On the solvability on the spectrum of Fredholm boundary integral equations of the first kind for the three-dimensional transmission problem

Full Text

Введение

Рассматриваются два различных граничных интегральных уравнения Фредгольма первого рода со слабыми особенностями в ядрах. Каждое уравнение условно эквивалентно задаче дифракции гармонических по времени акустических волн на локальном трёхмерном включении (задаче трансмиссии для уравнения Гельмгольца) [1, 2]. Они получаются с применением к исходной задаче дифракции в неограниченной области непрямого метода сведения к граничным интегральным уравнениям [3, 4]. В соответствии с этим методом в качестве неизвестных функций выбираются плотности вспомогательных источников волнового поля, распределённые по компактной границе включения. В прямом методе искомыми функциями являются граничные значения волнового поля и его нормальные производные [3, 5].

Оба упомянутых метода позволяют сводить исходную задачу дифракции к полностью эквивалентным ей системам двух интегральных уравнений с двумя неизвестными функциями на границе включения [6]. Одна из таких систем использовалась, например, для численного решения задачи дифракции в работе [7].

Важным достоинством непрямого метода получения интегральных уравнений является возможность сформулировать задачи дифракции в виде граничных интегральных уравнений с одной неизвестной плотностью. Такие уравнения имеют определённые преимущества при численном исследовании задач дифракции перед другими интегральными формулировками, поскольку требуют меньше вычислительных ресурсов для численного решения [8].

Однако рассматриваемые интегральные уравнения некорректны на счётном множестве собственных значений, связанных с собственными частотами (значениями) внутренней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца [3, 4]. В этих случаях, в силу теории Фредгольма, интегральные уравнения либо не имеют решений, либо имеют бесконечно много решений [9, с. 220]. Для областей сложной формы собственные значения заранее неизвестны, а их поиск является весьма трудоёмкой задачей [10, 11]. Поэтому для получения достоверных результатов необходимо исследовать свойства упомянутых интегральных уравнений на спектрах и учитывать эти свойства при их численном решении.

Отметим, что методы исследования и численного решения граничных интегральных уравнений на спектрах активно развиваются с 1960-х годов. Однако большая их часть позволяет решить относительно простые краевые задачи, характерные для рассеяния на непроницаемых препятствиях [12–16]. На рассматриваемые нами интегральные уравнения эти методы непосредственно не переносятся.

Первое из упомянутых выше уравнений разрешимо на спектре только тогда, когда его правая часть ортогональна нетривиальным решениям сопряжённого однородного уравнения. Если это условие выполнено, то интегральное уравнение имеет бесконечно много решений, и любое из них, подставленное в интегральные представления решения задачи дифракции, даёт решение этой задачи. Задача дифракции на основе такого уравнения численно решена в работе [17]. Поскольку для рассматриваемой задачи интегральное уравнение на спектре не имеет решения, численно решалась задача дифракции с “близкими” волновыми числами, где интегральное уравнение корректно разрешимо. Затем приближённое решение на соответствующей собственной частоте находилось с помощью интерполяции.

Решение второго интегрального уравнения на собственных частотах всегда существует, но не является единственным. При этом только одно решение этого уравнения позволяет получить решение задачи дифракции. Оно может быть приближённо найдено, например, интерполяцией решений корректно разрешимых интегральных уравнений с “близкими” к собственным значениям волновыми числами [17]. Ранее такой подход применялся для численного решения трёхмерных краевых задач для уравнения Гельмгольца [18, 19].

Следует заметить, что рассмотренные нами уравнения могут быть получены из уравнений (5.6) и (6.8) работы [3] при значениях параметров $a=1$, $b=0$. Такой выбор параметров приводит к интегральным уравнениям c более простыми и удобными для аппроксимации и численного решения интегральными операторами. Они равносильны исходным задачам дифракции и корректно разрешимы почти для всех имеющих физический смысл значений волновых чисел на комплексной плоскости. Исключение составляет упомянутое выше счётное множество вещественных чисел, связанных с собственными значениями внутренних краевых задач для уравнения Гельмгольца. В таких случаях можно воспользоваться методикой работ [17–19]. Другие подходы к численному решению интегральных уравнений задачи дифракции на собственных значениях предложены в статьях [20–22].

1. Исходная задача дифракции и условно эквивалентные ей интегральные формулировки

Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство ${ℝ}^3$ с ортогональной системой координат $O{x}_1{x}_2{x}_3$, заполненное однородной изотропной средой с плотностью ${\rho }_e$, скоростью распространения акустических колебаний $c_e$ и коэффициентом поглощения ${\gamma }_e$, в котором имеется ограниченное произвольной замкнутой поверхностью $\Gamma$ однородное изотропное включение с плотностью ${\rho }_i$, скоростью звука $c_i$ и коэффициентом поглощения ${\gamma }_i$. Области ${ℝ}^3$, занятые включением и вмещающей средой, обозначим через ${\Omega }_i$ и ${\Omega }_e$ (${\Omega }_e={ℝ}^3\backslash {\overline{\Omega }}_i$). Всюду в дальнейшем будем предполагать, что граница $\Gamma \in C^2$ и граничные функции достаточно гладкие.

