Geodesically equivalent metrics, Nijenhuis operators, geodesic flows, symmetries, conservation laws

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We show how concepts, methods and results from Nijenhuis geometry can be used to study geodesically equivalent metrics. We propose a new method of the presentation and proof of many facts in the classical theory of geodesically equivalent metrics and develop methods for the further development of this theory.

About the authors

Aleksei Viktorovich Bolsinov

Department of Mathematical Sciences, Loughborough University, Loughborough, UK; Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan

Author for correspondence.
Email: A.Bolsinov@lboro.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Г. В. Белозеров, “Геодезический поток на пересечении нескольких софокусных квадрик в $mathbb{R}^n$”, Матем. сб., 214:7 (2023), 3–26
  2. E. Beltrami, “Risoluzione del problema: riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette”, Ann. Mat. Pura Appl. (2), 1865, no. 7, 185–204
  3. A. V. Bolsinov, A. Yu. Konyaev, V. S. Matveev, “Applications of Nijenhuis geometry V: geodesic equivalence and finite-dimensional reductions of integrable quasilinear systems”, J. Nonlinear Sci., 34:2 (2024), 33, 18 pp.
  4. A. V. Bolsinov, A. Yu. Konyaev, V. S. Matveev, “Nijenhuis geometry”, Adv. Math., 394 (2022), 108001, 52 pp.
  5. A. V. Bolsinov, A. Yu. Konyaev, V. S. Matveev, “Nijenhuis geometry III: $mathrm{gl}$-regular Nijenhuis operators”, Rev. Mat. Iberoam., 40:1 (2024), 155–188
  6. A. V. Bolsinov, A. Yu. Konyaev, V. S. Matveev, “Nijenhuis geometry IV: conservation laws, symmetries and integration of certain non-diagonalisable systems of hydrodynamic type in quadratures”, Nonlinearity, 37:10 (2024), 105003, 27 pp.
  7. A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, “Geometrical interpretation of Benenti systems”, J. Geom. Phys., 44:4 (2003), 489–506
  8. A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, “Local normal forms for geodesically equivalent pseudo-Riemannian metrics”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:9 (2015), 6719–6749
  9. A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, “Splitting and gluing lemmas for geodesically equivalent pseudo-Riemannian metrics”, Trans. Amer. Math. Soc., 363:8 (2011), 4081–4107
  10. А. В. Болсинов, В. С. Матвеев, А. Т. Фоменко, “Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальная геометрия”, Матем. сб., 189:10 (1998), 5–32
  11. A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, G. Pucacco, “Normal forms for pseudo-Riemannian 2-dimensional metrics whose geodesic flows admit integrals quadratic in momenta”, J. Geom. Phys., 59:7 (2009), 1048–1062
  12. C. Boubel, “On the algebra of parallel endomorphisms of a pseudo-Riemannian metric”, J. Differential Geom., 99:1 (2015), 77–123
  13. G. Darboux, Leçons sur la theorie generale des surfaces, v. III, Gauthier-Villars et Fils, Paris, 1894
  14. U. Dini, “Sopra un problema che si presenta nella teoria generale delle rappresentazioni geografiche di una superficie su di un'altra”, Ann. Mat. Pura Appl. (2), 3 (1869), 269–293
  15. P. W. Doyle, “Symmetry classes of quasilinear systems in one space variable”, J. Nonlinear Math. Phys., 1:3 (1994), 225–266
  16. A. R. Gover, V. S. Matveev, “Projectively related metrics, Weyl nullity and metric projectively invariant equations”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 114:2 (2017), 242–292
  17. J. Haantjes, “On $X_{m}$-forming sets of eigenvectors”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 58, Indag. Math., 17 (1955), 158–162
  18. T. Levi-Civita, “Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche”, Ann. Mat. Pura Appl. (2), 24 (1896), 255–300
  19. P. Lorenzoni, F. Magri, “A cohomological construction of integrable hierarchies of hydrodynamic type”, Int. Math. Res. Not., 2005:34 (2005), 2087–2100
  20. Ф. Магри, “Цепи Ленарда для классических интегрируемых систем”, ТМФ, 137:3 (2003), 424–432
  21. V. S. Matveev, “Geometric explanation of the Beltrami theorem”, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 3:3 (2006), 623–629
  22. V. S. Matveev, “On projectively equivalent metrics near points of bifurcation”, Topological methods in the theory of integrable systems, Cambridge Sci. Publ., Cambridge, 2006, 215–240
  23. V. S. Matveev, P. Ĭ. Topalov, “Trajectory equivalence and corresponding integrals”, Regul. Chaotic Dyn., 3:2 (1998), 30–45
  24. A. Nijenhuis, “$X_{n-1}$-forming sets of eigenvectors”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 54, Indag. Math., 13 (1951), 200–212
  25. П. Олвер, Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, М., 1989, 639 с.
  26. М. В. Павлов, С. И. Свинолупов, Р. А. Шарипов, “Инвариантный критерий гидродинамической интегрируемости”, Функц. анализ и его прил., 30:1 (1996), 18–29
  27. F. Schur, “Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann'schen Krümmungsmaasses mit den projectiven Räumen”, Math. Ann., 27:4 (1886), 537–567
  28. Н. C. Синюков, Геодезические отображения римановых пространств, Наука, М., 1979, 256 с.
  29. S. Tabachnikov, “Projectively equivalent metrics, exact transverse line fields and the geodesic flow on the ellipsoid”, Comment. Math. Helv., 74:2 (1999), 306–321
  30. G. Thompson, “Killing tensors in spaces of constant curvature”, J. Math. Phys., 27:11 (1986), 2693–2699
  31. P. Topalov, “Families of metrics geodesically equivalent to the analogs of the Poisson sphere”, J. Math. Phys., 41:11 (2000), 7510–7520
  32. P. Topalov, “Geodesic compatibility and integrability of geodesic flows”, J. Math. Phys., 44:2 (2003), 913–929
  33. P. Topalov, V. S. Matveev, “Geodesic equivalence via integrability”, Geom. Dedicata, 96 (2003), 91–115

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Bolsinov A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».