On the spectrum of non-selfadjoint Dirac operators with two-point boundary conditions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We consider spectral problem for the Dirac operator with arbitrary two-point boundary conditions and any square integrable potential . The necessary and sufficient conditions are established that an entire function must satisfy in order to be a characteristic determinant of the specified operator. In the case of irregular boundary conditions, conditions are found under which a set of complex numbers is the spectrum of the problem under consideration.

Full Text

1. Введение. Постановка задачи

В работе изучается система Дирака

B'y+Vy=λy, (1)

где y=col(y1(x)y2(x)),

B=0110, Vxp(x)q(x)q(x)p(x),

а комплекснозначные функции p,qL2(0,π),, с двухточечными краевыми условиями

U1(y)=a11y1(0)+a12y2(0)+a13y1(π)+a14y2(π)=0, (2)

U2(y)=a21y1(0)+a22y2(0)+a23y1(π)+a24y2(π)=0, (3)

в которых коэффициенты 𝑎𝑖𝑗, 𝑖=1, 2, j=1,4¯, являются произвольными комплексными числами, а строки матрицы

A=a11a12a13a14a21a22a23a24

линейно независимы.

Строение спектра оператора (1), (3) с регулярными краевыми условиями изучалось во многих работах, среди которых отметим [1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 8]. Обширный список литературы по указанной теме приведён в обзоре [4]. Значительно менее исследованными остаются задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) с краевыми условиями, не являющимися регулярными (т.е. нерегулярными или вырожденными), изучение спектра которых составляет основное содержание настоящей работы. Пример задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) с вырожденными краевыми условиями, система корневых функций которой содержит присоединенные функции сколь угодно высокого порядка, был построен в статье [9].

Обозначим через ‖𝑓‖ = (|𝑓1|2+|𝑓2|2)1/2 норму произвольного вектора 𝑓 = col(𝑓1, 𝑓2) ∈ C2 и положим f,g=f1g¯1+f2g¯2, а через ‖𝑊‖ = sup‖𝑓‖=1 ‖𝑊𝑓‖ обозначим норму произвольной матрицы W MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4vaaaa@36CF@ размера 2×2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGOmaiabgE na0kaaikdaaaa@3982@ . Обозначим через L2,2(a,b) пространство двумерных вектор-функций 𝑓(𝑡)=col(𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡)) с нормой fL2,2(a,b)=(abf(t)2dt)1/2 и через L2,22,2(a,b) пространство матриц-функций W(t) размера 2×2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGOmaiabgE na0kaaikdaaaa@3982@ с нормой WL2,22,2(a,b)=(abW(t)2dt)1/2. Оператор Ly=B'y+Vy будем рассматривать как линейный оператор в пространстве L2,2(0,π) с областью определения D(L)={yW11[0,π] : LyL2,2(0,π), Uj(y)=0, j=1,2}.

Обозначим через

E(x,λ)=c1(x,λ)s2(x,λ)s1(x,λ)c2(x,λ) (4)

матрицу фундаментальной системы решений уравнения (1) с краевыми условиями 𝐸(0, 𝜆)=𝐼, где I MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaaaa@36C1@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@ единичная матрица, и через 𝐸0(𝑥, 𝜆) фундаментальную систему решений невозмущённого уравнения 𝐵y′ =𝜆y с краевыми условиями 𝐸0(0, 𝜆)=𝐼. Очевидно, что

E0(x,λ)=cos(λx)sin(λx)sin(λx)cos(λx).

Хорошо известно, что элементы матрицы 𝐸(𝑥, 𝜆) связаны соотношением

𝑐1(𝑥, 𝜆)𝑐2(𝑥, 𝜆)+𝑠1(𝑥, 𝜆)𝑠2(𝑥, 𝜆)=1, (5)

справедливом при любых x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaaaa@36F0@ , λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37A7@ .

Собственные значения задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) являются корнями характеристического уравнения

Δ(𝜆)=0

где

Δ(λ)=U1(E[1](,λ))U1(E[2](,λ))U2(E[1](,λ))U2(E[2](,λ)),

𝐸[𝑘](𝑥, 𝜆) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@   k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaaaa@36E3@  -й столбец матрицы (4).

Обозначим через J ij MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaWGPbGaamOAaaqabaaaaa@38CB@  определитель, составленный из i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaaaa@36E1@  -го и j MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOAaaaa@36E2@  -го столбцов матрицы A MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaaaa@36B9@ , 𝐽0 := 𝐽12+𝐽34, 𝐽1 := 𝐽14−𝐽23, 𝐽2 := 𝐽13+𝐽24.

Методом оператора преобразования в работе [2] было показано, что характеристический определитель Δ(𝜆) задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) может быть приведён к виду

Δ(𝜆)=𝐽12+𝐽34+𝐽14𝑐2(𝜋, 𝜆)−𝐽23𝑐1(𝜋, 𝜆)−𝐽13𝑠2(𝜋, 𝜆)−𝐽24𝑠1(𝜋, 𝜆)=

Δ0(λ)+0πr1(t)eiλtdt+0πr2(t)eiλtdt, (6)

где функция

Δ0(λ)=J0+J1cos(πλ)J2sin(πλ)=J0+J1+iJ22eiπλ+J1iJ22eiπλ (7)

является характеристическим определителем невозмущённой задачи

𝐵y′ =𝜆y, 𝑈(y)=0, (8)

а функции 𝑟𝑗 ∈𝐿2(0, 𝜋), 𝑗 =1, 2.

Краевые условия (2), (3) могут быть разделены на четыре основных типа.

Определение 1. Краевые условия (2), (3) называются регулярными, если

J12+J22=(J14+J32)2+(J13+J24)20, (9)

 и усиленно регулярными, если дополнительно выполняется неравенство

J02J12J22. (10)

Определение 2. Краевые условия (2), (3) называются регулярными, но не усиленно регулярными, если справедливо (9), но (10) не имеет места, т.e.

J02=J12J22.

Определение 3. Краевые условия (2), (3) называются нерегулярными, если

J00, J1+iJ20, J1iJ2 J00, J1+iJ2 J1iJ20.

Определение 4. Краевые условия (2), (3) называются вырожденными, если

 J1=J2=0; J0=0, J1+iJ20, J1iJ2=0; J00, J1+iJ2=0, J1iJ20.

Легко видеть, что краевые условия (2), (3) являются вырожденными тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение Δ0(𝜆)=0 не имеет корней или Δ0(𝜆)≡0.

Обозначим 𝑐𝑗(𝜆) = 𝑐𝑗(𝜋, 𝜆), 𝑠𝑗(𝜆) = 𝑠𝑗(𝜋, 𝜆), 𝑗 = 1, 2.. Через P W σ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiuaiaadE fadaWgaaWcbaGaeq4Wdmhabeaaaaa@3993@  обозначим класс целых функций f(z) экспоненциального типа, не превосходящего σ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdmhaaa@37B6@ , таких, что ‖𝑓‖𝐿2(𝑅) <∞. Известно [10], что функции 𝑐𝑗(𝜆), 𝑠𝑗(𝜆) допускают представление

𝑐𝑗(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+𝑔𝑗(𝜆), 𝑠𝑗(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ𝑗(𝜆),

где g j , h j P W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4zamaaBa aaleaacaWGQbaabeaakiaaiYcacaWGObWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqa aOGaeyicI4SaamiuaiaadEfadaWgaaWcbaGaeqiWdahabeaaaaa@3FEA@ , j=1, 2.

