About the seminar on problems of nonlinear dynamics and control at Moscow State University named after M.V. Lomonosov

Abstract

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в осеннем семестре 2023 г. (предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференц. уравнения”. 2023. Т. 59. № 8; за дополнительной информацией обращаться по адресу: deq@cs.msu.ru)[7]

Full Text

О семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова¹

А. В. Ильин, А. С. Фурсов, Ю. М. Мосолова (МГУ ВМК, Москва, Россия) О задаче стабилизации переключаемой интервальной линейной системы с соизмеримыми запаздываниями 18.12.2023

В настоящей работе исследуется задача цифровой стабилизации переключаемой интервальной линейной системы в случае, когда её режимы имеют различные запаздывания в управлении, а именно, рассматривается непрерывная скалярная переключаемая интервальная линейная система с соизмеримыми запаздываниями в управлении

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-{\theta }_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sigma \in S_{\mathrm{0,}\gamma }\mathrm{,}t\ge \mathrm{0,}$                       (1)

 где $\sigma \mathrm{<mo>:</mo>}{ℝ}_{+}\to I\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ полунепрерывная справа кусочно-постоянная функция (ненаблюдаемый переключающий сигнал); $S_{\mathrm{0,}\gamma }$ $—$ множество переключающих сигналов $\sigma$, точки разрыва которых принадлежат множеству $\mathrm{<mo>\{</mo>}l\gamma \mathrm{<mo>\}</mo>}$, $\gamma$ $—$ некоторое положительное число, а $l\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2,...}$; $x\in {ℝ}^n$ $—$ вектор состояния; $y\in ℝ$ $—$ измеряемый скалярный выход; $u\in ℝ$ $—$ управляющий вход; $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\circ \sigma$ $—$ композиция отображения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}I\to \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ и переключающего сигнала $\sigma$; $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\circ \sigma$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\circ \sigma$ и ${\theta }_{\sigma }\mathrm{<mo>=</mo>}\theta \circ \sigma$ $—$ аналогичные композиции для отображений $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}I\to \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}I\to \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$, $\theta \mathrm{<mo>:</mo>}I\to \mathrm{<mo>\{</mo>}{\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_m\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ( $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$ ) $—$ интервальные матрицы соответствующих размеров). Здесь ${\theta }_i\mathrm{<mo>></mo>0}$ $—$ величины постоянных запаздываний, причём ${\theta }_i\mathrm{<mo>/</mo>}{\theta }_j$ $—$ рациональное число для любой пары $i\mathrm{,}j\in I$.

Значение функции $\sigma$ в каждый момент времени определяет активный режим переключаемой системы (1), описываемый интервальной линейной стационарной системой с запаздыванием в управлении

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-{\theta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Решением уравнения состояния системы (1) при фиксированных тройках $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_i\mathrm{,}{A}_i\mathrm{,}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $c_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $A_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $b_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$ ), заданном управлении $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (считаем, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ при $t\le 0$ ), переключающем сигнале $\sigma \in S_{\mathrm{0,}\gamma }$ и начальном условии $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_0$ является решение соответствующей линейной нестационарной системы с запаздыванием

$\dot{x}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}x+b_{\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-{\theta }_{\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_0\mathrm{.}$

Требуется для переключаемой линейной системы (1) с заданным числом $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$ и ненаблюдаемыми переключающими сигналами $\sigma \in S_{\mathrm{0,}\gamma }$ построить цифровой регулятор вида

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}tT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}jT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-jT\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1,}& t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \mathrm{0,}& t\notin \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}\right.$                                    (2)

$v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}Qv\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+qy\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}Hv\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+hy\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{v}_0\mathrm{,}$                      (3)

 обеспечивающий глобальную равномерную асимптотическую устойчивость замкнутой непрерывно-дискретной системы

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-{\theta }_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}Qv\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in S_{\mathrm{0,}\gamma }\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_0\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{v}_0\mathrm{,}$                    (4)

 где

$ut-{\theta }_i\left\{\begin{array}{ll}\sum _j^{\left[t-{\theta }_{i}T\right]}HvlT+h{c}_{\sigma }xlTSt-{\theta }_i-jT& \text{еслиt}\ge {\theta }_{\text{i}}\text{,}\\ \mathrm{0,}& \text{если0}\le \text{t<}{\theta }_{\text{i}}\mathrm{.}\end{array}\right.$

 Система (4) записана при условии, что моменты времени $t$ и $lT$ согласованы, $l\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}tT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, т.е.

