. Delarue, J.-M. Lasry, P.-L. Lions, The master equation and the convergence problem in mean field games, Ann. of Math. Stud., 201, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2019, x+212 pp.
  22. L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare, Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures, Lectures Math. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005, viii+333 pp.
  23. F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 87, Birkhäuser/Springer, Cham, 2015, xxvii+353 pp.
  24. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 576 с.
  25. Yu. V. Averboukh, “A mean field type differential inclusion with upper semicontinuous right-hand side”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 32:4 (2022), 489–501
  26. W. Gangbo, A. Tudorascu, “On differentiability in the Wasserstein space and well-posedness for Hamilton–Jacobi”, J. Math. Pures Appl. (9), 125 (2019), 119–174
  27. Yu. Averboukh, D. Khlopin, Pontryagin maximum principle for the deterministic mean field type optimal control problem via the Lagrangian approach
  28. В. В. Козлов, Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре, М.–Ижевск, Ин-т компьютерных исследований, 2002, 320 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Averboukh Y.V., Volkov A.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».