Лемма [см. [5]]. Целые функции 𝑢(𝜆) и 𝑣(𝜆) допускают представления

𝑢(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), 𝑣(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+𝑔(𝜆),

где h,gP W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAaiaaiY cacaWGNbGaeyicI4SaamiuaiaadEfadaWgaaWcbaGaeqiWdahabeaa aaa@3DA0@ , тогда и только тогда, когда

u(λ)=π(λ0λ)n=,n0λnλn, λn=n+ϵn, {ϵn}l2,

v(λ)=n=λnλn1/2, λn=n1/2+κn, {κn}l2.

Сходимость бесконечных произведений понимается в смысле главного значения.

2. Основные результаты

В настоящей статье будем изучать задачу (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) при выполнении условий

J140, J230, J13J24=0. (11)

Соотношениям (11) удовлетворяет широкий класс краевых условий, например, условия, задаваемые матрицей

A=a1b1c1d10b20d2,

где a 1 d 2 b 2 c 1 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakiaadsgadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGccaWG IbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaam4yamaaBaaaleaacaaIXaaabe aakiabgcMi5kaaicdaaaa@3FD8@ , или

A=a1b1c1d1a20c20,

где a 2 d 1 b 1 c 2 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyamaaBa aaleaacaaIYaaabeaakiaadsgadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaWG IbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaam4yamaaBaaaleaacaaIYaaabe aakiabgcMi5kaaicdaaaa@3FD8@ ; в том числе усиленно регулярные условия, если

1 0 a 0 0 1 0 a , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaafa qabeGaeaaaaeaacaaIXaaabaGaaGimaaqaaiaadggaaeaacaaIWaaa baGaaGimaaqaaiaaigdaaeaacaaIWaaabaGaamyyaaaaaiaawIcaca GLPaaacaaMb8UaaGilaaaa@3FFC@  (12)

где a0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiabgc Mi5kaaicdaaaa@395A@ , a±1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiabgc Mi5kabgglaXkaaigdaaaa@3B49@ ; регулярные, но не усиленно регулярные, если в (12) a=±1; нерегулярные, если

A=1112i0101,

вырожденные условия, если

A=11110101.

Заметим, что условия (12) при a0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiabgc Mi5kaaicdaaaa@395A@ , a±1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiabgc Mi5kabgglaXkaaigdaaaa@3B49@  являются квазипериодическими, при a=1  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  периодическими и при a=1  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  антипериодическими.

Рассмотрим систему Дирака (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3), (11). Очевидно, что хотя бы одно из чисел J 13 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaaIXaGaaG4maaqabaaaaa@3866@ , J 24 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaaIYaGaaGinaaqabaaaaa@3868@ равно нулю. Пусть 𝐽24=0, случай 𝐽13=0 рассматривается совершенно аналогично. Из (6), (7) следует, что характеристический определитель Δ(λ) этой задачи может быть приведён к виду

Δ(𝜆)=𝐽0+𝐽14𝑐2(𝜆)−𝐽23𝑐1(𝜆)−𝐽13𝑠2(𝜆)=Δ0(𝜆)+𝑓(𝜆), (13)

где Δ0(𝜆)=𝐽0+(𝐽14−𝐽23) cos(𝜋𝜆)−𝐽13 sin(𝜋𝜆),  fP W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiabgI GiolaadcfacaWGxbWaaSbaaSqaaiabec8aWbqabaaaaa@3BFC@ .

Теорема 1. Если J 14 + J 23 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaaIXaGaaGinaaqabaGccqGHRaWkcaWGkbWaaSbaaSqaaiaa ikdacaaIZaaabeaakiabgcMi5kaaicdaaaa@3E52@ , то для любой функции fP W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiabgI GiolaadcfacaWGxbWaaSbaaSqaaiabec8aWbqabaaaaa@3BFC@ существует потенциал 𝑉 ∈ 𝐿2(0, 𝜋) такой, что для характеристического определителя Δ(𝜆) задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A92@ (3), (11) с потенциалом V(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiaaiI cacaWG4bGaaGykaaaa@3930@  справедливо равенство (13). Если J14+J23=0, то последнее утверждение справедливо при выполнении дополнительного условия

n=|f(n)|<. (14)

Доказательство. Пусть f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaaaa@36DE@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  произвольная функция из класса P W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiuaiaadE fadaWgaaWcbaGaeqiWdahabeaaaaa@398D@ . Из теоремы Пэли MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ Винера и [11, лемма 1.3.1] следует, что

lim|λ|eπ|Imλ|f(λ)=0. (15)

Пусть 𝜆𝑛 (𝑛 ∈ Z)  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@ некоторая строго монотонно возрастающая последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условию (*): 𝜆𝑛 =𝑛, если 𝑛>𝑁0, где 𝑁0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  некоторое натуральное число, и λn=λn для любого n0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgc Mi5kaaicdaaaa@3967@ .

Обозначим

s(λ)=π(λ0λ)n=,n0λnλn. (16)

Из леммы следует, что

𝑠(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), (17)

где hP W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAaiabgI GiolaadcfacaWGxbWaaSbaaSqaaiabec8aWbqabaaaaa@3BFE@ , поэтому

|𝑠(𝜆)|⩾𝐶1𝑒𝜋| Im 𝜆|  (18)

если |Imλ|M, где M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamytaaaa@36C5@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@  достаточно большое число. Из (16) вытекает, что

s˙(λ0)=πn=,n0λnλ0n>0.

Легко видеть, что неравенство s˙(λn)s˙(λn+1)<0 имеет место для всех 𝑛 ∈ Z. Из двух последних неравенств следует, что

(−1)𝑛𝑠˙(𝜆𝑛)>0.

Из соотношения (17) и [10, лемма 2.1] вытекает, что

𝑠˙(𝜆𝑛)=𝜋(−1)𝑛+𝜏𝑛,

где {𝜏𝑛} ∈ 𝑙2, следовательно,

1s˙(λn)=(1)nπ+σn, {σn}l2. (19)

Обозначим 𝛼=𝐽14, 𝛽 =−𝐽23, 𝛾 =−𝐽13, 𝑢+(𝜆)=(𝛼+𝛽) cos(𝜋𝜆)+𝛾 sin(𝜋𝜆)+𝑓(𝜆). Заметим, что

α0,β0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqySdeMaey iyIKRaaGimaiaaiYcacaaMf8UaeqOSdiMaeyiyIKRaaGimaiaai6ca aaa@4131@  (20)

Рассмотрим уравнение

α w 2 u + ( λ n )w+β=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqySdeMaam 4DamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadwhadaWgaaWcbaGa ey4kaScabeaakiaaiIcacqaH7oaBdaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGcca aIPaGaam4DaiabgUcaRiabek7aIjaai2dacaaIWaGaaGilaaaa@4678@  (21)

корни которого определяются по формуле

cn±=u+(λn)±u+2(λn)4αβ2α.