$lT\le t\mathrm{<mo><</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$

Здесь $T$ $—$ период квантования по времени $t$ (считаем, что $T\mathrm{<mo><</mo>}\gamma$, существует $l_0\in \mathbb{N}$ такое, что $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{l}_{0}T$, и для любого $i$ найдётся такое $l_i\in \mathbb{N}$, что ${\theta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_{i}T$ ), $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ целая часть действительного числа, $Q\in R^{r\times r}$, $q\in R^{r\times 1}$, $H\in R^{1\times r}$, $h\in R$ ( $r$ $—$ порядок регулятора), $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ дискретные функции, определённые на последовательности ${\mathrm{<mo>\{</mo>}lT\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{l\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }$, формирующий элемент представлен фиксатором нулевого порядка [1, c. 25].

Замкнутую непрерывно-дискретную систему (4) называем глобально равномерно асимптотически устойчивой, а регулятор (2), (3) стабилизирующим, если при любых фиксированных тройках $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_i\mathrm{,}{A}_i\mathrm{,}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $c_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $A_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $b_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$ ) для любых $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $\sigma \in S_{\mathrm{0,}\gamma }$ для соответствующего решения выполнено:

$‖\begin{array}{c}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \upsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lT\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\end{array}‖\to 0\text{при}t\to +\infty \mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\frac{t}{T}\right]\mathrm{.}$

Для решения поставленной задачи предлагается применять подходы, разработанные в статьях [2$–$4], где исследовались проблемы цифровой стабилизации переключаемых интервальных линейных систем и переключаемых линейных систем с запаздыванием в управлении, одинаковом для всех режимов рассматриваемой переключаемой системы. Для решения первой проблемы в [3, 4] используется метод дискретизации переключаемой интервальной системы с дальнейшим поиском динамического дискретного регулятора на основе линейных матричных неравенств. В работе [2] предлагается подход для решения второй проблемы, включающий два основных шага $—$ переход от исходной непрерывной системы к её точной дискретной модели (вообще говоря, более высокого динамического порядка) и поиск дискретного динамического регулятора для полученной переключаемой дискретной системы. Модифицируя указанные подходы с учётом наличия соизмеримых запаздываний в режимах исходной переключаемой системы (1), разработана общая схема построения цифрового регулятора (2), (3), включающая следующие основные шаги:

1) переход от непрерывной системы (1) к её точной дискретной модели с учётом, что на её входе используется фиксатор нулевого порядка (точная дискретная модель фактически представляет собой семейство переключаемых дискретных систем с режимами, описываемыми системами разностных уравнений, вообще говоря, различных динамических порядков, не содержащих запаздываний);

2) построение интервального расширения для полученной дискретной модели;

3) приведение режимов полученной переключаемой линейной интервальной дискретной системы к единому порядку на основе метода расширения динамического порядка [5, c. 205];

4) построение процедуры численного поиска стабилизирующего дискретного регулятора вида (3) с использованием достаточного условия устойчивости переключаемых интервальных дискретных систем на основе метода функций Ляпунова [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению $№$ 075-15-2019-1621.

Литература. 1. Поляков, К.Ю. Основы теории цифровых систем управления: учеб. пособие / К.Ю. Поляков. $—$ СПб. : СПбГМТУ, 2002. $—$ 154 с. 2. Фурсов, А.С. Построение цифрового стабилизатора для переключаемой линейной системы с запаздыванием в управлении / А.С. Фурсов, С.И. Миняев, В.С. Гусева // Дифференц. уравнения. $—$ 2018. $—$ Т. 54, $№$ 8. $—$ С. 1132$–$1141. 3. Фурсов, А.С. Синтез цифрового стабилизатора по выходу для переключаемой интервальной линейной системы / А.С. Фурсов, С.И. Миняев, Ю.М. Мосолова // Дифференц. уравнения. $—$ 2019. $—$ Т. 55, $№$ 11. $—$ С. 1545$–$1559. 4. Фурсов, А.С. Цифровая сверхстабилизация переключаемой интервальной линейной системы / А.С. Фурсов, Ю.М. Мосолова, С.И. Миняев // Дифференц. уравнения. $—$ 2020. $—$ Т. 56, $№$ 11. $—$ С. 1516$–$1527. 5. Фурсов, А.С. Одновременная стабилизация: теория построения универсального регулятора для семейства динамических объектов / А.С. Фурсов. $—$ М. : Аргамак-Медиа, 2016. $—$ 238 с.

