On the asymptotic behavior of solutions of third-order binomial differential equations

Full Text

Введение

В работе [1] получены асимптотические формулы для фундаментальной системы решений (ФСР) двучленного уравнения чётного порядка

${(-1)}^n{\left(p\right(x\left)y^{\left(n\right)}\right)}^{\left(n\right)}+q\left(x\right)y=\lambda y,x\in [\mathrm{1,}\infty ),$                               

где p — локально суммируемая функция, допускающая представление $p\left(x\right)={(1+r(x\left)\right)}^{-1}$, $r\in L_1[\mathrm{1,}\infty )$; q — обобщённая функция, представимая при некотором фиксированном k, $0\le k\le n$, в виде $q={\sigma }^{\left(k\right)}$ ($\sigma \in L_1[\mathrm{1,}\infty )$, если $k<n$, $\left|\sigma \right|(1+|r\left|\right)(1+|\sigma \left|\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty )$, если $k=n$).

В отличие от уравнений чётного порядка, уравнения нечётного порядка для классов нерегулярных в смысле Титчмарша–Левитана коэффициентов менее исследованы. Отметим, что в статьях [2–4] рассмотрена асимптотика решений уравнений нечётного порядка для некоторых классов коэффициентов $p\left(x\right)$ и $q\left(x\right)$.

В данной работе исследуется асимптотическое поведение при $x\to +\infty$ ФСР для двучленных уравнений нечётного порядка вида

$ly=\frac{i}{2}[{\left(p\right(x\left)y^{\left(n\right)}\right)}^{(n+1)}+{\left(p\right(x\left)y^{(n+1)}\right)}^{\left(n\right)}]+q\left(x\right)y=\lambda y,x\ge 1.$ (1)

Ниже будем следовать подходу, предложенному в работах [3–6]. Он может быть реализован и для двучленного уравнения произвольного нечётного порядка с коэффициентом при старшей производной, отличным от постоянной.

Основная цель настоящей работы — исследовать асимптотику ФСР для случаев различного поведения коэффициентов $q\left(x\right)$, $h\left(x\right)=-1+1/\sqrt{p\left(x\right)}$ на примере уравнения третьего порядка

$ly=\frac{i}{2}\left[\right(p{\left(x\right)y^{\text{'}}{)}^{\text{'}}}^{\text{'}}+\left(p\right(x\left){y^{\text{'}}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}\right]+q\left(x\right)y=\lambda y.$ (2)

1. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью квазипроизводных

Запишем уравнение (2) в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. Для этого воспользуемся аппаратом квазипроизводных (см. подробнее в [2, 7]). Определим функцию $q_1\left(x\right)$ так, что ${q^{\text{'}}}_1\left(x\right)=q\left(x\right)$, и введём в рассмотрение квазипроизводные по следующим формулам:

$z_1=y,z_2=\sqrt{p}{y}^{\text{'}}=\sqrt{p}{z^{\text{'}}}_1,z_3=\sqrt{p}(\sqrt{p}{y}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}-i{q}_1(x)y=\sqrt{p}{z^{\text{'}}}_2-i{q}_1(x)z_1,$        

откуда найдём

$z_{3^{\text{'}}}=-\frac{i{q}_1\left(x\right)}{\sqrt{p\left(x\right)}}{z}_2+\lambda z_1.$                                                 

Тогда уравнение (2) равносильно системе

$z\text{'}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1/\sqrt{p}& 0\\ i{q}_1/\sqrt{p}& 0& 1/\sqrt{p}\\ -i\lambda & -i{q}_1/\sqrt{p}& 0\end{array}\right)z,z=\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right)\text{},$                             

которую, учитывая, что $1/\sqrt{p\left(x\right)}=1+h\left(x\right)$, перепишем в виде

$z\text{'}=\left[L_0+h\left(x\right)L_1+i{q}_1\left(x\right)(1+h(x\left)\right)L_2\right]z,$                                    

$L_0=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -i\lambda & 0& 0\end{array}\right),L_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),L_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right).$ (3)

