On the $L^r$-differentiability of two Lusin classes and a full descriptive characterization of the $HK_r$-integral

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Ашық рұқсат Ашық рұқсат
Рұқсат жабық Рұқсат берілді
Рұқсат жабық Тек жазылушылар үшін

Аннотация

It is proved that any function in a Lusin-type class, the class of $ACG_r$-functions, is differentiable almost everywhere in the sense of a derivative defined in the space $L^r$, $1\leqslant r < \infty$. This leads to a full descriptive characterization of a Henstock–Kurzweil-type integral, the $HK_r$-integral, which serves to recover functions from their $L^r$-derivatives. The class $ACG_r$ is compared with the classical Lusin class $ACG$, and it is shown that continuous $ACG$-functions can fail to be $L^r$-differentiable almost everywhere.

Авторлар туралы

Paul Musial

Chicago State University, Chicago, IL, USA

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: paul.musial@gmail.com

Valentin Skvortsov

Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, Russia

Email: vaskvor2000@yahoo.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Piotr Sworowski

Institute of Mathematics, Casimirus the Great University, Bydgoszcz, Poland

Email: piotrus@ukw.edu.pl
PhD, no status

Francesco Tulone

University of Palermo, Palermo, Italy

Email: francesco.tulone@unipa.it

Әдебиет тізімі

  1. С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, М., 1949, 496 с.
  2. А. Я. Хинчинъ, “О процессе интегрированiя Denjoy”, Матем. сб., 30:4 (1918), 543–557
  3. V. Ene, Real functions – current topics, Lecture Notes in Math., 1603, Springer-Verlag, Berlin, 1995, xiv+310 pp.
  4. W. F. Pfeffer, “The Lebesgue and Denjoy–Perron integrals from a descriptive point of view”, Ricerche Mat., 48:2 (1999), 211–223
  5. D. Preiss, B. S. Thomson, “The approximate symmetric integral”, Canad. J. Math., 41:3 (1989), 508–555
  6. V. Skvortsov, F. Tulone, “Multidimensional dyadic Kurzweil–Henstock- and Perron-type integrals in the theory of Haar and Walsh series”, J. Math. Anal. Appl., 421:2 (2015), 1502–1518
  7. R. A. Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Grad. Stud. Math., 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, xii+395 pp.
  8. F. Tulone, V. Skvortsov, “Multidimensional $mathcal P$-adic integrals in some problems of harmonic analysis”, Minimax Theory Appl., 2:1 (2017), 153–174
  9. B. S. Thomson, “On VBG functions and the Denjoy–Khintchine integral”, Real Anal. Exchange, 41:1 (2016), 173–226
  10. P. M. Musial, Y. Sagher, “The $L^{r}$ Henstock–Kurzweil integral”, Studia Math., 160:1 (2004), 53–81
  11. A. P. Calderon, A. Zygmund, “Local properties of solutions of elliptic partial differential equations”, Studia Math., 20 (1961), 171–225
  12. L. Gordon, “Perron's integral for derivatives in $L^{r}$”, Studia Math., 28 (1966/1967), 295–316
  13. P. Musial, V. Skvortsov, F. Tulone, “The $HK_r$-integral is not contained in the $P_r$-integral”, Proc. Amer. Math. Soc., 150:5 (2022), 2107–2114
  14. P. Musial, V. Skvortsov, F. Tulone, “Comparison of the $P_r$-integral with Burkill's integrals and some applications to trigonometric series”, J. Math. Anal. Appl., 523:1 (2023), 127019, 10 pp.
  15. P. Musial, F. Tulone, “Integration by parts for the $L^r$ Henstock–Kurzweil integral”, Electron. J. Differential Equations, 2015 (2015), 44, 7 pp.
  16. P. Musial, F. Tulone, “Dual of the class of $operatorname{HK}_r$-integrable functions”, Minimax Theory Appl., 4:1 (2019), 151–160
  17. F. Tulone, P. Musial, “The $L^r$-variational integral”, Mediterr. J. Math., 19:3 (2022), 96, 10 pp.
  18. П. Мущал, В. А. Скворцов, Ф. Тулоне, “О дескриптивных характеристиках интеграла, восстанавливающего функцию по ее производной в $L^r$”, Матем. заметки, 111:3 (2022), 411–421
  19. V. A. Skvortsov, P. Sworowski, “On the relation between Denjoy–Khintchine and $operatorname{HK}_r$-integrals”, Sib. Math. J., 65:2 (2024), 441–447
  20. Cheng-Ming Lee, “An analogue of the theorem of Hake–Alexandroff–Looman”, Fund. Math., 100:1 (1978), 69–74

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

© Musial P., Skvortsov V.A., Sworowski P.A., Tulone F., 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».