В. Е. Хартовский (ФИТМ ГрГУ имени Я. Купалы, Гродно, Беларусь) К вопросу назначения конечного спектра линейной системе нейтрального типа 16.10.2023

Объект исследования $—$ линейная автономная система нейтрального типа

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}$                                    (5)

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\ge 0.$                                                                              (6)

 Здесь $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^n$ $—$ решение уравнения (5); $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^l$ $—$ управление, выбираемое из класса кусочно-непрерывных функций; $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^r$ $—$ наблюдаемый выход; ${\lambda }_h$ $—$ оператор сдвига, определяемый для заданного $h\mathrm{<mo>></mo>0}$ правилом ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{k}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-kh\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in \mathbb{N}$;

$D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{\lambda }^i{D}_i\mathrm{,}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^m}{\lambda }^i{A}_i\mathrm{,}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^m}{\lambda }^i{C}_i\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^m}{\lambda }^i{B}_i\mathrm{,}$

где $D_i\in {ℝ}^{n\times n}$, $A_i\in {ℝ}^{n\times n}$, $C_i\in {ℝ}^{l\times n}$, $B_i\in {ℝ}^{n\times r}$.

Пусть $I_i\in {ℝ}^{i\times i}$ $–$ единичная матрица, $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_n-D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ характеристическая матрица уравнения (5). Спектр (множество собственных значений) разомкнутой ( $u\equiv 0$ ) системы (5) совпадает с множеством корней уравнения $\det W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, которое в подробной записи имеет вид ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{p}^i{g}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, где $g_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ некоторые полиномы, $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$. Из этого уравнения видно, что спектр системы (5) состоит из бесконечного числа чисел.

Задача назначения конечного спектра заключается в построении регулятора с обратной связью такого, чтобы замкнутая система имела наперёд заданный конечный набор собственных значений, состоящий, как правило, из произвольных чисел с отрицательными действительными частями. Такая задача исследовалась многими авторами, наиболее важные результаты в этом направлении, а также решение более общей задачи модального управления (управления при помощи обратной связи коэффициентами характеристического уравнения) обсуждаются в работах [1, 2] (см. Введение). В статье [3] для систем запаздывающего типа с одним входом предложен алгебраический подход, позволяющий с единой позиции подойти к решению задач назначения конечного спектра и полной управляемости. При исследовании проблемы управления коэффициентами характеристического уравнения системы нейтрального типа (5) установлено [4], что в случае выполнения условия модальной управляемости исходную задачу можно свести к аналогичной задаче для системы запаздывающего типа с одним входом и дальнейшее исследование провести методами, описанными в [3]. Там же показано, что задача назначения конечного спектра разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача модальной управляемости. Систематизация подхода [4], а также исследование ослабленного варианта задачи модальной управляемости выполнены в статье [5, c. 321]. В настоящем сообщении методы [4, 5] обобщены на задачу назначения конечного спектра. Однако, в отличие от работ [4, 5], регулятор построен по неполным измерениям, определяемым наблюдаемым выходом (6). Основная идея заключена в модификации структуры регуляторов [4; 5, c. 321] посредством встраивания в их внутренний контур системы точной оценки решения, основанной на использовании конструкций финитных наблюдателей, разработанных в [5, 6]. Перейдём к постановке задачи.