Подставив в неё выражение для u+(λn), получим

cn±=12α(α+β)cos(πλn)+γsin(πλn)+f(λn)±((α+β)cos(πλn)+γsin(πλn)+f(λn))24αβ=

=12α[(α+β)cos(πλn)+γsin(πλn)+f(λn)±

    ±(αβ)2+2(α+β)cos(πλn)(γsin(πλn)+f(λn))+(γsin(πλn)+f(λn))2(α+β)2sin2(πλn)].

Введём следующие обозначения:

F±(λ)=12α(α+β)cos(πλ)+γsin(πλ)+f(λ)±((α+β)cos(πλ)+γsin(πλ)+f(λ)24αβ=

=12α[(α+β)cos(πλ)+γsin(πλ)+f(λ)±

±(αβ)2+2(α+β)cos(πλ)(γsinπλ+f(λ))+(γsin(πλ)+f(λ)2(α+β)2sin2(πλ)],

F0±λ=12α(α+β)cos(πλ)+γsin(πλ)±((α+β)cos(πλ)+γsin(πλ))24αβ=

=12α(α+β)cos(πλ)+γsin(πλ)±(αβ)2+(α+β)γcos(πλ)sin(πλ)+(γ2(α+β)2)sin2(πλ).

Обозначим также через Γ(z,r) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4KdCKaaG ikaiaadQhacaaISaGaamOCaiaaiMcaaaa@3B6C@  круг с центром в точке z MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaaaa@36F2@  радиуса r MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaaaa@36EA@ . Пусть αβ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqySdeMaey iyIKRaeqOSdigaaa@3AFA@ . Возможны следующие случаи.

1. Im(β/α)0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiaad2 gacaaIOaGaeqOSdiMaaG4laiabeg7aHjaaiMcacqGHGjsUcaaIWaaa aa@3F92@ . Пусть прямая l 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37CA@  проходит через точки 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaaaa@36AE@  и β/α, а прямая l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@  проходит через начало координат и параллельна l 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37CA@ . Очевидно, существует число ε 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3880@ такое, что круги Γ(1, 𝜀0) и Γ(−𝛽/𝛼, 𝜀0) лежат строго по одну сторону от прямой l.

Из (15) и (20) следует, что существует чётное положительное N ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOtayaaia aaaa@36D5@  такое, что

|F±(λ)F0±(λ)|<ε02 (22)

для любого  λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37A7@ , если |λ| N ˜ 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiabeU 7aSjaaiYhacqGHLjYSceWGobGbaGaacqGHsislcaaIXaaaaa@3E03@ , λ=k, kZ. Из (23) вытекает, что существует 0<δ0<1/4 такое, что

|F0±(λ)F0±(λ+z)|<ε02 (23)

при λ=±N~, |z|<δ0. Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛∈Z) следующим образом: λn=n, если n N ˜ +1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgw MiZkqad6eagaacaiabgUcaRiaaigdaaaa@3B2B@ , и пусть λ n = N ˜ + ϵ n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS baaSqaaiaad6gaaeqaaOGaaGypaiqad6eagaacaiabgUcaRmrr1ngB PrwtHrhAXaqeguuDJXwAKbstHrhAG8KBLbacfiGae8x9di=aaSbaaS qaaiaad6gaaeqaaaaa@4875@ , 0<ϵ1ϵN~<δ, если n=1,N~¯, λn=λn при n0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgc Mi5kaaicdaaaa@3967@ , λ0=N~. Очевидно, {λn} удовлетворяет условиям (*). Получаем, что если |n| N ˜ +1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaad6 gacaaI8bGaeyyzImRabmOtayaaiaGaey4kaSIaaGymaaaa@3D37@ , то все числа (1)ncn+ лежат внутри круга Γ(1,ε0) при чётных n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ , а все числа (1)ncn лежат внутри круга Γ(1,ε0) при нечётных n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ . Пусть cn=cn+, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  чётно, и cn=cn, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  нечётно, следовательно, числа (1)ncn лежат внутри круга Γ(1,ε0).

Пусть |n| N ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaad6 gacaaI8bGaeyizImQabmOtayaaiaaaaa@3B89@ , тогда из (22) и (23) следует, что

|F±(λn)F0±(N~)|<ε0.

Очевидно, что в силу чётности N ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOtayaaia aaaa@36D5@  все числа c n + MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaey4kaScaaaaa@38DD@ лежат внутри круга Γ(1, 𝜀0), а все числа c n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaeyOeI0caaaaa@38E8@ лежат внутри круга Γ(𝛽/𝛼, 𝜀0). Положим cn=cn+, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  чётно, тогда числа (1)ncn лежат внутри круга Γ(1,ε0). Пусть cn=cn, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  нечётно, тогда числа (1)ncn лежат внутри круга Γ(β/α,ε0), Таким образом, все числа (1)ncn  (𝑛∈Z) лежат строго по одну сторону от прямой l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@ .

2. Im(βα)=0, Re(β/α)<0. Здесь существует число ε 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3880@ такое, что круги Γ(1, 𝜀0) и Γ(−𝛽/𝛼, 𝜀0) лежат строго правее мнимой оси. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, что все числа (1)ncn лежат строго правее мнимой оси.

3. Im(𝛽/𝛼)=0, Re(𝛽/𝛼)>0. Обозначим α~=αα¯, β~=βα¯, γ=~γα¯, f~(λ)=α¯f(λ), тогда α~>0, β>0~. Легко видеть, что

cn±=12α~(α~+β)~cos(πλn)+γ~sin(πλn)+f~(λn)±((α~+β)~cos(πλn)+γ~sin(πλn)+f~(λn)24α~β~.

Обозначим

R±=12α~γ~±γ~24α~β~.

3.1. Im R + Im R <0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiaad2 gacaWGsbWaaWbaaSqabeaacqGHRaWkaaGccaWGjbGaamyBaiaadkfa daahaaWcbeqaaiabgkHiTaaakiaaiYdacaaIWaaaaa@3EDE@ . В этом случае

γ ˜ 2 4 α ˜ β ˜ 0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafq4SdCMbaG aadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHsislcaaI0aGafqySdeMbaGaa cuaHYoGygaacaiabgcMi5kaaicdacaaIUaaaaa@40DE@  (24)

Пусть для определённости ImR+>0, тогда ImR<0. Из (24) следует, что существует ε1>0 такое, что круги Γ(R+,ε1) и Γ(R,ϵ1) лежат строго по разные стороны от некоторой прямой , проходящей через начало координат и отличной от вещественной оси. Очевидно, что существует число ε 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaaikdaaeqaaaaa@3882@ , 0<ε2<ε1, такое, что круг Γ(1,ε2) не пересекается с l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@ , следовательно, круг Γ(1,ε2) расположен строго по одну сторону от прямой l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@ . Из (15) и (20) вытекает, что существует нечётное положительное число N ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOtayaaja aaaa@36D6@  такое, что

|F±(λ)F0±(λ)|<ε12 (25)

для любого λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37A7@ , если |λ| N ^ 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiabeU 7aSjaaiYhacqGHLjYSceWGobGbaKaacqGHsislcaaIXaaaaa@3E04@ , λ=k, ∈Z. В силу (24) существует 0<δ1<1/4 такое, что

|F0±(λ)F0±(λ+z)|<ε22, (26)

если λ=±(N^1), |z|<δ1.

Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛∈Z) следующим образом: λn=n, если n N ^ +1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgw MiZkqad6eagaqcaiabgUcaRiaaigdaaaa@3B2C@ , и пусть λn=N^1/2+ϵn, 0<ϵ1<<ϵN^<δ1, если n=1,N^¯, λn=λn при n0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgc Mi5kaaicdaaaa@3967@ , λ0=N^1/2. Очевидно, что {𝜆𝑛} удовлетворяет условиям (*). Получаем, что если |n| N ˜ +1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaad6 gacaaI8bGaeyyzImRabmOtayaaiaGaey4kaSIaaGymaaaa@3D37@ , то все числа c n + MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaey4kaScaaaaa@38DD@  лежат внутри круга Γ(1,ε1) при чётных n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ , а все числа c n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaeyOeI0caaaaa@38E8@  лежат внутри круга Γ(1,ε1) при нечётных n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ . Положим cn=cn+, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  чётно, и cn=cn, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  нечётно, следовательно, числа (1)ncn лежат внутри круга Γ(1, 𝜀1).

Пусть |n| N ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaad6 gacaaI8bGaeyizImQabmOtayaaiaaaaa@3B89@ , тогда из (25), (26) следует, что

|F±(λ)F0±(N^1/2)|<ε1,

а числа cn+Γ(R+,ε1), cnΓ(R,ε1). Предположим, например, что круг Γ(R+,ε1) лежит по одну сторону от прямой l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@  с кругом Γ(1,ε0). Положим cn=cn+, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  чётно, и cn=cn, если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  нечётно, тогда все числа (1)ncn, 𝑛∈Z, лежат строго по одну сторону от прямой l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@ .

3.2. ImR+=mR=0. Существует число 𝜀3 >0 такое, что круг Γ(1,ε3) лежит строго ниже прямой 𝑙1 : 𝑦 =−𝑥, причём круг Γiβ~/α~,ε3 лежит строго выше прямой l 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaBa aaleaacaaIXaaabeaaaaa@37CB@ , а круг Γiβ~/α~,ε3  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  строго ниже l 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaBa aaleaacaaIXaaabeaaaaa@37CB@ .

Очевидно, что γ~/α~ вещественно, следовательно, γ ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafq4SdCMbaG aaaaa@37A9@  вещественно.

Рассмотрим уравнение

(α~+β)~cost+γ~sint=0.

Так как α ˜ + β ˜ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqySdeMbaG aacqGHRaWkcuaHYoGygaacaiabgcMi5kaaicdaaaa@3CB4@ , оно имеет корни

tn=arcctgγ~α~+β~+πn,𝑛Z.

Обозначим

h0=1π𝑛arcctgγ~α~+β~.

Из (15) и (20) вытекает, что существует положительное число N ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOtayaaja aaaa@36D6@  такое, что

|F±(λ)F0±(λ)ε32

для любого λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37A7@ , если |λ| N ^ 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiabeU 7aSjaaiYhacqGHLjYSceWGobGbaKaacqGHsislcaaIXaaaaa@3E04@ , λ=k1, или λn=λ=^tN^1/π, а также существует δ3>0 такое, что

|F0±(λ)F0±(λ+z)<ε32,

если λ=±λ^, |z|<δ.

Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛 ∈ Z) следующим образом: λ n =n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS baaSqaaiaad6gaaeqaaOGaaGypaiaad6gaaaa@3A8A@  при n N ^ +1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgw MiZkqad6eagaqcaiabgUcaRiaaigdaaaa@3B2C@ , а если 1n N ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaiabgs MiJkaad6gacqGHKjYOceWGobGbaKaaaaa@3BEE@ , то λ n = λ ^ + ϵ n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS baaSqaaiaad6gaaeqaaOGaaGypaiqbeU7aSzaajaGaey4kaSYefv3y SLgznfgDOfdaryqr1ngBPrginfgDObYtUvgaiuGacqWF1pG8daWgaa WcbaGaamOBaaqabaaaaa@4957@ , где 0<ϵ1ϵN^min{δ, 1/2h0}, λn=λn при n0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgc Mi5kaaicdaaaa@3967@ , λ0=λ^. Очевидно, что {𝜆𝑛} удовлетворяет условиям (*). Легко видеть, что если |n| N ˜ +1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaad6 gacaaI8bGaeyyzImRabmOtayaaiaGaey4kaSIaaGymaaaa@3D37@ , то все числа c n + MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaey4kaScaaaaa@38DD@  лежат внутри круга Γ(1, ε 0 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4KdCKaaG ikaiaaigdacaaISaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaGyk aaaa@3CC8@ , если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  чётно, а все числа c n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaDa aaleaacaWGUbaabaGaeyOeI0caaaaa@38E8@  лежат внутри круга Γ(1,ε0), если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  нечётно. Положим c n = s n + MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGUbaabeaakiaai2dacaWGZbWaa0baaSqaaiaad6gaaeaa cqGHRaWkaaaaaa@3BC5@ , если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  чётно, и c n = s n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGUbaabeaakiaai2dacaWGZbWaa0baaSqaaiaad6gaaeaa cqGHsislaaaaaa@3BD0@ , если n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@  нечётно, следовательно, числа (1)ncn лежат внутри круга Γ(1,ε0).

Пусть |n|N~, тогда cn+Γ(iβ/α,ε2), cnΓ(1iβ/α,ε2). Пусть cn=cn+ при чётном n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ , и cn=cn при нечётном n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36E6@ . Тогда все числа (1)ncn лежат строго выше прямой l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@ . Так как [12] {𝑓(𝜆𝑛)} ∈𝑙, то из определения чисел c n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGUbaabeaaaaa@37FA@  следует, что всегда

cn=(1)n+ϑn, {ϑn}l2. (27)

Рассмотрим случай α=β. Тогда

cn±=12α2αcos(πλn)+γsin(πλn)+f(λn)±2αcos(πλn)+γsin(πλn)+f(λn)24α2=

=12α[2αcos(πλn)+γsin(πλn)+f(λn)±

±4αcos(πλn)(γsin(πλn)+f(λn))+(γsin(πλn)+f(λn))24α2sin2(πλn)].

Обозначим α=~αα¯, β=~βα¯, γ~=γα¯, f~(λ)=α¯f(λ), тогда α~>0,

cn±=12α~2α~cos(πλn)+γ~sin(πλn)+f(λn)±2α~cos(πλn)+γ~sin(πλn)+f(λn))24α~2=

=12α~[2α~cos(πλn)+γ~sin(πλn)+f(λn)±

±4α~cos(πλn)(γ~sin(πλn)+f(λn))+(γ~sin(πλn)+f(λn)24α~2sin2(πλn)].

Далее аналогично случаю 3 строится последовательность c n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGUbaabeaaaaa@37FA@  такая, что все числа (1)ncn лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат. Из определения чисел c n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBa aaleaacaWGUbaabeaaaaa@37FA@  и условия (14) вытекает, что выполняется равенство (27).

