DIFFERENCE SCHEME WITH WELL CONTROLLED DISSIPATION FOR SOLUTION OF KAPILA MODEL

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The work is devoted to the derivation and numerical studies of a difference scheme with well-controlled dissipation for solution of equations of the Kapila model. Kapila model is widely used for analysis of two-phase compressible flows. It has a form of first order non-conservative hyperbolic system. As any other 1st order non-conservative hyperbolic system it requires definition of the regularizing dissipative operator to define discontinuous solutions and Rankin–Hugoniot conditions. The choice of dissipative operator influence wave structure observed in the solutions. Schemes with well-controlled are constructed in such a way that the dissipative operator which is determined by the form of their equivalent equation coincides with the one used to define correct setting of the original problem to be solved. As a result, it is expected that numerical solution converges to the solution of the system under consideration. Numerical experiments presented in the work demonstrate the effectiveness of this approach. As exact solutions numerical solutions of the traveling wave type obtained by other methods were used.

About the authors

R. R. Polekhina

Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS

Email: tukhvatullinarr@gmail.com
Moscow, Russia

E. B. Savenkov

Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS

Email: savenkov@keldysh.ru
Moscow, Russia

References

  1. Two-phase modeling of deflagration-to-detonation transition in granular materials: Reduced equations / A.K. Kapila, R. Menikoff, Y. Bdzil [et al.] // Physics of Fluids. — 2001. — V. 13, № 10. — P. 3002–3024.
  2. Kapila, A.K., Menikoff, R., Bdzil, Y., Son, S.F., and Stewart, D.S., Two-phase modeling of deflagration-todetonation transition in granular materials: reduced equations, Physics of Fluids, 2001, vol. 13, no. 10, pp. 3002–3024.
  3. Two-phase modeling of DDT: structure of the velocity-relaxation zone / A.K. Kapila, S.F. Son, J.B. Bdzil [et al.] // Physics of Fluids. — 1997. — V. 9, № 12. — P. 3885–3897.
  4. Kapila, A.K., Son, S.F., Bdzil, J.B., Menikoff, R., and Stewart, D.S., Two-phase modeling of DDT: structure of the velocity-relaxation zone, Physics of Fluids, 1997, vol. 9, no. 12, pp. 3885–3897.
  5. Le Floch, P. Shock waves for nonlinear hyperbolic systems in nonconservative form / P. Le Floch // IMA Preprint Series. — 1989. — № 53.
  6. LeFloch, P., Shock waves for nonlinear hyperbolic systems in nonconservative form, IMA Preprint Series, 1989 , no. 53.
  7. Dal Maso, G. Definition and weak stability of nonconservative products / G. Dal Maso, P.G. LeFloch, F. Murat // J. de math.ematiques pures et appliqu.ees. — 1995. — V. 74, № 6. — P. 483–548.
  8. Maso, G., Le Floch, P., and Murat, F., Definition and weak stability of nonconservative products, J. de math/ematiques pures et appliqu/ees, 1995, vol. 74, no. 6, pp. 483–548.
  9. LeFloch, P.G. Why many theories of shock waves are necessary: kinetic functions, equivalent equations, and fourth-order models / P.G. LeFloch, M. Mohammadian // J. Comput. Phys. — 2008. — V. 227, № 8. — P. 4162–4189.
  10. LeFloch, P.G. and Mohammadian, M., Why many theories of shock waves are necessary: kinetic functions, equivalent equations, and fourth-order models, J. Comp. Phys., 2008, vol. 227, no. 8, pp. 4162–4189.
  11. Saurel, R. Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in multiphase mixtures / R. Saurel, P. Petitpas, R.A. Berry // J. Comp. Phys. — 2009. — V. 228, № 5. — P. 1678–1712.
  12. Saurel, R., Petitpas, P., and Berry, R.A., Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in multiphase mixtures, J. Comp. Phys., 2009, vol. 228, no. 5, pp. 1678–1712.
  13. Меньшов, И.С. Численная модель многофазных течений на основе подсеточного разрешения контактных границ / И.С. Меньшов, А.А. Серёжкин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2022. — Т. 62, № 10. — С. 1740–1760.
  14. Menshov, I.S. and Serezhkin, A.A., Numerical model of multiphase flows based on sub-cell resolution of fluid interfaces, Comput. Math. Math. Phys., 2022, vol. 62, no. 10, pp. 1723–1742.
  15. In-cell discontinuous reconstruction path-conservative methods for non conservative hyperbolic systems — second-order extension / P.-G. Ernesto, M.J. Castro, C. Chalons [et al.] // J. Comp. Phys. — 2022. — V. 459. — Art. 111152.
  16. Ernesto, P.-G., Castro, M.J., Chalons, C., De Luna, T.M., and Par/es, C., In-cell discontinuous reconstruction path-conservative methods for non conservative hyperbolic systems — Second-order extension, J. Comp. Phys., 2022, vol. 459, art. 111152.