Определим регулятор с обратной связью по выходу следующего вида:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Re }_{01}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}+{\Re }_{00}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}{\dot{x}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Re }_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}+{\Re }_{10}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$                           (7)

 Здесь $x_1\in {ℝ}^{n_1}$ $—$ вспомогательная переменная, операторы ${\Re }_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ определяются на множестве непрерывных функций $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеющих кусочно-непрерывную производную, по правилу

${\Re }_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{R}_{ij}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }_h{R}_{ij}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dot{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{h_0}{\int }}}{\widehat{R}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{,}$                          (8)

 где $R_{ij}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $R_{ij}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданные полиномиальные матрицы, ${\widehat{R}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданные кусочно-непрерывные матричные функции, $h_0\mathrm{<mo>></mo>0}$. Каждому оператору вида (8) поставим в соответствие матрицу

${\mathcal{R}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{R}_{ij}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p{e}^{-ph}{R}_{ij}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{h_0}{\int }}}{\widehat{R}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-ps}ds\mathrm{.}$

Выпишем характеристическую матрицу замкнутой системы (5)$–$(7):

$W_{1}p\left[\begin{array}{cl}Wp-B{e}^{-ph}{\mathcal{R}}_{00}pC{e}^{-ph}& -B{e}^{-ph}{\mathcal{R}}_{01}p\\ -{\mathcal{R}}_{10}pC{e}^{-ph}& p{I}_{n_1}-{\mathcal{R}}_{11}p\end{array}\right]\mathrm{.}$                           (9)

Задача 1. Пусть задан произвольный полином $d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с вещественными коэффициентами. Требуется построить регулятор вида (7) такой, что определитель характеристической матрицы (9) замкнутой системы (5)$–$(7) совпадает с полиномом $d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. $\det W_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Получен критерий существования регулятора (7), обеспечивающего решение задачи 1.

Теорема 1. Задача 1 разрешима для любого полинома $d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{deg}d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 2n+r+4$, имеющего по крайней мере два вещественных корня (возможно, равных между собой), тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) $rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}n$, $p\in ℂ$;

2) $rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{I}_n-D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}n$, $p\in ℂ$;

3) $rank\left[\begin{array}{c}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-ph}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right]\text{}$, $p\in ℂ$;

4) $rank\left[\begin{array}{c}{I}_n-D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right]\text{}$, $p\in ℂ$.

Условия 1), 2) представляют собой критерий модальной управляемости системы (5). Условия 3), 4) необходимы и достаточны для существования финитного наблюдателя для системы (5), (6). Эти же условия определяют критерий финальной наблюдаемости системы (5), (6) $—$ условия существования непрерывной операции восстановления “отрезка решения” $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0-mh\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, при некотором достаточно большом $t_0\mathrm{<mo>></mo>0}$, по результатам наблюдения $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (при известном управлении $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ ).

Литература.  1. Хартовский, В.Е. Управление линейными системами нейтрального типа: качественный анализ и реализация обратных связей / В.Е. Хартовский. $—$ Гродно : ГрГУ, 2022. $—$ 500 с. 2. Зайцев, В.А. Модальное управление и стабилизация линейных систем статической обратной связью по выходу / В.А. Зайцев, И.Г. Ким. $—$ Ижевск : Изд. центр «Удмуртский университет», 2022. $—$ 184 с. 3. Метельский, А.В. Алгебраический подход к стабилизации дифференциальной системы запаздывающего типа / А.В. Метельский // Дифференц. уравнения. $—$ 2018. $—$ Т. 54, $№$ 8. $—$ С. 1119$–$1131. 4. Метельский, А.В. Критерии модальной управляемости линейных систем нейтрального типа / А.В. Метельский, В.Е. Хартовский // Дифференц. уравнения. $—$ 2016. $—$ Т. 52, $№$ 11. $—$ С. 1506$–$1521. 5. Метельский, А.В. Синтез финитного наблюдателя для линейных систем нейтрального типа / А.В. Метельский, В.Е. Хартовский // Автоматика и телемеханика. $—$ 2019, $№$ 12. $—$ С. 80$–$102. 6. Метельский, А.В. О точном восстановлении решения линейных систем нейтрального типа / А.В. Метельский, В.Е. Хартовский // Дифференц. уравнения. $—$ 2021. $—$ Т. 57, $№$ 2. $—$ С. 265$–$285.