Пусть в области ${\Omega }_e$ имеются гармонические источники звука, возбуждающие во вмещающей среде исходное волновое поле давлений с комплексной амплитудой $u_0$. Звуковые волны распространяются в пространстве и, достигая включения, рассеиваются на нём. В результате в области ${\Omega }_e$ возникают отражённые волны, а в области ${\Omega }_i$ появляются проходящие волны. Поэтому комплексную амплитуду полного поля давлений $u$ можно представить в виде

$u=\left\{\begin{array}{cc}{u}_i\mathrm{,}& x\in {\Omega }_i\mathrm{,}\\ u_e+u_0\mathrm{,}& x\in {\Omega }_e\mathrm{,}\end{array}\right.$

где $u_i$, $u_e$ — комплексные амплитуды проходящего и отражённого волновых полей.

Задача дифракции. Найти две комплекснозначные функции $u_{i\left(e\right)}\in C^2\left({\Omega }_{i\left(e\right)}\right)\cap C^1\left({\overline{\Omega }}_{i\left(e\right)}\right)$, удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца

$\Delta u_{i\left(e\right)}+k_{i\left(e\right)}^2{u}_{i\left(e\right)}=0, x\in {\Omega }_{i\left(e\right)}\mathrm{,}$ (1)

 условиям сопряжения

$u_i^{-}-u_e^{+}=f_0\mathrm{,} p_i{\left(N_x{u}_i\right)}^{-}-p_e{(N_x{u}_e)}^{+}=p_e{f}_1\mathrm{,} x\in \Gamma \mathrm{,}$ (2)

 а также условию излучения Зоммерфельда равномерно по всем направлениям $x/\left|x\right|$

$\frac{\partial u_e}{\partial \left|x\right|}-i{k}_e{u}_e=o\left(\right|x{|}^{-1}), |x|\to \infty \mathrm{.}$ (3)

 Здесь $f_0\in C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, $f_1\in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, $0<\alpha <1$, — известные функции, $f_0=u_0^{+}$, $f_1={\left(N_x{u}_0\right)}^{+}$, “-” и “+” обозначают предельные значения соответствующих выражений, когда $x\to \Gamma$ из ${\Omega }_i$ и из ${\Omega }_e$, $N_x\equiv \partial /\partial n_x$, $n_x$ — нормаль к границе $\Gamma$ в точке $x$, направленная в область ${\Omega }_e$,

$p_{i\left(e\right)}={\rho }_{i\left(e\right)}\omega {(\omega +i{\gamma }_{i\left(e\right)}))}^{-1}\mathrm{,} k_{i\left(e\right)}^2=\omega (\omega +i{\gamma }_{i\left(e\right)})c_{i\left(e\right)}^2\mathrm{,} Im\left(k_{i\left(e\right)}\right)\ge \mathrm{0,}$

$\omega$ — круговая частота колебаний, $k_{i\left(e\right)}$ — волновые числа, $c_{i\left(e\right)}$, ${\rho }_{i\left(e\right)}$, ${\gamma }_{i\left(e\right)}\ge 0$.

Справедлива следующая

Теорема 1. [2, с. 114] Задача дифракции имеет единственное решение.

Введём обозначения

$\left(A_{i\left(e\right)}\varphi \right)x\equiv \underset{\Gamma }{\int }{G}_{i\left(e\right)}\left(x\mathrm{,}y\right)\varphi \left(y\right)d{\Gamma }_y\mathrm{,} G_{i\left(e\right)}\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{\exp \left\{i{k}_{i\left(e\right)}\right|x-y\left|\right\}}{4\pi |x-y|}\mathrm{,}$

$\left(B_{i\left(e\right)}\varphi \right)\left(x\right)\equiv \underset{\Gamma }{\int }{N}_y{G}_{i\left(e\right)}\left(x\mathrm{,}y\right)\varphi \left(y\right)d{\Gamma }_y\mathrm{,} \left(B{*}_{i\left(e\right)}^{}\varphi \right)\left(x\right)\equiv \underset{\Gamma }{\int }{N}_x{G}_{i\left(e\right)}\left(x\mathrm{,}y\right)\varphi \left(y\right)d{\Gamma }_y$

 и рассмотрим потенциалы

$u_e\left(x\right)=\left(A_e\varphi \right)\left(x\right), x\in {\Omega }_e\mathrm{,}$ (4)

$u_i\left(x\right)=p_{ei}\left(A_i\right({\left(N{u}_e\right)}^{+}+f_1\left)\right)\left(x\right)-\left(B_i\right(u_e^{+}+f_0\left)\right)\left(x\right), x\in {\Omega }_i\mathrm{.}$

 Здесь $\varphi$ — неизвестная плотность, $p_{ei}=p_e/p_i$.