Отсюда следует, что все числа 𝑧𝑛=𝑐𝑛/𝑠˙(𝜆𝑛) во всех случаях лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, а из (19) и (27) вытекает, что

zn=1π+ρn, {ρn}l2.

Пусть 𝛽𝑛 =𝑐𝑛−cos(𝜋𝜆𝑛), тогда из (27) следует, что {βn}l2. Обозначим

h(λ)=s(λ)n=βns(˙λn)(λλn).

Согласно [13, с. 120] функция hP W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAaiabgI GiolaadcfacaWGxbWaaSbaaSqaaiabec8aWbqabaaaaa@3BFE@  и h(λn)=βn. Обозначим 𝑐(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), тогда c(λn)=cn0, следовательно, функции c(λ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yaiaaiI cacqaH7oaBcaaIPaaaaa@39F4@  и s(λ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4CaiaaiI cacqaH7oaBcaaIPaaaaa@3A04@  не имеют общих корней.

Обозначим также второй столбец матрицы E0(x,λ) через

Y0(x,λ)=sin(λx)cos(λx).

Пусть

F(x,t)=n=cns˙(λn)Y0(x,λn)Y0T(t,λn)1πY0(x,n)Y0T(t,n).

Из [10] следует, что

F(,x)L2,22,2(0,π)+F(x,)L2,22,2(0,π)<C2,

где C 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaaIYaaabeaaaaa@37A3@  не зависит от x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaaaa@36F0@ .

Используя установленные выше свойства чисел z n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaBa aaleaacaWGUbaabeaaaaa@3811@ , докажем, что для каждого x[0,π] однородное уравнение типа Гельфанда MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ Левитана

fTt+0xfT(s)F(s,t)ds=0, (28)

где f (𝑡) = col(𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡)), f ∈ 𝐿2,2(0, 𝑥), f (𝑡) = 0, если 𝑥 < 𝑡 ⩽ 𝜋, имеет лишь тривиальное решение.

Умножая уравнение (28) на f T (t) ¯ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa0aaaeaaca WHMbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaaGikaiaadshacaaIPaaaaaaa @3A61@  и интегрируя полученное уравнение на отрезке [0,x], получаем

fL(0,x)2+0x0xfT(s)F(s,t)ds,fT(t)dt=0. (29)

Несложные вычисления показывают, что

f𝑇 (𝑠)𝐹(𝑠, 𝑡)=

=n={zn[f1(s)sin(λns)sin(λnt)f2(s)cos(λns)sin(λnt),

f1(s)sin(λns)cos(λnt)+f2(s)cos(λns)cos(λnt)]

1π[f1(s)sin(ns)sin(nt)f2(s)cos(ns)sin(nt),

f1(s)sin(ns)cos(nt)+f2(s)cos(ns)cos(nt)]}=

=n={znf1(s)sin(λns)sin(λnt)f2(s)cos(λns)sin(λnt)

1πf1(s)sin(ns)sin(nt)f2(s)cos(ns)sin(nt),

znf1(s)sin(λns)cos(λnt)+f2(s)cos(λns)cos(λnt)

1πf1(s)sin(ns)cos(nt)+f2(s)cos(ns)cos(nt)}. (30)

Подставляя правую часть (30) во второй член в левой части (29), преобразуя повторные интегралы в произведения интегралов и используя вещественность всех чисел λ n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS baaSqaaiaad6gaaeqaaaaa@38C6@ , находим, что

0x0xfT(s)F(s,t)ds,fT(t)dt=

=n=(0x{0xzn[f1(s)sin(λns)sin(λnt)f2(s)cos(λns)sin(λnt)]

1πf1(s)sin(ns)sin(n)tf2(s)cos(ns)sin(nt)}ds)f1(t¯)dt+

+n=0x({0xzn[f1(s)sin(λns)cos(λnt)+f2(s)cos(λns)cos(λnt)]

1πf1(s)sin(ns)cos(nt)+f2(s)cos(ns)cos(nt)}ds)f2(t¯)dt=

=n=(zn0xf1(s)sin(λns)f2(s)cos(λns)ds0xsin(λnt)f1(t)¯dt

1π0xf1(s)sin(ns)f2(s)cos(ns)ds0xsin(nt)f1(t)¯dt)+

+n=(zn0xf1(s)sin(λns)+f2(s)cos(λns)ds0xcos(λnt)f2(t)¯dt

1π0xf1(s)sin(ns)+f2(s)cos(ns)ds0xcos(nt)f2(t)¯dt)=

=n=zn(0xf1(s)sin(λns)f2(s)cos(λns)ds0xsin(λnt)f1(t)¯dt+

+0xf1(s)sin(λns)+f2()scos(λns)ds0xcos(λnt)f2(t¯))dt

n=1π(0xf1(s)sin(ns)f2(s)cos(ns)ds0xsin(nt)f(t¯)dt+

+0xf1(s)sin(ns)+f2(s)cos(ns)ds0xcos(nt)f2(t)¯dt)=

=n=zn(0xf1(t)sin(λnt)f2()tcos(λnt)dt0xsin(λnt)f1(t¯)dt+

+0xf1(t)sin(λnt)+f2(t)cos(λnt)dt0xcos(λnt)f2(t¯)dt)

n=1π(0xf1(t)sin(nt)f2(t)cos(nt)dt0xsin(nt)f1(t)¯dt+

+0xf1(t)sin(nt)+f2(t)cos(nt)dt0xcos(nt)f2(t¯)dt)=

=n=zn0xf1(t)sin(λnt)f2(t)cos(λnt)dt0xf1(t)¯sin(λnt)f2(t)¯cos(λnt)dt

n=1π0xf1(t)sin(nt)f2(t)cos(nt)dt0xf1(t)¯sin(nt)f2(t¯)cos(nt)dt=

=n=zn0xf(t),Y0(t,λn)dt2n=1π0xf(t),Y0(t,n)dt2. (31)

Хорошо известно, что система функций {Y0(t,n)/π} (𝑛∈Z) образует ортонормированный базис в пространстве L2,2(0,π), поэтому из равенства Парсеваля вытекает, что

fL2,2(0,x)2=n=1π0xf(t),Y0(t,n)dt2. (32)

Из (29), (31) и (32) следует, что

n=zn0xf(t),Y0(t,λn)dt2=0.

Так как все числа z n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaBa aaleaacaWGUbaabeaaaaa@3811@  расположены строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, то

0xf(t),Y0(t,λn)dt=0

для всех 𝑛 ∈ Z. Из (17) вытекает, что функция s(λ) является функцией типа синуса [13, с. 118 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ 119], поэтому [1, лемма 5.3] система 𝑌0(𝑡, 𝜆𝑛) является базисом Рисса в L2,2(0,π), а значит, система 𝑌0(𝑡, 𝜆𝑛) полна в пространстве L2,2(0,π), откуда следует, что f(t)0.