Е. И. Атамась (МГУ ВМК, Москва, Россия) Один метод реализации интервальных систем 20.11.2023

Задача реализации управляемой линейной системы является классической и для стационарных систем давно имеет полное решение. Построение реализации тривиально в случае скалярных систем и немногим более сложно для векторных систем. В данном сообщении мы зададимся вопросом о методах построения реализации для интервальных передаточных матриц, т.е. матриц, элементами которых являются рациональные выражения с интервальными коэффициентами [1], например, в случае матриц размера $1\times 1$ будем иметь

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{b_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}\dots +a_{1}s+a_0}\mathrm{,}$

где $b_i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\underset{¯}{b}}_i\mathrm{,}{\overline{b}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $a_i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\underset{¯}{a}}_i\mathrm{,}{\overline{a}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ вещественные интервалы.

Из-за привлечения интервальных вычислений непосредственный перенос многих методов построения реализации, известных для систем с точечными параметрами, оказывается невозможен. В работе [2] был предложен подход для скалярных систем, основанный на использовании канонической формы управляемости/наблюдаемости. К сожалению, обобщить его на векторные системы крайне затруднительно: построение известных аналогов таких канонических форм сопряжено с заменами координат, что в интервальном случае практически невозможно.

Попробуем применить для решения поставленной задачи алгоритм реализации Гилберта. Суть его состоит в разложении передаточной матрицы в сумму элементарных дробей, после чего каждая из них реализуется отдельно тривиальным образом. Однако в интервальной арифметике классический способ разложения в элементарные дроби на основе метода неопределённых коэффициентов также оказывается малоприменим, поскольку приводит к решению интервальной системы линейных алгебраических уравнений. Для получения более простого подхода сделаем следующие предположения о передаточной функции $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Будем считать, что $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ физически реализуема, т.е. степень числителя каждого её элемента строго меньше степени знаменателя, а все полюсы системы простые и вещественные. В этом случае можно записать равенство

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{A_1}{s-p_1}+\frac{A_2}{s-p_2}+\dots +\frac{A_n}{s-p_n}\mathrm{,}$

где $p_i$ $—$ интервальные корни многочлена $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Сделанное нами предположение о простоте корней позволяет использовать относительно простые алгоритмы для их поиска (см., например, [3]), а также вычислять коэффициенты $A_i$, для этого применим хорошо известную формулу $A_i\mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где $a_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}s-p_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда нам потребуется лишь вычислить значения интервальных полиномов в интервальных точках, что является простой операцией. Так, каждой дроби вида $A_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s-p_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет соответствовать часть реализации

${\dot{x}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{p}_{i}Ix+A_{i}u\mathrm{,}{y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}I{x}_i\mathrm{,}$

где $I$ $—$ единичная матрица соответствующего размера.

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет строить реализацию векторной интервальной системы при указанных ограничениях.

Литература. 1. Прикладной интервальный анализ / Л. Жолен, М. Кифер, О. Дидри, Э. Вальтэр; пер. с англ. С.И. Куликова. $—$ М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2015. $—$ 467 с. 2. Атамась, Е.И. О переходе между различными представлениями интервальных управляемых систем / Е.И. Атамась // Вестн. Московского ун-та. Серия 15: Вычислит. математика и кибернетика. $—$ 2023. $—$ $№$ 4. $—$ С. 3$–$8. 3. Hansen, E.R. Sharp bounds on interval polynomial roots / E.R. Hansen // Reliable Computing. $—$ 2002. $—$ $№$ 8. $—$ P. 115$–$122.

А. И. Астровский (БГЭУ, Минск, Беларусь) Наблюдаемость линейных нестационарных систем с ограничением на выходную функцию 11.12.2023

В классической постановке задачи наблюдаемости [1] для линейных систем предполагалось, что выходная функция системы в момент $t$ линейно связана с состоянием системы в этот же момент и её измерения всегда доступны наблюдателю. Вместе с тем в приложениях (например, в теории электрических цепей, в навигационной теории, в медицинских исследованиях и т.д.) есть задачи наблюдения для линейных систем, у которых выходная функция может быть измерена тогда и только тогда, когда фазовый вектор принадлежит некоторому заданному множеству из пространства ${ℝ}^n\mathrm{.}$ Задачи наблюдения такого типа относят к специальному нелинейному классу задач наблюдения и называют задачами наблюдения с ограничениями на выходную функцию. Задачи наблюдения с геометрически ограниченными наблюдениями исследовались, например, в [2$–$4] для стационарных систем при ограничениях на фазовый вектор в виде конусов в конечномерном пространстве.