2. Случай 1

Предположим, что выполнены следующие условия:

$h\left(x\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty ),q_1\left(x\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty ).$                                        

Данные условия выполняются, например, для функций

$h\left(x\right)=\frac{a}{x^{\gamma }},\gamma >1;q\left(x\right)=x^{\alpha }\sin x^{\beta },\alpha >\mathrm{0,}\beta >\alpha +2.$                    

Пусть постоянная матрица T приводит матрицу $L_0$ к диагональному виду. Сделаем замену

$z=Tu,T^{-1}{L}_{0}T=\Lambda ,{\mu }_i^3=-i\lambda ,i=\mathrm{1,2,3,}$                               

$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_1& 0& 0\\ 0& {\mu }_2& 0\\ 0& 0& {\mu }_3\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ {\mu }_1& {\mu }_2& {\mu }_3\\ {\mu }_1^2& {\mu }_2^2& {\mu }_3^2\end{array}\right).$                                 

Тогда систему (3) запишем как

$u\text{'}=\left[\Lambda +h\left(x\right)T^{-1}{L}_{1}T+i{q}_1\left(x\right)(1+h(x\left)\right)T^{-1}{L}_{2}T\right]u.$ (4)

Очевидно, что в силу наложенных условий система (4) удовлетворяет условиям леммы 1 из [8, с. 284] и является L-диагональной, а значит, мы можем выписать асимптотические формулы при $x\to +\infty$ для ФСР этой системы:

$z_i(x,\lambda )=T{u}_i(x,\lambda )=e^{{\mu }_{i}x}T(e_i+o(1\left)\right),i=\mathrm{1,2,3,}$                            

где $e_i$ — единичные векторы.

Отметим, что аналогичные результаты для уравнений нечётного порядка были получены в работе [2].

3. Cлучай 2

Положим ${\tilde{q}}_1\left(x\right)=q_1\left(x\right)(1+h(x\left)\right)$. Пусть функция ${\tilde{q}}_2\left(x\right)$ такая, что ${{\tilde{q}}^{\text{'}}}_2\left(x\right)={\tilde{q}}_1\left(x\right)$. Предположим, что выполняются условия

$h\left(x\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty ),{\tilde{q}}_2\in L_1[\mathrm{1,}\infty ),$                                           

например, для функций

$h\left(x\right)=\frac{1}{x^{\gamma }},\gamma >1;q\left(x\right)=x^{\alpha }\sin x^{\beta },\alpha >\mathrm{0,}\beta >\frac{\alpha +3}{2}.$                    

Следуя подходу, изложенному в работах [3–6], замена

$z=e^{{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}u$ (5)

переводит (3) в систему

$u\text{'}=e^{-{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}(L_0+h(x\left)\right)L_1{e}^{-{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}u.$ (6)

Применим тождество Кэмпбелла–Хаусдорфа для преобразования правой части (6):

$e^{-{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}{L}_0{e}^{{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}=L_0-{\tilde{q}}_2\left(x\right)[L_2,L_0]+\frac{{\tilde{q}}_2{\left(x\right)}^2}{2!}[L_2,[L_2,L_0\left]\right]-\frac{{\tilde{q}}_2{\left(x\right)}_1^3}{3!}[L_2,[L_2,[L_2,L_0]\left]\right]+\dots ,$

здесь $[A,B]=AB-BA$ — матричный коммутатор. Вычисляя последовательно коммутаторы в правой части последнего соотношения, получаем, что все слагаемые, начиная с пятого, равны нулю, а ненулевые слагаемые могут быть найдены:

$[L_2,L_0]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),[L_2,[L_2,L_0\left]\right]=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 0\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right),[L_2,[L_2,[L_2,L_0]\left]\right]=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Аналогичные вычисления можно провести для правой части соотношения