Согласно [10, теорема 5.1] функции 𝑐(𝜆) и −𝑠(𝜆) являются элементами первой строки матрицы монодромии

E~(π,λ)=c~1(π,λ)s~2(π,λ)s~1(π,λ)c~2(π,λ)

задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3) с потенциалом V ˜ L 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOvayaaia GaeyicI4SaamitamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaaa@3A1A@ , т.e.

c(λ)=c~1(π,λ), s(λ)=s~2(π,λ). (33)

Из (13) находим, что соответствующий характеристический определитель равен

Δ(~λ)=J0+αc~2(λ)+βc~1(λ)+γs~1(λ)J0+(α+β)cos(πλ)+γsin(πλ)+f~(λ), f~PWπ.

Из (5), (21) и (33) получаем, что

Δ~(λn)=J0+αc~2(π,λn)+βc~1(π,λn)=J0+αc~1(π,λn)+βc~1(π,λn)=

=J0+βc(λn)+αc(λn)=J0+u+(λn)=U(λn).

Отсюда следует, что функция

Φ(λ)U(λ)Δ~(λ)s(λ)f(λ)f~(λ)s(λ),

является целой функцией на всей комплексной плоскости.

Так как

|f(λ)f~(λ)|<c1eπImλ, (34)

то из (18) имеем, что |Φ(𝜆)|⩽𝑐2, если | Im 𝜆|⩾𝑀. Обозначим через H MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamisaaaa@36C0@ объединение вертикальных отрезков {𝑧 : | Re 𝑧|=𝑛+1/2, | Im 𝜆|⩽𝑀}, где |𝑛|=𝑁0+1,𝑁0+2 Поскольку c(λ) является функцией типа синуса [14], то |𝑠(𝜆)|>𝛿>0, если 𝜆∈𝐻. Из последнего неравенства, (34) и принципа максимума модуля аналитической функции находим, что |Φ(𝜆)|<𝑐3 в полосе | Im 𝜆|⩽𝑀, следовательно, функция Φ(λ) ограничена во всей комплексной плоскости и в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Пусть | Im 𝜆|=𝑀. Тогда из (15) получаем, что lim|λ|(f()λf(~λ))=0, а значит, Φ(λ)0, откуда вытекает, что U(λ)Δ(~λ). Теорема доказана.

Дополнительно предположим, что условия (2), (3) нерегулярные, тогда характеристическое уравнение невозмущённой задачи (8) может быть приведено к виду

Δ0(𝜆)=𝑑−𝑒𝑖𝜋𝜆 =0, (35)

где d0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiabgc Mi5kaaicdaaaa@395D@ . Пусть 𝑑=𝑒𝑖𝜋, где 0Ret<2. Из тривиального равенства

1−𝑒𝑖𝜋𝜆 =−2𝑖𝑒𝑖𝜋𝜆/2 sin(𝜋𝜆/2)   

и хорошо известного разложения функции sinz MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4CaiaacM gacaGGUbGaamOEaaaa@39CA@  в бесконечное произведение следует, что

Δ0(λ)iπeiπt+λ(λt)n=,n02n+tλ2n,

и тогда уравнение (35) имеет корни

λn0=2n+t, nZ.

Теорема 2. Если J 14 + J 23 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaaIXaGaaGinaaqabaGccqGHRaWkcaWGkbWaaSbaaSqaaiaa ikdacaaIZaaabeaakiabgcMi5kaaicdaaaa@3E52@ , то для любой последовательности

λn=2n+t+εn, (36)

где ε n l 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaad6gaaeqaaOGaeyicI4SaamiBamaaBaaaleaacaaIYaaa beaaaaa@3C20@ , существует потенциал VL2(0,π) такой, что спектр соответствующей задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A92@ (3), (11) совпадает с множеством {λn}. Если J14+J23=0, то последнее утверждение справедливо для любой последовательности, удовлетворяющей соотношению (36) и дополнительному условию

k=n=εn2n+tk<, (37)

если t0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgc Mi5kaaicdaaaa@396D@ , t1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgc Mi5kaaigdaaaa@396E@ ; дополнительным условиям

k=n=εn2n2k1<, k=|ε2k+t|<,

если 𝑡=0 или 𝑡=1.

Доказательство. Очевидно, что

|Δ0(λ)|<c1eπImλ|. (38)

Пусть последовательность λ n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS baaSqaaiaad6gaaeqaaaaa@38C6@  удовлетворяет условию (36). Тогда существует постоянная M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamytaaaa@36C5@  такая, что

sup|εn|<M, nZ|εn|2<M. (39)

Обозначим

Δ(λ)=iπeiπ(t+λ)/2(λλ0)n=,n0λnλ2n.

Пусть 𝑓(𝜆)=Δ(𝜆)−Δ0(𝜆). Исследование свойств функции f(λ) основывается на следующих утверждениях.

Утверждение 1. Функция f(λ) является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdahaaa@37B0@ .

Доказательство. Обозначим через Γ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4KdCeaaa@375B@ объединение кругов Γ(2𝑛+𝑡, 𝑟0), 𝑛 ∈ Z, где r0=min{|t|/4, 1/4} при t0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgc Mi5kaaicdaaaa@396D@  и r 0 =1/4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaai2dacaaIXaGaaG4laiaaisdaaaa@3AD3@  при t=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaai2 dacaaIWaaaaa@386D@ . Если λΓ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWMaey ycI8Saeu4KdCeaaa@3A95@ , то

f(λ)=Δ0(λ)1Δ(λ)Δ0=Δ0(λ)ϕ(λ)),   (40)

где

ϕ(λ)λλ0λtn=,n01+εnλn0λ=n=1+εn2n+tλ.

Оценим функцию ϕ(λ). Обозначим 𝛼𝑛(𝜆)=𝜀𝑛/(2𝑛+𝑡−𝜆) . Из (39) следует, что

n=|αnλ|n=|εn|2+|2n+tλ|2/2<c3. (41)

Легко видеть, что для всех |𝑛|>𝑛0, где 𝑛0  достаточно большое число, справедливо неравенство

|𝛼𝑛(𝜆)|<1/4, (42)

для любого λΓ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWMaey ycI8Saeu4KdCeaaa@3A95@ . Если |n| n 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaad6 gacaaI8bGaeyizImQaamOBamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@3C80@ , то неравенство (42) имеет место для всех достаточно больших |λ| MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiabeU 7aSjaaiYhaaaa@39B3@ , следовательно, указанное неравенство справедливо для всех |λ| C 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiabeU 7aSjaaiYhacqGHLjYScaWGdbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3D27@ . Из (41), (42) и элементарного неравенства

| ln(1+𝑧)|⩽2|𝑧|, (43)

справедливого при |z|1/4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaadQ hacaaI8bGaeyizImQaaGymaiaai+cacaaI0aaaaa@3CE5@ , следует, что

n=|ln(1+αn)c4.

Здесь и в дальнейшем выбираем ту ветвь ln(1+𝑧), которая обращается в нуль при z=0. Согласно [15, гл. V, § MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaae4Paaaa@371D@  1, п. 72] перепишем последнее соотношение в виде

|ϕ(λ)|n=|1+αn(λ)|ec4. (44)

Из (38), (40), (44) следует, что

|𝑓(𝜆)|<𝑐5𝑒𝜋| Im 𝜆| (45)

вне области Γ′ =Γ∪{|𝜆|<𝐶0}.