Рассмотрим для линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений задачи наблюдаемости при условии, что выходная функция системы может быть измерена тогда и только тогда, когда она положительна:

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{y}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{+}\mathrm{,}t\in T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$                       (10)

 Здесь $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $n$ -вектор-столбец состояния системы (10) в момент $t$; $n\times n$ -матричная функция $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $n$ -вектор-строка $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывны на $T$; ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo>0,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ для каждого $t\in T$.

Говорят, что начальные состояния $x_0^1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $x_0^2\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из ${ℝ}^n$ системы (10) положительно различимы, если соответствующие им выходные функции $y_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $y_2^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_0^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не совпадают тождественно на отрезке $T$, т.е. $y_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\equiv }{y}_2^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T\mathrm{.}$ Система (10) положительно наблюдаема, если любые два начальные состояния из ${ℝ}^n$ положительно различимы.

Свойство положительной наблюдаемости накладывает довольно жёсткие требования на систему наблюдения. Например, при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$ любая стационарная система вида (10) не является положительно наблюдаемой (хотя она наблюдаема при $c\ne 0$ ). Скалярная нестационарная система наблюдения со знакопеременной функцией $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T$, служит примером положительно наблюдаемой системы.

Отождествим систему $\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T$, с парой $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть $h_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}$, являются компонентами $n$ -вектор-строки $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ фундаментальная матрица системы (10): $\dot{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T$, $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{E}_n\mathrm{.}$

Система (10) задаёт отображение “начальное состояние” $\to$ “выходная функция”, которое действует по правилу ${\mathcal{O}}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{+}$, $t\in T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Понятно, что система (10) положительно наблюдаема тогда и только тогда, когда отображение ${\mathcal{O}}_T$ инъективно. Очевидно, что наблюдаемость пары $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является необходимым и достаточным условием положительной наблюдаемости системы (10).

Хорошо известно [1], что необходимым и достаточным условием наблюдаемости пары $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является линейная независимость системы функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ на $T\mathrm{.}$

Говорят, что система функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{b}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{b}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ вполне линейно независима на отрезке $T$, если любая нетривиальная линейная комбинация этих функций $g_1{b}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\cdots +g_n{b}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может быть равна нулю только на множестве меры ноль. Точку ${\tau }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называют корнем-узлом для непрерывной функции $\omega \mathrm{<mo>:</mo>}T\to ℝ$, если $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и при переходе через эту точку ${\tau }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ значения функции меняют знак.

Система непрерывных функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{b}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{b}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ на отрезке $T$ называется [5, 6] системой функций Чебышёва порядка $n-1$, если любая нетривиальная линейная комбинация этих функций $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}_1{b}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\cdots +g_n{b}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет не более $n-1$ корней на $T\mathrm{.}$

Непосредственно из определения положительной наблюдаемости следует

Лемма 1.  Для положительной наблюдаемости системы (10) необходимо, чтобы каждая нетривиальная линейная комбинация $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}_1{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\cdots +g_n{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по системе функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ имела хотя бы один корень-узел на промежутке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Из определения положительной наблюдаемости и леммы 1 вытекает