Ядрами потенциалов (4) являются фундаментальные решения уравнений Гельмгольца в областях ${\Omega }_i$ и ${\Omega }_e$ и их нормальные производные, поэтому они удовлетворяют уравнениям (1) и условию излучения на бесконечности (3). Кроме того, если $\omega$ не является собственной частотой внутренней задачи Дирихле, выполнение для потенциалов (4) первого из условий сопряжения (2) автоматически влечёт за собой выполнение второго условия сопряжения. Подставив их в первое условие сопряжения, получим эквивалентное задаче дифракции слабо сингулярное граничное интегральное уравнение Фредгольма первого рода

$\left(C\varphi \right)\left(x\right)=f_2\left(x\right), x\in \Gamma \mathrm{,}$ (5)

 где

$\left(C\varphi \right)\left(x\right)\equiv \left(\right(0.5(A_e+p_{ei}{A}_i)+B_i{A}_e-p_{ei}{A}_{i}B{*}_e^{}\left)\varphi \right)\left(x\right)$

$f_2\left(x\right)=-0.5f_0\left(x\right)+p_{ei}\left(A_i{f}_1\right)\left(x\right)-\left(B_i{f}_0\right)\left(x\right)$

Справедливо следующее утверждение [4, с. 63–65; 23].

Теорема 2. Пусть $f_0\in C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, $f_1\in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, $0<\alpha <1$, ${\gamma }_e>0$ или $\omega$ не является собственной частотой внутренней задачи Дирихле

$\Delta v+k_e^{2}v=0, x\in {\Omega }_i\mathrm{,} v^{-}=0, x\in \Gamma \mathrm{.}$ (6)

 Тогда интегральное уравнение (5) корректно разрешимо в классе плотностей $\varphi \in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, и формулы (4) дают решение задачи дифракции.

Мы можем получить для задачи дифракции ещё одно интегральное уравнение Фредгольма первого рода со слабой особенностью в ядре. Будем искать её решение в виде

$u_i\left(x\right)=\left(A_i\psi \right)\left(x\right), x\in {\Omega }_i\mathrm{,}$ (7)

$u_e\left(x\right)=\left(A_e\right(f_1-p_{ie}{\left(N{u}_i\right)}^{-}\left)\right)\left(x\right)-\left(B_e\right(f_0-u_i^{-}\left)\right)\left(x\right), x\in {\Omega }_e\mathrm{,}$ (8)

где $p_{ie}=p_i/p_e$. В этом случае задача сводится к интегральному уравнению

$\left(D\psi \right)\left(x\right)=f_0\left(x\right), x\in \Gamma \mathrm{,}$ (9)

$\left(D\psi \right)\left(x\right)\equiv \left(\left(0.5\left(A_i+p_{ie}{A}_e\right)+p_{ie}{A}_e{B}_i^{*}-B_e{A}_i\right)\psi \right)\left(x\right)$

 и имеет место

Теорема 3. [4, с. 65] Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда интегральное уравнение (9) корректно разрешимо в классе плотностей $\psi \in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, и формулы (7), (8) дают решение задачи дифракции.

2. Интегральные уравнения на спектрах

Пусть теперь $\omega$ — собственная частота задачи (6) кратности $m$, $m\ge 1$ (или, другими словами, $k_e^2$ — собственное значение задачи (6)). В этом случае из [3, теорема 5.2; 4, лемма 2.3.1] следует, что уравнение

$\left(A_e\varphi \right)\left(x\right)=0, x\in \Gamma \mathrm{,}$

 имеет линейно независимые нетривиальные решения ${\varphi }_s$. Они связаны с нетривиальными решениями $v_s$ задачи (6) равенствами

${\varphi }_s={\left(N{v}_s\right)}^{-}\mathrm{,} s=\overline{\mathrm{1,}m}\mathrm{,} x\in \Gamma \mathrm{.}$ (10)

 Кроме того, ${\varphi }_s$ являются решениями однородного уравнения (5), и любое нетривиальное решение этого уравнения можно представить в виде

${\varphi }_0=\sum _s^m{\alpha }_s{\varphi }_s\mathrm{,}$ (11)

 где ${\alpha }_s$ — произвольные комплексные числа.

Введём обозначение

$⟨\phi \mathrm{,}\psi ⟩\equiv {\int }_{\Gamma }\phi \psi d\Gamma \mathrm{.}$

Нам понадобится

Лемма. Для операторов $C:C\left(\Gamma \right)\to C\left(\Gamma \right)$ и $D:C\left(\Gamma \right)\to C\left(\Gamma \right)$ и произвольных $\phi \mathrm{,}\psi \in C\left(\Gamma \right)$ справедливо равенство

$⟨p_{i}C\phi \mathrm{,}\psi ⟩=⟨\phi \mathrm{,}{p}_{e}D\psi ⟩\mathrm{,}$

т.е. операторы $p_{i}C$ и $p_{e}D$ являются сопряжёнными.