$e^{-{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}{L}_1{e}^{-{\tilde{q}}_2\left(x\right)L_2}=L_1-{\tilde{q}}_2\left(x\right)[L_2,L_1]+\frac{{\tilde{q}}_2^2\left(x\right)}{2!}[L_2,[L_2,L_1\left]\right]-\frac{{\tilde{q}}_2^3\left(x\right)}{3!}\left[\right[L_2,[L_2,[L_2,L_1\left]\right]]+\dots$

Учитывая, что $[L_2,L_0]=[L_2,L_1]$, запишем систему (6) в виде

$u\text{'}=[L_0+h{L}_1-{\tilde{q}}_2(1+h\left)\right[L_2,L_1]+\frac{{\tilde{q}}_2^2(1+h)}{2!}[L_2[L_2,L_1]]-\frac{{\tilde{q}}_2^3(1+h)}{3!}[L_2,[L_2,[L_2,L_1\left]\right]\left]\right]u.$

В силу условий на функции $h\left(x\right)$ и $q\left(x\right)$ запишем последнюю систему как

$u\text{'}=(L_0+D(x\left)\right)u,$                                                     

где $D\left(x\right)$ — матрица, элементы которой принадлежат пространству $L_1[\mathrm{1,}\infty )$. Как и в случае 1, сделаем замену $u=Tv,$ тогда

$v\text{'}=(\Lambda +T^{-1}D(x\left)T\right)v.$ (7)

Cистема (7) удовлетворяет условиями леммы 1 в [7, с. 288] и является L-диагональной, а значит, с учётом (5) мы можем выписать асимптотические формулы при $x\to +\infty$ для её ФСР:

$z_i(x,\lambda )=e^{{\mu }_{i}x}T(e_i+o(1\left)\right),i=\mathrm{1,2,3.}$                                     

4. Cлучай 3

Рассмотрим далее ситуацию, когда функция $h\left(x\right)$ не суммируема. Отметим, что она может принадлежать одному из классов осциллирующих функций (подробнее см. в [6]).

Обозначим через $h_1\left(x\right)$ функцию, такую что $h_{1^{\text{'}}}=h\left(x\right)$, и предположим

$h_1\left(x\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty ),{\tilde{q}}_1\left(x\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty ).$                                        

Данные условия выполняются, например, для функций

$h\left(x\right)=\sin x^{\gamma },\gamma >2;q\left(x\right)=x^{\alpha }\sin x^{\beta },\alpha >\mathrm{0,}\gamma \ne \beta >\alpha +2.$               

Замена

$z=e^{h_1{L}_1}u$                                                           

приводит (5) к виду

$u\text{'}=e^{-h_1{L}_1}(L_0+i{\tilde{q}}_1(x\left)\right)L_2{e}^{-h_1{L}_1}u.$ (8)

Как и случае 2, применим тождество Кэмпбелла–Хаусдорфа для преобразования правой части системы (8):

$e^{-h_1{L}_1}{L}_0{e}^{-h_1{L}_1}=L_0-h_1[L_1,L_0]+\frac{h_1^2}{2!}[L_1,[L_1,L_0\left]\right]-\frac{h_1^3}{3!}[L_1,[L_1,[L_1,L_0]\left]\right]+\dots$           

Вычисляя последовательно коммутаторы в правой части последнего соотношения, получаем, что все слагаемые, начиная с шестого, равны нулю, а оставшиеся могут быть вычислены:

$e^{-h_1{L}_1}{L}_0{e}^{-h_1{L}_1}=L_0-\lambda h_1{L}_2+\frac{\lambda h_1^2}{2!}[L_1,L_2]-\frac{\lambda h_1^3}{3!}[L_1,[L_1,L_2\left]\right]+\frac{\lambda h_1^4}{4!}[L_1,[L_1,[L_1,L_2]\left]\right],$   

$L_1,L_2]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),[L_1,[L_1,L_2]]=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 0\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right),[L_1,[L_1,[L_1,L_2\left]\right]]=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

$e^{-h_1{L}_1}{L}_2{e}^{-h_1{L}_1}=L_2-h_1[L_1,L_2]+\frac{h_1^2}{2!}[L_1,[L_1,L_2\left]\right]-\frac{h_1^3}{3!}[L_1,[L_1,[L_1,L_2]\left]\right]+\dots =$