Теорема 1.  Система (10) положительно наблюдаема на отрезке $T$, если для пары $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функции $h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ..., $h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вполне линейно независимы на $T$ и у каждого нетривиального многочлена $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по этим функциям существует хотя бы один корень-узел на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Рассмотрим на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ систему наблюдения второго порядка: ${\dot{x}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\dot{x}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $y^{+}t{\sin }^{3}t{x}_{1}t+t{x}_{2}t{}^{+}$. Для этой системы функции $h_{1}t{\sin }^{3}t$, $h_{2}tt{\sin }^{3}t+t$ вполне линейно независимы на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Любой нетривиальный многочлен $\omega g\mathrm{,}t{g}_1{\sin }^{3}t+g_{2}t{\sin }^{3}t+$ по этим функциям имеет точку $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в качестве корня-узла. Следовательно, данная система в силу теоремы 0 положительно наблюдаема на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Покажем, что ни одно из условий теоремы 0 нельзя опустить. Как следует из леммы 0, наличие хотя бы одного корня-узла у каждого многочлена $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, является необходимым условием положительной наблюдаемости системы (10). Ниже приведём пример системы (10), для которой функции $h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ..., $h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не вполне линейно независимы на $T$, у каждого нетривиального многочлена $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует по крайней мере один корень-узел на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и система (10) не является положительно наблюдаемой.

Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$ и ${\dot{x}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, ${\dot{x}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,2<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ где непрерывные функции $c_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеют вид

$c_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}t-\mathrm{1,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,2<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}$

$c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,2<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

 Несложно заметить, что в приведённом примере $h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и система функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ линейно независима, но не вполне линейно независима на $T\mathrm{.}$ Функции $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $g\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_1\mathrm{,}{g}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно представить в виде

$\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_1+g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_{1}t+g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

$\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_1-g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,2<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Легко проверяется, что каждый нетривиальный многочлен $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет корень-узел. Для начального момента времени $t_0\mathrm{<mo>=</mo>}-1$ начальные состояния $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{01}^1\mathrm{,}{x}_{02}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1,}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{01}^2\mathrm{,}{x}_{02}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{2,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порождают выходные функции

$y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^2-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,2<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}$

$y_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{t}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,2<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Понятно, что $y_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}_2^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T$, т.е. начальные состояния $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{01}^1\mathrm{,}{x}_{02}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{01}^2\mathrm{,}{x}_{02}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порождают одну и ту же выходную функцию. Поэтому данная система положительно ненаблюдаема.

Простые примеры показывают, что только одно условие вполне линейной независимости системы функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ на отрезке $T$ не гарантирует положительную наблюдаемость системы (10). Следовательно, положительная наблюдаемость и дифференциальная наблюдаемость [5$–$7] $—$ существенно различные свойства систем наблюдения и одно из другого не следуют.

Лемма 2.  Для того чтобы у каждого нетривиального многочлена $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по системе функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ существовал хотя бы один корень-узел на промежутке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два неравенства:

$\underset{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}g\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1,}g\in {ℝ}^n}{{\displaystyle \min }}\underset{t\in T}{{\displaystyle \max }}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}\text{и}\underset{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}g\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1,}g\in {ℝ}^n}{{\displaystyle \max }}\underset{t\in T}{{\displaystyle \min }}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>0.}$

Доказательство леммы 2 следует из свойств непрерывных функций.

Теорема 2. Если функции $h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ..., $h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ образуют систему функций Чебышёва порядка $n-1$ на отрезке $T$, то система (10) не является положительно наблюдаемой.

Доказательство теоремы 0 следует из того факта, что в линейной оболочке всякой системы функций Чебышёва существуют [8, 9] как строго положительные, так и строго отрицательные многочлены на $T$.

Исходя из теоремы 2, несложно привести примеры систем наблюдения, которые не являются положительно наблюдаемыми. Например, система (10) вида ${\dot{x}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n-1}$, ${\dot{x}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ наблюдаема на любом отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $t_0\ge 0$, но она не является положительно наблюдаемой по выходу $y^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{+}$ на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, так как соответствующие этой системе наблюдения функции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>1,}t\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{t}^{n-1}\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo><mo>\}</mo>}$ образуют систему функций Чебышёва порядка $n-1$ на $T$.

Пусть $\mathcal{G}$ $—$ множество всех невырожденных при каждом $t\in T$ квадратных $n\times n$ -матриц $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с непрерывно дифференцируемыми элементами. Действие группы $\mathcal{G}$ на паре $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определим стандартным образом: $G\mathrm{<mo>*</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-G^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dot{G}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G\in \mathcal{G}\mathrm{.}$

 Непосредственно из леммы 2.3 монографии [7] следует, что свойство положительной наблюдаемости инвариантно относительно действия группы $\mathcal{G}$ на множестве систем наблюдения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с непрерывными элементами.