Доказательство. В работе [2, § 2.7] показано, что интегральные операторы $A_{i\left(e\right)}:C\left(\Gamma \right)\to C\left(\Gamma \right)$ являются самосопряжёнными, а интегральные операторы $B_{i\left(e\right)}:C\left(\Gamma \right)\to C\left(\Gamma \right)$ и $B_{i\left(e\right)}^{*}:C\left(\Gamma \right)\to C\left(\Gamma \right)$ — сопряжёнными. Это означает, что для всех $\phi \mathrm{,}\psi \in C\left(\Gamma \right)$

$⟨A_{i\left(e\right)}\phi \mathrm{,}\psi ⟩=⟨\phi \mathrm{,}{A}_{i\left(e\right)}\psi ⟩\mathrm{,} ⟨B_{i\left(e\right)}\phi \mathrm{,}\psi ⟩=⟨\phi \mathrm{,}{B}_{i\left(e\right)}^{*}\psi ⟩\mathrm{.}$

Таким образом, для всех $\phi \mathrm{,}\psi \in C\left(\Gamma \right)$ имеют место равенства

$⟨B_i{A}_e\phi \mathrm{,}\psi ⟩=⟨\phi \mathrm{,}{A}_e{B}_i^{*}\psi ⟩\mathrm{,} ⟨A_i{B}_e^{*}\phi \mathrm{,}\psi ⟩=⟨\phi \mathrm{,}{B}_e{A}_i\psi ⟩\mathrm{,}$

и, следовательно, $⟨p_{i}C\phi \mathrm{,}\psi ⟩=⟨\phi \mathrm{,}{p}_{e}D\psi ⟩\mathrm{.}$ Лемма доказана.

В силу фредгольмовости операторов $C$ и $D$ [3, с. 319, 322; 4, теоремы 2.2.2, 2.2.3] из леммы непосредственно вытекает

Следствие. [9, с. 220] Количество линейно независимых нетривиальных решений однородных уравнений (5) и (9) совпадает и равно m.

Выберем базис ${\psi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\psi }_m\in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$ в пространстве нулей оператора $D:C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)\to C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$. Тогда существуют элементы $a_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_m\in C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$ и $b_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{b}_m\in C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$ такие, что [9, с. 221]

$⟨{\varphi }_j\mathrm{,}{a}_l⟩={\delta }_{jl}\mathrm{,} j\mathrm{,}l=\overline{\mathrm{1,}m}\mathrm{,}$

$⟨b_j\mathrm{,}{\psi }_l⟩={\delta }_{jl}\mathrm{,} j\mathrm{,}l=\overline{\mathrm{1,}m}\mathrm{,}$

где ${\delta }_{jl}$ — символ Кронекера.

Покажем, что уравнение (9) разрешимо на всех собственных частотах задачи (6), хотя и неединственным образом.

Теорема 4. Пусть $f_0\in C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, $f_1\in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$, $0<\alpha <1$, и $\omega$ — собственная частота задачи (6) кратности $m$, $m\ge 1$. Тогда интегральное уравнение (9) разрешимо и его общее решение может быть представлено в виде

$\psi =\tilde{\psi }+{\psi }_0\mathrm{,} {\psi }_0=\sum _s^m{\alpha }_s{\psi }_s\mathrm{,}$ (12)

где $\tilde{\psi }$ — произвольное частное решение этого уравнения, ${\alpha }_s$ — произвольные комплексные числа, ${\psi }_s$ — линейно независимые решения однородного уравнения (9).

Доказательство. По условию задачи источник волн находится в области ${\Omega }_e$, поэтому $u_0$ удовлетворяет уравнению (6) в области ${\Omega }_i$ и $u_0^{+}=u_0^{-}=f_0$ на $\Gamma$.

Учитывая, что $v_s$ — решения задачи (6), используя соотношения (10), (11) и вторую формулу Грина [2, с. 79], имеем

$⟨f_0\mathrm{,}{\varphi }_0⟩=\sum _s^m{\alpha }_s⟨u_0^{-}, {\left(N{v}_s\right)}^{-}⟩=\sum _s^m{\alpha }_s\underset{{\Omega }_i}{(\int }(u_0\Delta v_s-v_s\Delta u_0)dx+⟨{(N{u}_0)}^{-}\mathrm{,}{v}_s^{-}⟩)$=

$=-\sum _s^m{\alpha }_s\underset{{\Omega }_i}{\int (}\Delta u_0+k_e^2{u}_0)v_{s}dx=0$

Таким образом, решение уравнения (9) существует в силу второй теоремы Фредгольма [2, теорема 1.29; 9, с. 220].

По условию теоремы $\omega$ — собственная частота задачи (6) кратности $m$. В этом случае однородные уравнения (5) и (9) имеют $m$ линейно независимых нетривиальных решений (см. следствие). Поэтому общее решение уравнения (9) можно представить в виде (12) [2, следствия 1.19, 1.20]. Теорема доказана.

Изучим теперь вопрос о возможности решения задачи дифракции на собственных частотах с использованием уравнения (9).

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда существует единственное решение интегрального уравнения (9), при котором представления (7), (8) дают решение задачи дифракции.