  17. Warming, R.F. The modified equation approach to the stability and accuracy analysis of finitedifference method / R.F. Warming, B.J. Hyett // J. Comp. Phys. — 1974. — V. 14, № 2. — P. 159–179.
  18. Warming, R.F. and Hyett, B.J., The modified equation approach to the stability and accuracy analysis of finitedifference method, J. Comp. Phys., 1974, vol. 14, no. 2, pp. 159–179.
  19. Шокин, Ю.И. Метод дифференциального приближения / Ю.И. Шокин. — Новосибирск : Наука, 1979. — 221 с.
  20. Shokin, Yu.I, The Method of Differential Approximation, Berlin; New York: Springer-Verlag, 1983.
  21. Шокин, Ю.И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике / Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко. — Новосибирск : Наука, 1985. — 364 с.
  22. Shokin, Yu.I. and Yanenko, N.N., Metod differentsialnogo priblizheniya. Primenenie k gazovoi dinamike (The Method of Differential Approximation. Application to Gas Dynamics), Novosibirsk: Nauka, Siberian Branch, 1985.
  23. Шокин, Ю.И. Метод дифференциального приближения / Ю.И. Шокин // Препринт АН СССР. Сиб. отд-е, ВЦ. — 1990. — № 7. — 50 с.
  24. Shokin, Yu.I., Metod differentsialnogo priblizheniya (Differential Approximation Method), Preprint of USSR Academy of Sciences. Siberian Branch, 1990, no. 7.
  25. Schemes with well-controlled dissipation. Hyperbolic systems in nonconservative form / A. Beljadid, P.G. LeFloch, S. Mishra, C. Par.es // Communicat. Comput. Phys. — 2017. — V. 21, № 4. — P. 913–946.
  26. Beljadid, A., LeFloch, P.G., Mishra, S., and Par/es, C., Schemes with well-controlled dissipation. Hyperbolic systems in nonconservative form, Communicat. Comput. Phys., 2017, vol. 21, no. 4, pp. 913–946.
  27. Гельфанд, И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений / И.М. Гельфанд // Успехи мат. наук. — 1959. — Т. 14, № 2 (86). — С. 87–158.
  28. Gel’fand, I.M., Some problems in the theory of quasilinear equations, Ser. 2, Am. Math. Soc., 1963, vol. 29, pp. 295–381.
  29. Петровский, И.Г. О проблеме Cauchy для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций / И.Г. Петровский // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секция А. Математика и механика. — 1938. — Т. 1, вып. 7. — 39 с.
  30. Petrovskii, I.G., O probleme Cauchy dlia sistem lineynykh uravneniy c chastnymi proizvodnymi v oblasti neanaliticheskikh funktsiy (On the Couchy problem for linear systems of partial differential equations in domain of non-analytical functions), Bull. of Moscow State University. Series A. Mathematics and Mechanics, 1938, vol. 1, no. 7, 39 p.
  31. Majda, A. Stable viscosity matrices for systems of conservation laws / A. Majda, L. Pego // J. Differ. Equat. — 1985. — V. 56, № 2. — P. 229–262.
  32. Majda, A., Stable viscosity matrices for systems of conservation laws, J. Differ. Equat., 1985, vol. 56, no. 2, pp. 229–262.
  33. Полехина, Р.Р. К вопросу о численном решении неконсервативных гиперболических систем уравнений / Р.Р. Полехина, М.В. Алексеев, Е.Б. Савенков // Дифференц. уравнения. — 2023. — T. 59, № 7. — С. 968–982.
  34. Polekhina, R.R., Alekseev, M.V., and Savenkov, E.B., On the numerical solution of nonconservative hyperbolic systems of equations, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 7, pp. 970–984.
  35. Куликовский, А.Г. Нелинейные волны в упругих средах / A.Г. Куликовский, Е.И Свешникова. — М. : Лицей, 1998. — 412 с.
  36. Kulikovskiy, A.G. and Sveshnikova, E.I., Nelineinye volny v uprugikh sredah (Nonlinear Waves in Elastic Media), Moscow: Litsey, 1998.
  37. Cockburn, B. The Runge-Kutta local projection-discontinuous-Galerkin finite element method for scalar conservation laws / B. Cockburn, C.-W. Shu // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. — 1991. — V. 25, № 3. — P. 337–361.
  38. Cockburn, B. and Shu, C.-W. The Runge-Kutta local projection-discontinuous-Galerkin finite element method for scalar conservation laws, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 1991, vol. 25, no. 3, pp. 337–361.
  39. Dumbser, M. A new efficient formulation of the HLLEM Riemann solver for general conservative and non-conservative hyperbolic systems / M. Dumbser, D.S. Balsara // J. Comp. Phys. — 2016. — V. 304. — P. 275–319.
  40. Dumbser, M. and Balsara, D., A new efficient formulation of the HLLEM Riemann solver for general conservative and non-conservative hyperbolic systems, J. Comp. Phys., 2016, vol. 304, pp. 275–319.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».