Рассмотрим задачу положительной наблюдаемости для равномерно наблюдаемых [7] систем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Всякая равномерно наблюдаемая пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является [7] дифференциально наблюдаемой, и поэтому система функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{h}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ вполне линейно независима на $T$. Далее нам понадобится отображение, определённое по правилу

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{s}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{S}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{s}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{s}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\dot{s}}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in T\mathrm{,}$

которое, как показано в [7], является полным инвариантом относительно действия группы $\mathcal{G}$ на множестве равномерно наблюдаемых систем. Обозначим через ${\beta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}$, компоненты $n$ -вектор-функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теорема 3. Пусть пара $\left(A\mathrm{,}c\right)$ равномерно наблюдаема на отрезке $T$. Система (1) положительно наблюдаема на $T$ тогда и только тогда, когда каждое нетривиальное решение скалярного дифференциального уравнения ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\cdots +{\beta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет хотя бы один корень-узел на интервале $\left(t_0\mathrm{,}{t}_1\right)$ 

Доказательство теоремы 3 основано на возможности преобразования равномерно наблюдаемой пары $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с помощью преобразования $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in T$, к системе вида (10) с матрицей в форме Фробениуса [7] и вектором $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{S}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,}\dots \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 4. Пусть пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равномерно наблюдаема на отрезке $T$ и её полный инвариант $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\beta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$, $t\in T$. Система (10) положительно наблюдаема тогда и только тогда, когда уравнение ${\lambda }^n-\lambda {\beta }_1-\cdots -{\lambda }^{n-1}{\beta }_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ не имеет действительных корней.

Доказательство теоремы 4 следует из соотношения $s_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{S}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\beta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Оказывается, что задача положительной наблюдаемости тесно связана с проблемой неосцилляции [1].

Теорема 5. Если пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равномерно наблюдаема на отрезке $T$ и дифференциальное уравнение ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\cdots +{\beta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ неосцилляционно, то система (1) не является положительно наблюдаемой системой.

Доказательство теоремы 5 следует из теорем 0, 0 и свойств неосцилляции [10].

Литература. 1. Красовский, Н.H. Теория управления движением / Н.H. Красовский. $—$ М. : Наука, 1968. $—$ 476 с. 2. Brammer, R.F. Geometrically constrained observability / R.F. Brammer // SIAM J. Control. $—$ 1974. $—$ V. 12, $№$ 3. $—$ P. 449$–$459. 3. Sontag, E.D. Mathematical Control Theory / E.D. Sontag. $—$ Berlin : Springer-Verlag, 1990. 4. Астровский, А.И. Положительная наблюдаемость линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. $—$ 1999. $—$ $№$ 2. $—$ С. 33$–$39. 5. Weiss, L. The concepts of differential controllability and differential observability / L. Weiss // J. Math. Anal. and Appl. $—$ 1965. $—$ $№$ 10. $—$ P. 442$–$449. 6. Silverman, L.M. Controllability and observability in time-variable linear systems / L.M. Silverman , H.E. Meadows // SIAM J. Control. $—$ 1967. $—$ V. 5, $№$ 1. $—$ P. 64$–$73. 7. Астровский, А.И. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений / А.И. Астровский, И.В. Гайшун. $—$ Минск : Беларус. навука, 2013. $—$ 214 с. 8. Карлин, С. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике / С. Карлин, В. Стадден; пер. с англ. под ред. С.М. Ермолова. $—$ М. : Наука, 1976. $—$ 568 с. 9. Крейн, М.Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М.Г. Крейн, А.А. Нудельман. $—$ М. : Наука, 1973. $—$ 551 с. 10. Левин, А.Ю. Неосцилляция решений уравнения $x^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+$ $p_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\dots +p_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ / А.Ю. Левин // Успехи мат. наук. $—$ 1969. $—$ Т. 24. Вып. 2 (146). $—$ С. 43$–$96.

¹ Семинар основан академиками РАН С.В. Емельяновым и С.К. Коровиным.