$=L_2-h_1\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+\frac{h_1^2}{2!}\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 0\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)-\frac{h_1^3}{3!}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

С учётом последних выкладок получим представление для системы (8):

$u\text{'}=(L_0+({\tilde{q}}_1-\lambda h_1)L_2-h_1({\tilde{q}}_1-\frac{\lambda h_1}{2}\left)\right[L_2,L_1]+\frac{h_1^2}{2!}({\tilde{q}}_1-\frac{\lambda h_1}{3}\left)\right[L_1,[L_1,L_2]]-$          

$-\frac{h_1^3}{3!}({\tilde{q}}_1-\frac{\lambda h_1}{3})[L_1,[L_1,[L_1,L_2]\left]\right])u.$                                        

В силу условий на функции $h\left(x\right)$, $q\left(x\right)$ эта система может быть записана в виде

$u\text{'}=(L_0+C(x\left)\right)u,$                                                     

где $C\left(x\right)$ — матрица, элементы которой принадлежат $L_1[\mathrm{1,}\infty )$. Аналогично случаям 1 и 2 сделаем замену $u=Tv$ и получим

$v\text{'}=(\Lambda +T^{-1}C(x\left)T\right)v.$ (9)

Cистема (9) удовлетворяет условиями леммы 1 в [7, с. 288] и является L-диагональной, а значит, мы можем выписать асимптотические формулы при $x\to +\infty$ для её ФСР:

$z_i(x,\lambda )=e^{{\mu }_{i}x}T(e_i+o(1\left)\right),i=\mathrm{1,2,3.}$                                    

Заключение

Из полученных результатов вытекает справедливость теоремы об асимптотическом поведении при $x\to +\infty$ фуднаментальной системы решений уравнения (3). Сформулируем её в терминах собственных значений и векторов матрицы $L_0$ и функций $h\left(x\right)$, $q_1\left(x\right)$.

Пусть выполнено одно из следующих условий:

1) $h\left(x\right),q_1\left(x\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty );$

2) $h\left(x\right),{\int }_x^{\infty }{q}_1\left(\xi \right)(1+h(\xi \left)\right)d\xi \in L_1[\mathrm{1,}\infty );$

3) ${\int }_x^{\infty }h\left(\xi \right)d\xi ,q_1\left(x\right)(1+h(x\left)\right)\in L_1[\mathrm{1,}\infty ).$

Тогда для решений системы уравнений (3) при $x\to +\infty$ справедливо представление

$z_i(x,\lambda )=e^{{\mu }_{i}x}T(e_i+o(1\left)\right),i=\mathrm{1,2,3.}$                                     

Элементами вектор-функции $z_i(x,\lambda )$, $i=\mathrm{1,2,3}$, являются решения уравнения (2) и их квазипроизводные. В частности, для ФСР уравнения (2) при $x\to +\infty$ справедливы следующие формулы:

$y_i(x,\lambda )=e^{{\mu }_{i}x}(1+o(1\left)\right),i=\mathrm{1,2,3.}$                                       

Методы изучения решений сингулярных ОДУ с коэффициентами из классов осциллирующих функций, изложенные и реализованные в данной работе и в работах [3–5], могут быть применены к иследованию уравнений произвольного порядка, в том числе к уравнению (1).

Исследование Я.Т. Султанаева и Э.А. Назировой выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-00580).

About the authors

Ya. T. Sultanaev

Akmulla Bashkir State Pedagogical University

Author for correspondence.
Email: sultanaevyt@gmail.com

Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Russian Federation, Ufa

N. F. Valeev

Institute of Mathematics with Computing Centre-Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the RAS

Email: valeevnf@yandex.ru
Russian Federation, Ufa

E. A. Nazirova

Ufa University of Science and Technology

Email: ellkid@gmail.com
Russian Federation, Ufa

References

Supplementary files