Обозначим 𝐷 =⋃︀𝑛∈Z[2𝑛+Re 𝑡−1/4, 2𝑛+Re 𝑡+1/4], 𝐷0 = (0, 2) ∖𝐷. Легко видеть, что множество D 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiramaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37A2@  является объединением конечного числа интервалов, сумма длин которых не менее единицы. Пусть x 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@37D6@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A91@  середина одного из этих интервалов. Тогда все точки x 0 +2k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiabgUcaRiaaikdacaWGRbaaaa@3A6E@ , 𝑘∈Z, лежат вне множества D MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiraaaa@36BC@ . В частности, неравенство (45) справедливо, если λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37A7@ принадлежит прямым Imλ=±C^0, где C^0=C0+2|t|+1, и вертикальным отрезкам с вершинами в точках (x0+2k,-C^0), (x0+2k,C^0), |2𝑘−1|>𝐶0, 𝑘 ∈ Z. Согласно принципу максимума неравенство (45) имеет место на всей комплексной плоскости, следовательно, функция f(λ) является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdahaaa@37B0@ .

Утверждение 2. Функция f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaaaa@36DE@  принадлежит классу P W π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiuaiaadE fadaWgaaWcbaGaeqiWdahabeaaaaa@398D@ .

Доказательство. Обозначим

W(λ)=lnϕ(λ)=n=ln(1+αn(λ)),

тогда

f(λ)=Δ0λ1eWλ. (46)

Оценим функцию W(λ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4vaiaaiI cacqaH7oaBcaaIPaaaaa@39E8@ , если λ Γ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWMaey ycI8Safu4KdCKbauaaaaa@3AA1@ . Из (39), (42), (43) следует, что

|W(λ)|n=|ln(1+αn(λ))|

2M|λ|+n=|εn|210M+10M|2nλ|22M|λ|+110+20Mn=01n2+|Imλ|2

2M|λ|+110+20M2|Imλ|2+1dxx2+|Imλ|22M|mλ|+110+20M2|Imλ|2+π2|Imλ|,

откуда вытекает, что

|𝑊(𝜆)|<1/4 (47)

если |Imλ|M1=10(π+2+22M)+C^0. Из элементарных соотношений

|z|2|1ez|2|z|,

справедливых при z1/4, получаем, что выполняется неравенство 1−𝑒𝑊(𝜆)|⩽2|𝑊(𝜆)|, из которого и из (38), (46), (47) находим, что

|𝑓(𝜆)|⩽𝑐6|𝑊(𝜆)| (48)

для λl MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWMaey icI4SaamiBaaaa@3A1C@ , где l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaaaa@36E4@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@  прямая Imλ=M1. Докажем, что

|lW(λ)|2dλ<. (49)

Из элементарного неравенства ln(1+𝑧)−𝑧|⩽|𝑧|2, справедливого при |𝑧|⩽1/2, получаем, что

ln(1+𝑧)−𝑧 =𝑟(𝑧), |𝑟(𝑧)|⩽|𝑧|2,

следовательно,

𝑊(𝜆)=𝑆1(𝜆)+𝑆2(𝜆),

где

S1(λ)n=αn(λ), |S2(λ)|n=|αn(λ)|2.

Очевидно, что

|𝑊(𝜆)|⩽|𝑆1(𝜆)|+|𝑆2(𝜆)| (50)

Положим

Im=|lSm(λ)|2dλ, m=1, 2.

Вначале рассмотрим интеграл I 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysamaaBa aaleaacaaIXaaabeaaaaa@37A8@ . В [16, c. 221] показано, что

I1=ln=εn2n+tλ2dλ=l1n=εn2nλ2dλ<, (51)

где l 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaBa aaleaacaaIXaaabeaaaaa@37CB@  является прямой Im 𝜆=𝑀1−Im 𝑡.

Легко видеть, что

|S2(λ)|n=|εn|2|2n+tλ|2c7,

тогда

I2c7ln=|εn|2|2n+tλ|2dλc8n=|εn|2l1dλ|2nλ|2c9n|εn|2<c10. (52)

Из (50) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (52) вытекает условие (49). Из (48), (49) и [17, гл. 3, п. 3.2.2] получаем, что

R|f(λ)|2dλ<.

Таким образом, если J 14 + J 23 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaaIXaGaaGinaaqabaGccqGHRaWkcaWGkbWaaSbaaSqaaiaa ikdacaaIZaaabeaakiabgcMi5kaaicdaaaa@3E52@ , то функция Δ(λ) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и, значит, существует потенциал 𝑉 ∈ 𝐿2(0, 𝜋) такой, что спектр соответствующей задачи (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (3), (11) определяется формулой (36).

Пусть J14+J23=0. Проверим, что функция f(λ) удовлетворяет условию (14). Рассмотрим два случая.

1. t0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgc Mi5kaaicdaaaa@396D@ , t1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgc Mi5kaaigdaaaa@396E@ . Пусть 𝑘 ∈Z.. Очевидно, что

0<𝑐11 <|Δ0(𝑘)|<𝑐12. (53)

Из (36) следует, что существует такое число n0>0, что

|n|>n0|εn|2<11000,

и для любого |𝑛|>𝑛0 справедливо нервенство

|εn|2/3<11000.

Пусть λ Γ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWMaey ycI8Safu4KdCKbauaaaaa@3AA1@ . Дополнительно предположим, что

|𝜆|>𝑀2 =1000(2𝑛0+1)𝑛0𝑀

Используя хорошо известное неравенство 𝑎𝑏 ⩽ 𝑎𝑝/𝑝+𝑏𝑞/𝑞 (𝑎, 𝑏 > 0, 𝑝, 𝑞 > 1, 1/𝑝+1/𝑞 = 1), получаем, что

n=|αn(λ)|nn0|εn||2n+tλ|+nn0|εn|2n+tλ

2M|n|n012nλ+2|n|>n0|εn|2+(εn)2/3|2nλ|2/3150+1500n=11n4/3<110,

следовательно, неравенство (51) имеет место для любого λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37A7@  из рассматриваемой области.

Повторяя предыдущие рассуждения, находим, что

|f(λ)|c13n=αn(λ)+n=αn(λ)2.

Из последнего неравенства вытекает, что для всех |𝑘|>𝑘0, где 𝑘0 =max(𝐶0,𝑀2),

|f(k)|c14n=εn2n+tk+n=|εn|2|2n+tk|2. (54)

Очевидно, что

k=n=(εn)2(2n+tk)2=n|εnk21|2n+tk|2<c15n=|εn|2<c16. (55)

Из (37), (53) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugGbabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A90@ (55) следует справедливость условия (14).

2. t=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaai2 dacaaIWaaaaa@386D@  или t=1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaai2 dacaaIXaaaaa@386E@ . Пусть t=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaai2 dacaaIWaaaaa@386D@ , случай t=1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaai2 dacaaIXaaaaa@386E@  рассматривается аналогично.

