Full Text
1. Введение. Постановка задачи
В работе изучается система Дирака
(1)
где
а комплекснозначные функции , с двухточечными краевыми условиями
(2)
(3)
в которых коэффициенты 𝑎𝑖𝑗, 𝑖=1, 2, , являются произвольными комплексными числами, а строки матрицы
линейно независимы.
Строение спектра оператора (1), (3) с регулярными краевыми условиями изучалось во многих работах, среди которых отметим [18]. Обширный список литературы по указанной теме приведён в обзоре [4]. Значительно менее исследованными остаются задачи (1)(3) с краевыми условиями, не являющимися регулярными (т.е. нерегулярными или вырожденными), изучение спектра которых составляет основное содержание настоящей работы. Пример задачи (1)(3) с вырожденными краевыми условиями, система корневых функций которой содержит присоединенные функции сколь угодно высокого порядка, был построен в статье [9].
Обозначим через ‖𝑓‖ = (|𝑓1|2+|𝑓2|2)1/2 норму произвольного вектора 𝑓 = col(𝑓1, 𝑓2) ∈ C2 и положим , а через ‖𝑊‖ = sup‖𝑓‖=1 ‖𝑊𝑓‖ обозначим норму произвольной матрицы размера . Обозначим через пространство двумерных вектор-функций 𝑓(𝑡)=col(𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡)) с нормой и через пространство матриц-функций размера с нормой . Оператор будем рассматривать как линейный оператор в пространстве с областью определения , , .
Обозначим через
(4)
матрицу фундаментальной системы решений уравнения (1) с краевыми условиями 𝐸(0, 𝜆)=𝐼, где единичная матрица, и через 𝐸0(𝑥, 𝜆) фундаментальную систему решений невозмущённого уравнения 𝐵y′ =𝜆y с краевыми условиями 𝐸0(0, 𝜆)=𝐼. Очевидно, что
Хорошо известно, что элементы матрицы 𝐸(𝑥, 𝜆) связаны соотношением
𝑐1(𝑥, 𝜆)𝑐2(𝑥, 𝜆)+𝑠1(𝑥, 𝜆)𝑠2(𝑥, 𝜆)=1, (5)
справедливом при любых , .
Собственные значения задачи (1)(3) являются корнями характеристического уравнения
Δ(𝜆)=0
где
𝐸[𝑘](𝑥, 𝜆) -й столбец матрицы (4).
Обозначим через определитель, составленный из -го и -го столбцов матрицы , 𝐽0 := 𝐽12+𝐽34, 𝐽1 := 𝐽14−𝐽23, 𝐽2 := 𝐽13+𝐽24.
Методом оператора преобразования в работе [2] было показано, что характеристический определитель Δ(𝜆) задачи (1)(3) может быть приведён к виду
Δ(𝜆)=𝐽12+𝐽34+𝐽14𝑐2(𝜋, 𝜆)−𝐽23𝑐1(𝜋, 𝜆)−𝐽13𝑠2(𝜋, 𝜆)−𝐽24𝑠1(𝜋, 𝜆)=
(6)
где функция
(7)
является характеристическим определителем невозмущённой задачи
𝐵y′ =𝜆y, 𝑈(y)=0, (8)
а функции 𝑟𝑗 ∈𝐿2(0, 𝜋), 𝑗 =1, 2.
Краевые условия (2), (3) могут быть разделены на четыре основных типа.
Определение 1. Краевые условия (2), (3) называются регулярными, если
(9)
и усиленно регулярными, если дополнительно выполняется неравенство
(10)
Определение 2. Краевые условия (2), (3) называются регулярными, но не усиленно регулярными, если справедливо (9), но (10) не имеет места, т.e.
Определение 3. Краевые условия (2), (3) называются нерегулярными, если
Определение 4. Краевые условия (2), (3) называются вырожденными, если
Легко видеть, что краевые условия (2), (3) являются вырожденными тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение Δ0(𝜆)=0 не имеет корней или Δ0(𝜆)≡0.
Обозначим 𝑐𝑗(𝜆) = 𝑐𝑗(𝜋, 𝜆), 𝑠𝑗(𝜆) = 𝑠𝑗(𝜋, 𝜆), 𝑗 = 1, 2.. Через обозначим класс целых функций экспоненциального типа, не превосходящего , таких, что ‖𝑓‖𝐿2(𝑅) <∞. Известно [10], что функции 𝑐𝑗(𝜆), 𝑠𝑗(𝜆) допускают представление
𝑐𝑗(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+𝑔𝑗(𝜆), 𝑠𝑗(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ𝑗(𝜆),
где , .