Доказательство. Из теоремы следует, что уравнение (9) разрешимо и его решение имеет вид (12). Пусть $\psi$ — произвольное решение этого уравнения. Тогда для потенциалов (7), (8) справедливо равенство

$u_i^{-}-u_e^{+}=D\psi \mathrm{,} x\in \Gamma \mathrm{.}$ (13)

Следовательно, любое решение уравнения (9) обеспечивает выполнение первого условия сопряжения (2).

Проверим выполнение второго условия сопряжения. Для этого продолжим $u_e$ формулой (8) в область ${\Omega }_i$:

$u_e=u_0-\left(0.5p_{ie}{A}_e+p_{ie}{A}_e{B}_i^{*}-B_e{A}_i\right)\psi \mathrm{,} x\in {\Omega }_i\mathrm{.}$ (14)

 Функция (14) удовлетворяет уравнению (6) с граничным условием

$u_e^{-}=f_0-D\psi \mathrm{,} x\in \Gamma \mathrm{.}$ (15)

 Используя свойства поверхностных потенциалов и их нормальных производных при переходе через границу $\Gamma$ [2, следствие 2.20, теорема 2.23], имеем

$p_i{(N{u}_i)}^{-}-p_e{(N{u}_e)}^{+}=p_i{\left(N{u}_i\right)}^{-}-p_e\left[N{u}_e\right]-p_e{\left(N{u}_e\right)}^{-}=$

$=p_i({N{u}_i)}^{-}+p_e{f}_1-p_i{\left(N{u}_i\right)}^{-}-p_e{\left(N{u}_e\right)}^{-}=p_e{f}_1-p_e{\left(N{u}_e\right)}^{-}\mathrm{,}$ (16)

 где $\left[u\right]\equiv u^{+}-u^{-}$.

Отсюда получаем, что для проверки выполнения второго условия сопряжения достаточно, чтобы продолжение $u_e$ формулой (14) было равно нулю всюду в ${\Omega }_i$. Для проверки этого условия рассмотрим свойства решения в форме (12) более детально.

Из (12) и (15) следует, что $u_e$ из (14) с плотностью $\psi ={\psi }_0\ne 0$ удовлетворяет уравнению (6) с граничным условием $u_e^{-}=f_0$, $x\in \Gamma$. Учитывая это, покажем, что потенциалы с плотностями ${\psi }_s$ в (14) линейно независимы. Предположим, что это не так. Тогда существуют ненулевые коэффициенты ${\alpha }_s$, при которых $u_e=u_0$ в ${\Omega }_i$. Следовательно, ${\left(N{u}_e\right)}^{-}={\left(N{u}_0\right)}^{-}=f_1$. Отсюда и из (16) получаем, что выполняется однородное второе условие сопряжения (2). Первое однородное условие сопряжения (2) в этом случае также выполняется, что следует из определения ${\psi }_0$ и равенства (13). Таким образом, мы получили решение задачи дифракции при $f_0=f_1=0$. Эта задача имеет только тривиальное решение [2, теорема 3.40], поэтому $u_i=0$ в ${\Omega }_i$.

Подставим теперь ${\psi }_0$ в формулу (7) и рассмотрим полученный потенциал во всём пространстве ${ℝ}^3$. Поскольку $A_i{\psi }_0=u_i=0$ всюду в ${\Omega }_i$, то отсюда и из непрерывности этого потенциала как потенциала простого слоя при переходе через границу $\Gamma$ [2, теорема 2.12] следует, что он является решением однородной внешней задачи Дирихле

$\Delta u_i+k_i^2{u}_i=0, x\in {\Omega }_e\mathrm{,} u_i^{+}=0, x\in \Gamma \mathrm{,}$

$\frac{\partial u_i}{\partial \left|x\right|}-i{k}_i{u}_i=o\left(\right|x{|}^{-1}), |x|\to \infty \mathrm{.}$  (17)

 Эта задача также имеет только тривиальное решение [2, теорема 3.21], поэтому $A_i{\psi }_0=u_i=0$ всюду в ${\Omega }_e$. Используя формулу для скачка нормальных производных потенциала простого слоя, получаем ${\psi }_0=-\left[N{u}_i\right]=0$ на $\Gamma$. Отсюда и из линейной независимости ${\psi }_s$ следует, что все коэффициенты ${\alpha }_s$ в (12) равны нулю. А это противоречит первоначальному предположению.

Введём обозначения

$v_s\equiv \left(0.5p_{ie}{A}_e+p_{ie}{A}_e{B}_i^{*}-B_e{A}_i\right){\psi }_s\mathrm{,} x\in {\Omega }_i\mathrm{,} s=\overline{\mathrm{1,}m}\mathrm{.}$

Функции $v_s\ne 0$ удовлетворяют уравнению (6) с граничными условиями $v_s^{-}=D{\psi }_s=0$. Они являются линейно независимыми и образуют базис в $m$-мерном пространстве нетривиальных решений задачи (6).