Оценим |f(2k+1)| MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaadA gacaaIOaGaaGOmaiaadUgacqGHRaWkcaaIXaGaaGykaiaaiYhaaaa@3D98@ . Очевидно, что . Рассуждая аналогично случаю 1, получаем

k= |f(2k+1)|<. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeqale aacaWGRbGaaGypaiabgkHiTiabg6HiLcqaaiabg6HiLcqdcqGHris5 aOGaaGiFaiaadAgacaaIOaGaaGOmaiaadUgacqGHRaWkcaaIXaGaaG ykaiaaiYhacaaI8aGaeyOhIuQaaGOlaaaa@485A@  (56)

Оценим |f(2k)| MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaadA gacaaIOaGaaGOmaiaadUgacaaIPaGaaGiFaaaa@3BFB@ . Очевидно, что Δ 0 (2k)=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdq0aaS baaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaGikaiaaikdacaWGRbGaaGykaiaai2da caaIWaaaaa@3CDB@ , следовательно, f(2k)=Δ(2k) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaaiI cacaaIYaGaam4AaiaaiMcacaaI9aGaeuiLdqKaaGikaiaaikdacaWG RbGaaGykaaaa@3F2D@ . Так как функция Δ(λ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdqKaaG ikaiabeU7aSjaaiMcaaaa@3A72@  ограничена в полосе |Imλ|1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaadM eacaWGTbGaeq4UdWMaaGiFaiabgsMiJkaaigdaaaa@3DE3@  и для всех достаточно больших по абсолютной величине k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaaaa@36E3@   | ε k |<1/2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiabew 7aLnaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaaiYhacaaI8aGaaGymaiaai+ca caaIYaaaaa@3DC2@ , то согласно принципу максимума будем иметь

|f(2k)|=|Δ(2k)|| ε 2k | max |2kλ|=1 Δ(λ) λ 2k λ c 17 | ε 2k |. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGiFaiaadA gacaaIOaGaaGOmaiaadUgacaaIPaGaaGiFaiaai2dacaaI8bGaeuiL dqKaaGikaiaaikdacaWGRbGaaGykaiaaiYhacqGHKjYOcaaI8bGaeq yTdu2aaSbaaSqaaiaaikdacaWGRbaabeaakiaaiYhadaGfqbqabSqa aiaaiYhacaaIYaGaam4AaiabgkHiTiabeU7aSjaaiYhacaaI9aGaaG ymaaqabOqaaiGac2gacaGGHbGaaiiEaaaadaGadaqaamaaemaabaWa aSaaaeaacqqHuoarcaaIOaGaeq4UdWMaaGykaaqaaiabeU7aSnaaBa aaleaacaaIYaGaam4AaaqabaGccqGHsislcqaH7oaBaaaacaGLhWUa ayjcSdaacaGL7bGaayzFaaGaeyizImQaam4yamaaBaaaleaacaaIXa GaaG4naaqabaGccaaI8bGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaaikdacaWGRbaa beaakiaaiYhacaaIUaaaaa@7077@  (57)

Из (56), (57) и условия теоремы вытекает справедливость (14). Теорема доказана.

Заметим, что краевые условия

A= 1 i 1 i 1 0 1 0 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaiaai2 dadaqadaqaauaabeqacqaaaaqaaiaaigdaaeaacqGHsislcaWGPbaa baGaeyOeI0IaaGymaaqaaiabgkHiTiaadMgaaeaacaaIXaaabaGaaG imaaqaaiaaigdaaeaacaaIWaaaaaGaayjkaiaawMcaaiaaiYcaaaa@42D8@

удовлетворяющие соотношениям (11), являются нерегулярными, причём выполняется условие J 14 + J 23 =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsamaaBa aaleaacaaIXaGaaGinaaqabaGccqGHRaWkcaWGkbWaaSbaaSqaaiaa ikdacaaIZaaabeaakiaai2dacaaIWaaaaa@3D52@ .

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор данной работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.

×

About the authors

A. S. Makin

Peoples’ Friendship University of Russia

Author for correspondence.
Email: alexmakin@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Albeverio, A. Inverse spectral problems for Dirac operators with summable potentials / A. Albeverio, R. Hryniv, Ya. Mykytyuk // Russ. J. Math. Phys. — 2005. — V. 12, № 4. — P. 406–423.
  2. Lunyov A. On the Riesz basis property of root vectors system for 2×2 Dirac type operators / A. Lunyov, M. Malamud // J. Math. Anal. Appl. — 2016. — V. 441, № 1. — P. 57–103.
  3. Savchuk, A.M. The Dirac operator with complex-valued summable potential / A.M. Savchuk, A.A. Shkalikov // Math. Notes. — 2014. — V. 96, № 5. — P. 777–810.
  4. Savchuk, A.M. Spectral analysis of one-dimensional Dirac system with summable potential and Sturm–Liouville operator with distribution coefficients / A.M. Savchuk, I.V. Sadovnichaya // Contemporary Mathematics. Fundamental Directions. — 2020. — V. 66, № 3. — P. 373–530.
  5. Misyura, T.V. Characterization of spectra of periodic and anti-periodic problems generated by Dirac’s operators. II / T.V. Misyura // Theoriya functfii, funct. analiz i ikh prilozhen. — 1979. — V. 31. — P. 102–109. [in Russian]
  6. Nabiev, I.M. Solution of the quasiperiodic problem for the Dirac system / I.M. Nabiev // Math. Notes. —2011. — V. 89, № 6. — P. 845–852.
  7. Djakov, P. Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions / P. Djakov, B. Mityagin // Indiana Univ. Math. J. — 2012. — V. 61. — P. 359–398.
  8. Yurko, V.A. Inverse spectral problems for differential systems on a finite interval / V.A. Yurko // Results in Mathematics. — 2005. — V. 48, № 3–4. — P. 371–386.
  9. Makin, A.S. On the spectrum of two-point boundary value problems for the Dirac operator / A.S. Makin // Differ. Equat. — 2021. — V. 57, № 8. — P. 993–1002.
  10. Tkachenko, V. Non-self-adjoint periodic Dirac operators / V. Tkachenko // Oper. Theory: Adv. and Appl. —2001. — V. 123. — P. 485–512.
  11. Marchenko, V.A. Sturm–Liouville operators and their applications / V.A. Marchenko. — Basel : Birkhauser Verlag, 1986.
  12. Tkachenko, V. Non-self-adjoint periodic Dirac operators with finite-band spectra / V. Tkachenko // Int. Equ. Oper. Theory. — 2000. — V. 36. — P. 325–348.
  13. Levin, B.Ya. Lectures on Entire Functions / B.Ya. Levin . — Providence : American Mathematical Society, 1996.
  14. Levin, B.Ya. On small perturbations of the set of zeros of functions of sine type / B.Ya. Levin, I.V. Ostrovskii // Math. USSR-Izv. — 1980. — V. 14, № 1. — P. 79–101.
  15. Lavrentiev, M.A. Methods of Theory of Complex Variable / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabat. — Moscow : Nauka, 1973. — 736 p. [in Russian]
  16. Sansug, J.-J. Characterization of the periodic and antiperiodic spectra of nonselfadjoint Hill’s operators / J.-J. Sansug, V. Tkachenko // Oper. Theory Adv. and Appl. — 1997. — V. 98. — P. 216–224.
  17. Nikolskii, S.M. Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems / S.M. Nikolskii. —Moscow : Nauka, 1977. — 456 p. [in Russian]

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».