Лемма [см. [5]]. Целые функции 𝑢(𝜆) и 𝑣(𝜆) допускают представления
𝑢(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), 𝑣(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+𝑔(𝜆),
где , тогда и только тогда, когда
Сходимость бесконечных произведений понимается в смысле главного значения.
2. Основные результаты
В настоящей статье будем изучать задачу (1)(3) при выполнении условий
. (11)
Соотношениям (11) удовлетворяет широкий класс краевых условий, например, условия, задаваемые матрицей
где , или
где ; в том числе усиленно регулярные условия, если
(12)
где , ; регулярные, но не усиленно регулярные, если в (12) ; нерегулярные, если
вырожденные условия, если
Заметим, что условия (12) при , являются квазипериодическими, при периодическими и при антипериодическими.
Рассмотрим систему Дирака (1)(3), (11). Очевидно, что хотя бы одно из чисел , равно нулю. Пусть 𝐽24=0, случай 𝐽13=0 рассматривается совершенно аналогично. Из (6), (7) следует, что характеристический определитель этой задачи может быть приведён к виду
Δ(𝜆)=𝐽0+𝐽14𝑐2(𝜆)−𝐽23𝑐1(𝜆)−𝐽13𝑠2(𝜆)=Δ0(𝜆)+𝑓(𝜆), (13)
где Δ0(𝜆)=𝐽0+(𝐽14−𝐽23) cos(𝜋𝜆)−𝐽13 sin(𝜋𝜆), .
Теорема 1. Если , то для любой функции существует потенциал 𝑉 ∈ 𝐿2(0, 𝜋) такой, что для характеристического определителя Δ(𝜆) задачи (1)(3), (11) с потенциалом справедливо равенство (13). Если , то последнее утверждение справедливо при выполнении дополнительного условия
(14)
Доказательство. Пусть произвольная функция из класса . Из теоремы ПэлиВинера и [11, лемма 1.3.1] следует, что
. (15)
Пусть 𝜆𝑛 (𝑛 ∈ Z) некоторая строго монотонно возрастающая последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условию (*): 𝜆𝑛 =𝑛, если 𝑛>𝑁0, где 𝑁0 некоторое натуральное число, и для любого .
Обозначим
(16)
Из леммы следует, что
𝑠(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), (17)
где , поэтому
|𝑠(𝜆)|⩾𝐶1𝑒𝜋| Im 𝜆| (18)
если , где достаточно большое число. Из (16) вытекает, что
Легко видеть, что неравенство имеет место для всех 𝑛 ∈ Z. Из двух последних неравенств следует, что
(−1)𝑛𝑠˙(𝜆𝑛)>0.
Из соотношения (17) и [10, лемма 2.1] вытекает, что
𝑠˙(𝜆𝑛)=𝜋(−1)𝑛+𝜏𝑛,
где {𝜏𝑛} ∈ 𝑙2, следовательно,
(19)
Обозначим 𝛼=𝐽14, 𝛽 =−𝐽23, 𝛾 =−𝐽13, 𝑢+(𝜆)=(𝛼+𝛽) cos(𝜋𝜆)+𝛾 sin(𝜋𝜆)+𝑓(𝜆). Заметим, что
(20)
Рассмотрим уравнение
(21)
корни которого определяются по формуле
Подставив в неё выражение для , получим
.
Введём следующие обозначения:
,
Обозначим также через круг с центром в точке радиуса . Пусть . Возможны следующие случаи.
1. . Пусть прямая проходит через точки и , а прямая проходит через начало координат и параллельна . Очевидно, существует число такое, что круги Γ(1, 𝜀0) и Γ(−𝛽/𝛼, 𝜀0) лежат строго по одну сторону от прямой l.
Из (15) и (20) следует, что существует чётное положительное такое, что
(22)
для любого , если , , . Из (23) вытекает, что существует такое, что
(23)
при , . Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛∈Z) следующим образом: , если , и пусть , , если , при , . Очевидно, удовлетворяет условиям (*). Получаем, что если , то все числа лежат внутри круга при чётных , а все числа лежат внутри круга при нечётных . Пусть , если чётно, и , если нечётно, следовательно, числа лежат внутри круга .