Покажем теперь, что существует единственное решение уравнения (9), при котором формулы (7), (8) дают решение задачи дифракции. Для этого определим линейный конечномерный оператор $T:C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)\to C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$ по формуле

$T\psi \equiv \sum _s^m⟨b_s\mathrm{,}\psi ⟩a_s\mathrm{.}$

Тогда, в силу леммы Шмидта [9, с. 221], оператор $D+T:C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)\to C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\Gamma \right)$ непрерывно обратим и уравнение

$\left(\right(D+T\left)\psi \right)\left(x\right)=f_{0}x), x\in \Gamma \mathrm{,}$

имеет единственное решение $\psi =\tilde{\psi }\in C^{\mathrm{0,}\alpha }\left(\Gamma \right)$ такое, что $⟨b_j\mathrm{,}\tilde{\psi }⟩=0$, $j=\overline{\mathrm{1,}m}$, и $D\tilde{\psi }=f_0$.

Подставим $\tilde{\psi }$ в формулы (14) и (15). Тогда потенциал $u_e$ в области ${\Omega }_i$ будет решением задачи (6). Эта задача имеет как тривиальное, так и $m$ линейно независимых нетривиальных решений. Любое её решение можно единственным образом разложить по базису $v_s$. Поэтому существует единственный набор коэффициентов ${\tilde{\alpha }}_s$, $s=\overline{\mathrm{1,}m}$, для которого справедливо равенство

$u_e=u_0-\left(0.5p_{ie}{A}_e+p_{ie}{A}_e{B}_i^{*}-B_e{A}_i\right)\widetilde{\psi =}\sum _{s=1}^m{\tilde{\alpha }}_s{v}_s=\sum _{s=1}^m{\tilde{\alpha }}_s\left(0.5p_{ie}{A}_e+p_{ie}{A}_e{B}_i^{*}-B_e{A}_i\right){\psi }_s\mathrm{,} x\in {\Omega }_i\mathrm{.}$

Подставив функцию

$\psi =\tilde{\psi }+\sum _{s=1}^m{\tilde{\alpha }}_s{\psi }_s$ (18)

 в формулы (14), будем иметь

$u_e=u_0-\left(0.5p_{ie}{A}_e+p_{ie}{A}_e{B}_i^{*}-B_e{A}_i\right)(\tilde{\psi }+\sum _{s=1}^m{\tilde{\alpha }}_s{\psi }_s)=0, x\in {\Omega }_i\mathrm{.}$

Поэтому ${\left(N{u}_e\right)}^{-}=0$, $x\in \Gamma$, и из (16) следует выполнение второго условия сопряжения (2). Выполнение первого условия сопряжения (2) следует из определения $\psi$ и формулы (13).

Таким образом, подставив  в формулы (7), (8), получим решение задачи дифракции. Теорема доказана.

Покажем теперь, что уравнение (5) тоже можно использовать для решения задачи дифракции.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4 и

$⟨f_2\mathrm{,}{\psi }_0⟩=0$ (19)

${\psi }_0$ имеет вид (12). Тогда уравнение (5) разрешимо и его общее решение можно записать как

$\varphi =\tilde{\varphi }+{\varphi }_0\mathrm{,} {\varphi }_0=\sum _{s=1}^m{\alpha }_s{\varphi }_s\mathrm{,}$ (20)

где $\tilde{\varphi }$ — произвольное частное решение этого уравнения, ${\alpha }_s$ — произвольные комплексные числа, ${\varphi }_s$ — линейно независимые решения однородного уравнения (5). Подстановка любого решения уравнения (5) в формулы (4) даёт решение задачи дифракции.

Доказательство. Операторы $p_{i}C$ и $p_{e}D$ из уравнений (5) и (9) являются сопряжёнными в силу сформулированной леммы, ${\psi }_0$ из (12) — нетривиальное решение однородного уравнения (9). Поэтому если условие (19) выполнено, из второй теоремы Фредгольма следует, что решение уравнения (5) существует [2, теорема 1.29; 9, с. 220] и имеет вид (20) [2, следствия 1.19, 1.20].

Выражения (4), где $\varphi$ — решение уравнения (5), удовлетворяют уравнениям (1), условию излучения (3) и первому из условий сопряжения (2). Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать выполнение второго условия из (2).

Продолжим потенциал $u_i$ формулой (4) в область ${\Omega }_e$. Вычислив предельное значение этого продолжения на границе $\Gamma$, имеем

$u_i^{+}=f_2-C\varphi =0, x\in \Gamma \mathrm{.}$

Таким образом, потенциал $u_i$ — решение внешней задачи (17) с однородным граничным условием. Эта задача имеет только тривиальное решение $u_i$ в ${\Omega }_e$ [2, теорема 3.21], поэтому ${\left(N{u}_i\right)}^{+}=0$. Отсюда и из формул для скачка нормальных производных потенциала простого слоя и непрерывности этих производных для потенциала двойного слоя при переходе через границу $\Gamma$ находим

$p_i{\left(N{u}_i\right)}^{-}-p_e({N{u}_e)}^{+}=p_i[N{u}_i]-p_e({N{u}_e)}^{+}=p_e({N{u}_e)}^{+}+p_e{f}_1-p_e{(N{u}_e)}^{+}=p_e{f}_1\mathrm{.}$

Второе условие сопряжения в (2) также выполнено. Теорема доказана.