Пусть , тогда из (22) и (23) следует, что
Очевидно, что в силу чётности все числа лежат внутри круга Γ(1, 𝜀0), а все числа лежат внутри круга Γ(𝛽/𝛼, 𝜀0). Положим , если чётно, тогда числа лежат внутри круга . Пусть , если нечётно, тогда числа лежат внутри круга , Таким образом, все числа (𝑛∈Z) лежат строго по одну сторону от прямой .
2. , . Здесь существует число такое, что круги Γ(1, 𝜀0) и Γ(−𝛽/𝛼, 𝜀0) лежат строго правее мнимой оси. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, что все числа лежат строго правее мнимой оси.
3. Im(𝛽/𝛼)=0, Re(𝛽/𝛼)>0. Обозначим , , , , тогда , . Легко видеть, что
Обозначим
3.1. . В этом случае
(24)
Пусть для определённости , тогда . Из (24) следует, что существует такое, что круги и лежат строго по разные стороны от некоторой прямой , проходящей через начало координат и отличной от вещественной оси. Очевидно, что существует число , , такое, что круг не пересекается с , следовательно, круг расположен строго по одну сторону от прямой . Из (15) и (20) вытекает, что существует нечётное положительное число такое, что
(25)
для любого , если , , ∈Z. В силу (24) существует такое, что
(26)
если , .
Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛∈Z) следующим образом: , если , и пусть , , если , при , . Очевидно, что {𝜆𝑛} удовлетворяет условиям (*). Получаем, что если , то все числа лежат внутри круга при чётных , а все числа лежат внутри круга при нечётных . Положим , если чётно, и , если нечётно, следовательно, числа лежат внутри круга Γ(1, 𝜀1).
Пусть , тогда из (25), (26) следует, что
а числа , . Предположим, например, что круг лежит по одну сторону от прямой с кругом . Положим , если чётно, и , если нечётно, тогда все числа , 𝑛∈Z, лежат строго по одну сторону от прямой .
3.2. . Существует число 𝜀3 >0 такое, что круг лежит строго ниже прямой 𝑙1 : 𝑦 =−𝑥, причём круг лежит строго выше прямой , а круг строго ниже .
Очевидно, что вещественно, следовательно, вещественно.
Рассмотрим уравнение
.
Так как , оно имеет корни
Обозначим
Из (15) и (20) вытекает, что существует положительное число такое, что
для любого , если , , или , а также существует такое, что
если , .
Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛 ∈ Z) следующим образом: при , а если , то , где , при , . Очевидно, что {𝜆𝑛} удовлетворяет условиям (*). Легко видеть, что если , то все числа лежат внутри круга , если чётно, а все числа лежат внутри круга , если нечётно. Положим , если чётно, и , если нечётно, следовательно, числа лежат внутри круга .
Пусть , тогда , . Пусть при чётном , и при нечётном . Тогда все числа лежат строго выше прямой . Так как [12] {𝑓(𝜆𝑛)} ∈𝑙, то из определения чисел следует, что всегда
(27)
Рассмотрим случай . Тогда
.
Обозначим , , , , тогда ,
.
Далее аналогично случаю 3 строится последовательность такая, что все числа лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат. Из определения чисел и условия (14) вытекает, что выполняется равенство (27).
Отсюда следует, что все числа 𝑧𝑛=𝑐𝑛/𝑠˙(𝜆𝑛) во всех случаях лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, а из (19) и (27) вытекает, что
Пусть 𝛽𝑛 =𝑐𝑛−cos(𝜋𝜆𝑛), тогда из (27) следует, что . Обозначим
Согласно [13, с. 120] функция и . Обозначим 𝑐(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), тогда , следовательно, функции и не имеют общих корней.
Обозначим также второй столбец матрицы через
Пусть
Из [10] следует, что
где не зависит от .
Используя установленные выше свойства чисел , докажем, что для каждого однородное уравнение типа ГельфандаЛевитана
, (28)
где f (𝑡) = col(𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡)), f ∈ 𝐿2,2(0, 𝑥), f (𝑡) = 0, если 𝑥 < 𝑡 ⩽ 𝜋, имеет лишь тривиальное решение.