Отметим, что для произвольных областей нетривиальные решения однородного уравнения (9) на спектре неизвестны. Воспользуемся задачей дифракции с известным аналитическим решением и покажем для конкретного случая, что уравнение (5) на спектре, в отличие от уравнения (9), не всегда имеет решение.

Пример. Рассмотрим задачу дифракции, где $\Gamma$ — единичная сфера с центром в начале координат, а комплексная амплитуда исходного волнового поля давлений определяется уравнением плоской волны $u_0\left(x\right)=\exp \left\{i{k}_e{x}_3\right\}$, $f_0=u_0^{+}$, $f_1={\left(N{u}_0\right)}^{+}$.

Разложение $u_0$ по сферическим функциям и точное решение этой задачи имеют вид [24, § 7.4]

$u_0\left(r\mathrm{,}\theta \right)=\sum _{m=0}^{\infty }(2m+1)i^m{j}_m\left(k_{e}r\right)P_m\left(\cos \theta \right), r\ge \mathrm{0,}$ (21)

$u_e\left(r\mathrm{,}\theta \right)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(2m+1)i^m{\alpha }_m}{{\beta }_m}{h}_m\left(k_{e}r\right)P_m\left(\cos \theta \right), r\ge \mathrm{1,}$

$u_i\left(r\mathrm{,}\theta \right)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(2m+1)i^{m+1}{p}_e}{k_e{\beta }_m}{j}_m\left(k_{i}r\right)P_m\left(\cos \theta \right), r\le 1.$

Здесь и далее $r=\left|x\right|$, $\cos \theta =x_3/r$, $0\le \theta \le \pi$, $P_m$ — полиномы Лежандра $m$-го порядка,

${\alpha }_m=p_i{k}_i{j}_m{(k_e)j^{\text{'}}}_m\left(k_i\right)-p_e{k}_e{j}_m\left(k_i\right){j^{\text{'}}}_m\left(k_e\right)$

${\beta }_m=p_e{k}_e{j}_m\left(k_i\right){h^{\text{'}}}_m\left(k_e\right)-p_i{k}_i{h}_m{(k_e)j^{\text{'}}}_m\left(k_i\right)$

$j_m\left(z\right)=\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{J}_{m+1/2}\left(z\right), h_m\left(z\right)=\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{H}_{m+1/2}^{\left(1\right)}\left(z\right)$

$J_{m+1/2}$, $H_{m+1/2}^{\left(1\right)}$ — функции Бесселя и Ханкеля первого рода порядка $m+1/2$ соответственно.

Пусть выполнены условия теоремы 3. В этом случае задача дифракции сводится к уравнению (9). Покажем, что его решение имеет вид

$\psi \left(\theta \right)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(2m+1)i^m{p}_e}{k_i{k}_e{\beta }_m}\frac{P_m\left(\cos \theta \right)}{h_m\left(k_i\right)}\mathrm{.}$ (22)

 Для этого используем равенства

$A_{i\left(e\right)}{P}_m=i{k}_{i\left(e\right)}{j}_m\left(k_{i\left(e\right)}\right)h_m\left(k_{i\left(e\right)}\right)P_m\mathrm{,}$ (23)

$B_{i\left(e\right)}{P}_m=B_{i\left(e\right)}^{*}{P}_m=0.5i{k}_{i\left(e\right)}^2\left(j_m\left(k_{i\left(e\right)}{h}_{m}k{(}_{i\left(e\right)}\right)\right)\text{'}{P}_m$ (24)

 и тождество

$j_m\left(z\right){h^{\text{'}}}_m\left(z\right)-{j^{\text{'}}}_m\left(z\right)h_m(z=i/z^2$ (25)

 из работы [25].

Подействуем оператором $D$ из уравнения (9) на $P_m$:

$D{P}_m=0.5i{k}_i{j}_m\left(k_i\right)h_m\left(k_i\right)\left(1-i{k}_e^2\left(2j_m{(k_e)h^{\text{'}}}_m\right(k_e)-i/k_e^2)\right)P_m+$

$+0.5p_{ie}i{k}_e{j}_m\left(k_e\right)h_m\left(k_e\right)\left(1+i{k}_i^2\left(2{j^{\text{'}}}_m\right(k_i\left)h_m\right(k_i)+i/k_i^2\right)P_m=k_i{k}_e{j}_m\left(k_e\right)h_m\left(k_i\right){\beta }_m{P}_m/p_e\mathrm{.}$

 Поэтому

$D\psi =\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(2m+1)i^m{p}_e}{k_i{k}_e{\beta }_m}\frac{D{P}_m\left(\cos \theta \right)}{h_m\left(k_i\right)}\text{=}\sum _{m=0}^{\infty }\text{(2}m+1\left)i^m{j}_m\right(k_e\left)P_m\right(\cos \theta )$ (26)

 Отсюда и из (21) следует, что $D\psi =f_0$.