Умножая уравнение (28) на и интегрируя полученное уравнение на отрезке , получаем
. (29)
Несложные вычисления показывают, что
f𝑇 (𝑠)𝐹(𝑠, 𝑡)=
,
,
. (30)
Подставляя правую часть (30) во второй член в левой части (29), преобразуя повторные интегралы в произведения интегралов и используя вещественность всех чисел , находим, что
(31)
Хорошо известно, что система функций (𝑛∈Z) образует ортонормированный базис в пространстве , поэтому из равенства Парсеваля вытекает, что
(32)
Из (29), (31) и (32) следует, что
.
Так как все числа расположены строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, то
для всех 𝑛 ∈ Z. Из (17) вытекает, что функция является функцией типа синуса [13, с. 118119], поэтому [1, лемма 5.3] система 𝑌0(𝑡, 𝜆𝑛) является базисом Рисса в , а значит, система 𝑌0(𝑡, 𝜆𝑛) полна в пространстве , откуда следует, что .
Согласно [10, теорема 5.1] функции 𝑐(𝜆) и −𝑠(𝜆) являются элементами первой строки матрицы монодромии
задачи (1)(3) с потенциалом , т.e.
. (33)
Из (13) находим, что соответствующий характеристический определитель равен
Из (5), (21) и (33) получаем, что
.
Отсюда следует, что функция
,
является целой функцией на всей комплексной плоскости.
Так как
(34)
то из (18) имеем, что |Φ(𝜆)|⩽𝑐2, если | Im 𝜆|⩾𝑀. Обозначим через объединение вертикальных отрезков {𝑧 : | Re 𝑧|=𝑛+1/2, | Im 𝜆|⩽𝑀}, где |𝑛|=𝑁0+1,𝑁0+2 Поскольку является функцией типа синуса [14], то |𝑠(𝜆)|>𝛿>0, если 𝜆∈𝐻. Из последнего неравенства, (34) и принципа максимума модуля аналитической функции находим, что |Φ(𝜆)|<𝑐3 в полосе | Im 𝜆|⩽𝑀, следовательно, функция ограничена во всей комплексной плоскости и в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Пусть | Im 𝜆|=𝑀. Тогда из (15) получаем, что , а значит, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.
Дополнительно предположим, что условия (2), (3) нерегулярные, тогда характеристическое уравнение невозмущённой задачи (8) может быть приведено к виду
Δ0(𝜆)=𝑑−𝑒𝑖𝜋𝜆 =0, (35)
где . Пусть 𝑑=𝑒𝑖𝜋, где . Из тривиального равенства
1−𝑒𝑖𝜋𝜆 =−2𝑖𝑒𝑖𝜋𝜆/2 sin(𝜋𝜆/2)
и хорошо известного разложения функции в бесконечное произведение следует, что
и тогда уравнение (35) имеет корни
Теорема 2. Если , то для любой последовательности
(36)
где , существует потенциал такой, что спектр соответствующей задачи (1)(3), (11) совпадает с множеством . Если , то последнее утверждение справедливо для любой последовательности, удовлетворяющей соотношению (36) и дополнительному условию
(37)
если , ; дополнительным условиям
если 𝑡=0 или 𝑡=1.
Доказательство. Очевидно, что
(38)
Пусть последовательность удовлетворяет условию (36). Тогда существует постоянная такая, что
(39)
Обозначим
Пусть 𝑓(𝜆)=Δ(𝜆)−Δ0(𝜆). Исследование свойств функции основывается на следующих утверждениях.
Утверждение 1. Функция является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего .
Доказательство. Обозначим через объединение кругов Γ(2𝑛+𝑡, 𝑟0), 𝑛 ∈ Z, где при и при . Если , то
, (40)
где
Оценим функцию . Обозначим 𝛼𝑛(𝜆)=𝜀𝑛/(2𝑛+𝑡−𝜆) . Из (39) следует, что
(41)
Легко видеть, что для всех достаточно большое число, справедливо неравенство
|𝛼𝑛(𝜆)|<1/4, (42)
для любого . Если , то неравенство (42) имеет место для всех достаточно больших , следовательно, указанное неравенство справедливо для всех . Из (41), (42) и элементарного неравенства
| ln(1+𝑧)|⩽2|𝑧|, (43)
справедливого при , следует, что
Здесь и в дальнейшем выбираем ту ветвь ln(1+𝑧), которая обращается в нуль при . Согласно [15, гл. V, 1, п. 72] перепишем последнее соотношение в виде
(44)
Из (38), (40), (44) следует, что
|𝑓(𝜆)|<𝑐5𝑒𝜋| Im 𝜆| (45)
вне области Γ′ =Γ∪{|𝜆|<𝐶0}.
Обозначим 𝐷 =⋃︀𝑛∈Z[2𝑛+Re 𝑡−1/4, 2𝑛+Re 𝑡+1/4], 𝐷0 = (0, 2) ∖𝐷. Легко видеть, что множество является объединением конечного числа интервалов, сумма длин которых не менее единицы. Пусть середина одного из этих интервалов. Тогда все точки , 𝑘∈Z, лежат вне множества . В частности, неравенство (45) справедливо, если принадлежит прямым , где , и вертикальным отрезкам с вершинами в точках , , |2𝑘−1|>𝐶0, 𝑘 ∈ Z. Согласно принципу максимума неравенство (45) имеет место на всей комплексной плоскости, следовательно, функция является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего .
Утверждение 2. Функция принадлежит классу .
Доказательство. Обозначим
,
тогда
(46)
Оценим функцию , если . Из (39), (42), (43) следует, что
откуда вытекает, что
|𝑊(𝜆)|<1/4 (47)
если . Из элементарных соотношений
,
справедливых при , получаем, что выполняется неравенство 1−𝑒𝑊(𝜆)|⩽2|𝑊(𝜆)|, из которого и из (38), (46), (47) находим, что
|𝑓(𝜆)|⩽𝑐6|𝑊(𝜆)| (48)
для , где прямая . Докажем, что
(49)
Из элементарного неравенства ln(1+𝑧)−𝑧|⩽|𝑧|2, справедливого при |𝑧|⩽1/2, получаем, что
ln(1+𝑧)−𝑧 =𝑟(𝑧), |𝑟(𝑧)|⩽|𝑧|2,
следовательно,
𝑊(𝜆)=𝑆1(𝜆)+𝑆2(𝜆),
где
Очевидно, что
|𝑊(𝜆)|⩽|𝑆1(𝜆)|+|𝑆2(𝜆)| (50)
Положим
.
Вначале рассмотрим интеграл . В [16, c. 221] показано, что
(51)
где является прямой Im 𝜆=𝑀1−Im 𝑡.
Легко видеть, что
тогда
(52)
Из (50)(52) вытекает условие (49). Из (48), (49) и [17, гл. 3, п. 3.2.2] получаем, что
Таким образом, если , то функция удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и, значит, существует потенциал 𝑉 ∈ 𝐿2(0, 𝜋) такой, что спектр соответствующей задачи (1)(3), (11) определяется формулой (36).
Пусть . Проверим, что функция удовлетворяет условию (14). Рассмотрим два случая.
1. , . Пусть 𝑘 ∈Z.. Очевидно, что
0<𝑐11 <|Δ0(𝑘)|<𝑐12. (53)
Из (36) следует, что существует такое число , что
и для любого справедливо нервенство
Пусть . Дополнительно предположим, что
|𝜆|>𝑀2 =1000(2𝑛0+1)𝑛0𝑀
Используя хорошо известное неравенство 𝑎𝑏 ⩽ 𝑎𝑝/𝑝+𝑏𝑞/𝑞 (𝑎, 𝑏 > 0, 𝑝, 𝑞 > 1, 1/𝑝+1/𝑞 = 1), получаем, что
следовательно, неравенство (51) имеет место для любого из рассматриваемой области.
Повторяя предыдущие рассуждения, находим, что
Из последнего неравенства вытекает, что для всех |𝑘|>𝑘0, где 𝑘0 =max(𝐶0,𝑀2),
(54)
Очевидно, что
(55)
Из (37), (53)(55) следует справедливость условия (14).
2. или . Пусть , случай рассматривается аналогично.
Оценим . Очевидно, что . Рассуждая аналогично случаю 1, получаем
(56)
Оценим . Очевидно, что , следовательно, . Так как функция ограничена в полосе и для всех достаточно больших по абсолютной величине , то согласно принципу максимума будем иметь
(57)
Из (56), (57) и условия теоремы вытекает справедливость (14). Теорема доказана.
Заметим, что краевые условия
удовлетворяющие соотношениям (11), являются нерегулярными, причём выполняется условие .
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Автор данной работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.