Пусть теперь $\omega$ — собственная частота задачи (6). Тогда для однородного уравнения (9) существует нетривиальное решение ${\psi }_0$ в силу теоремы , и для некоторой функции Бесселя имеет место равенство $j_l\left(k_e\right)=0$ [2, § 3.3]. Из (22) и (26) следует, что это нетривиальное решение имеет вид ${\psi }_0=\alpha P_l\left(\cos \theta \right)$, где $\alpha \ne 0$ — произвольное комплексное число.

Проверим, выполняется ли условие разрешимости (19). Используя разложение $u_0$ по сферическим функциям, равенства (23), (24) и ортогональность функций $P_m$ [24, с. 715], получаем

$⟨f_2\mathrm{,}{P}_l⟩=p_{ei}{k}_e{k}_i(2l+1)i^{l+1}{j}_l\left(k_i\right)h_l\left(k_i\right){j^{\text{'}}}_l\left(k_e\right)⟨P_l\mathrm{,}{P}_l⟩=4\pi p_{ei}{k}_e{k}_i{i}^{l+1}{j}_l\left(k_i\right)h_l\left(k_i\right){j^{\text{'}}}_l\left(k_e\right)$

Из определения функций $j_l$, $h_l$ и тождества (25) следует, что функция $h_l$ не имеет действительных корней и ${j^{\text{'}}}_l\left(k_e\right)\ne 0$ при $j_l\left(k_e\right)=0$. Поэтому условие разрешимости (19) выполняется только при $j_l\left(k_i\right)=0$. Если же $j_l\left(k_i\right)\ne 0$, то решения уравнения (5) не существует.

3. О численном решении задачи дифракции на спектрах интегральных уравнений

В п. 2 было показано, что для решения задачи дифракции достаточно найти одно из решений интегрального уравнения (9) и воспользоваться потенциалами (7), (8). Рассмотрим возможность получить это решение приближённо.

Обозначим через $k>0$ некоторое собственное волновое число задачи (6), а через $\psi \left(k\right)$ — зависящее от него решение (18). Выберем достаточно малое число $\delta >0$. Тогда для решения интегрального уравнения имеют место интерполяционные формулы для плотности

$\psi \left(k\right)=\psi (k+i\delta )+O\left(\delta \right), \psi \left(k\right)=2\psi (k+i\delta )-\psi (k+2i\delta )+O\left({\delta }^2\right)$

$\psi \left(k\right)=4\psi (k+i\delta )-\psi (k-\delta +i\delta )-\psi (k+\delta +i\delta )-\psi (k+2i\delta )+O\left({\delta }^4\right)$ (27)

 Отметим, что в этом случае все плотности в правой части (27) являются решениями корректно разрешимых интегральных уравнений. Подстановка найденной плотности в интегралы (7), (8) даёт приближённое решение задачи дифракции.

Формулы (27) подразумевают, что искомое решение интегрального уравнения существует. В тех случаях, когда это не так, приближённое решение задачи дифракции может быть найдено по тем же формулам, где $\psi$ следует заменить на $u_{ie}$. Однако этот способ решения является более трудоёмким.

Описанный подход ранее использовался для численного решения на спектре трёхмерных задач Дирихле для уравнения Гельмгольца [19]. Они были сформулированы в виде граничных слабо сингулярных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

В работе [17] приведены результаты применения данного подхода для численного решения задачи дифракции плоской акустической волны на единичном шаре на собственных значениях волновых чисел задачи (6). Интегральные уравнения (5) и (9) аппроксимировались системами линейных алгебраических уравнений, которые затем решались численно итерационным методом вариационного типа. При этом для вычисления второго и последующих слагаемых в формулах (27) в качестве начального приближения использовалось найденное ранее первое слагаемое. Это позволило значительно сократить необходимое число итераций.

Сравнение точного и приближённого решений задачи дифракции показало, что интерполяция по формулам (27) позволяет находить решение этой задачи с достаточно высокой точностью. При этом вычисления на собственных волновых числах без применения интерполяции дают неудовлетворительные результаты.

Другие формулы для поиска приближённого решения задачи дифракции на спектрах интегральных уравнений были предложены в работе [26].

Заключение

Исследованы два слабо сингулярных граничных интегральных уравнения Фредгольма первого рода, к каждому из которых может быть сведена трёхмерная стационарная задача дифракции, на спектрах интегральных уравнений, где нарушаются условия эквивалентности интегральных уравнений исходной задаче. Установлено, что решение первого уравнения существует не во всех случаях. Если же оно существует, то, подставленное в интегральные представления решения задачи дифракции, даёт решение этой задачи. Доказано, что решение второго уравнения на спектре существует всегда, но не является единственным. Только одно решение этого уравнения, подставленное в интегральные представления решения задачи дифракции, даёт решение этой задачи.

Описан метод численного решения интегральных уравнений и задачи дифракции на спектрах интегральных уравнений. Его эффективность подтверждена результатами численных экспериментов [17].

About the authors

A. A. Kashirin

Author for correspondence.
Email: elomer@mail.ru
Russian Federation, Khabarovsk

S. I. Smagin

Email: smagin@ccfebras.ru
Russian Federation, Khabarovsk

References

Supplementary files