METHODS FOR PARAMETRIC IDENTIFICATION OF FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The issues of parametric identification of fractional differential models describing the processes of anomalous diffusion/heat conductivity are considered. The emphasis is on the option with a spatially localized initial condition, which corresponds to the experimental approach to determine diffusion characteristics. Methods are proposed for solving the identification problem that do not require multiple solutions of the direct problem. Testing of methods is carried out in a quasi-real experiment mode.

About the authors

Y. V. Slastushenskiy

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: slastushenskiy@mosinter.net
Russia

D. L. Reviznikov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: reviznikov@mai.ru
Russia

S. A. Semenov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: stdx@inbox.ru
Russia

References

  1. Benson, D.A. Application of a fractional advection-dispersion equation / D.A. Benson, S.W. Wheatcraft, M.M. Meerschaert // Water Resources Research. — 2000. — V. 36, № 6. — P. 1403–1412.
  2. Benson, D.A., Wheatcraft, S.W., and Meerschaert, M.M., Application of a fractional advection-dispersion equation, Water Resources Research, 2000, vol. 36, no. 6, pp. 1403–1412.
  3. Шитикова, М.В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твёрдого тела / М.В. Шитикова // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. — 2022. — № 1. — С. 3–40.
  4. Shitikova, M.V., Fractional operator viscoelastic models in dynamic problems of mechanics of solids: a review, Mechanics of Solids, 2022, vol. 57, no. 1, pp. 1–33.
  5. Мороз, Л.И. Дробно-дифференциальные модели динамических откликов сегнетоэлектриков / Л.И. Мороз, А.Г. Масловская. — Благовещенск : Изд-во АмГУ, 2022. — 198 c.
  6. Moroz, L.I. and Maslovskaya, A.G., Drobno-differentsial’nyye modeli dinamicheskikh otklikov segnetoelektrikov (Fractional Differential Models of Dynamic Responses of Ferroelectrics), Blagoveshchensk: ASU Publishing, 2022.
  7. Tverdyi, D. Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect / D. Tverdyi, R. Parovik // Fractal and Fractional. — 2022. — V. 6, № 3. — Art. 163.
  8. Tverdyi, D. and Parovik, R., Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6, no. 3, art. 163.
  9. Anomalous heat conduction and anomalous diffusion in nonlinear lattices, single walled nanotubes, and billiard gas channels / L. Baowen, J. Wang, L. Wang, G. Zhang // Chaos. — 2005. — V. 15. — Art. 15121.
  10. Baowen, L., Wang, J.,Wang, L., and Zhang, G., Anomalous heat conduction and anomalous diffusion in nonlinear lattices, single walled nanotubes, and billiard gas channels, Chaos, 2005, vol. 15, art. 15121.
  11. Maruyama, S. CVD growth and heat transfer of carbon nanotubes / S. Maruyama // Proc. of the 14th Int. Heat Transfer Conf. IHTC14, August 8–13, 2010, Washington, DC, USA. — P. 23350.
  12. Maruyama, S., CVD growth and heat transfer of carbon nanotubes, Proc. of the 14th Int. Heat Transfer Conf., IHTC14, August 8-13, 2010, Washington, DC, USA, p. 23350.
  13. Yang, N. Violation of Fourier‘s law and anomalous heat diffusion in silicon nanowires / N. Yang, G. Zhang, L. Baowen // Nano Today. — 2010. — № 5. – P. 85–90.
  14. Yang, N., Zhang, G., and Baowen, L., Violation of Fourier‘s law and anomalous heat diffusion in silicon nanowires, Nano Today, 2010, no. 5, pp. 85–90.
  15. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с.
  16. Samko, S.G., Kilbas, A.A., and Marichev, O.I., Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye ikh prilozheniya (Integrals and Derivatives of Fractional Order and Some of their Applications), Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987.
  17. Нахушев, А.М. Дробное исчисление и его применение / А.М. Нахушев. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с.
  18. Nakhushev, A.M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye (Fractional Calculus and its Applications), Moscow: Fizmatlit, 2003.
  19. Meerschaert, M.M. Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations / M.M. Meerschaert, C. Tadjeran // J. Comp. Appl. Math. — 2004. — V. 172. — P. 65–77.
  20. Meerschaert, M.M. and Tadjeran, C., Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations, J. Comp. Appl. Math., 2004, vol. 172, pp. 65–77.
  21. Meerschaert, M.M. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations / M.M. Meerschaert, C. Tadjeran // Appl. Numer. Math. — 2006. — V. 56, № 1. — P. 80–90.
  22. Meerschaert, M.M. and Tadjeran, C., Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations, Appl. Numer. Math., 2006, vol. 56, no. 1, pp. 80–90.
  23. Space-fractional advection-dispersion equations with variable parameters: diverse formulas, numerical solutions, and application to the MADE-site data / Z. Yong, D.A. Benson, M.M. Meerschaert, E.M. LaBolle // Water Resources Research. — 2007. — V. 43. — Art. W05439.
  24. Yong, Z., Benson, D.A., Meerschaert, M.M., and LaBolle, E.M., Space-fractional advection-dispersion equations with variable parameters: diverse formulas, numerical solutions, and application to the MADE-site data, Water Resources Research, 2007, vol. 43, art. W05439.
  25. Gorenflo, R. Random walk models for space-fractional diffusion processes / R. Gorenflo, F. Mainardi // Fract. Calc. Appl. Anal. — 1998. — V. 1, № 2. — P. 167–191.
  26. Gorenflo, R. and Mainardi, F., Random walk models for space-fractional diffusion processes, Fract. Calc. Appl. Anal., 1998, vol. 1, no. 2, pp. 167–191.
  27. Сластушенский, Ю.В. Модель случайного блуждания для уравнения аномальной диффузии / Ю.В. Сластушенский // Науч.-техн. вестн. Поволжья. — 2011. — № 5. — С. 242–246.
  28. Slastushenskiy, Y.V., Random walk model for anomalous diffusion equation, Nauch.-tekhn. vestn. Povolzh’ya (Scientific and Technical Volga Region Bulletin), 2011, no. 5, pp. 242–246.
  29. Ерохин, С.В. Параметрическая идентификация порядка дробной производной в модели Бегли–Торвика / С.В. Ерохин, Т.С. Алероев // Мат. моделирование. — 2018. — Т. 30, № 7. — С. 93–102.
  30. Erokhin, S.V. and Aleroev, T.S., Parametric identification of the fractional-derivative order in the Bagley–Torvik model, Math. Models and Comp. Simul., 2019, vol. 11, no. 2, pp. 219–225.
  31. Параметрическая идентификация математической модели вязкоупругих материалов с использованием производных дробного порядка / С.В. Ерохин, Т.С. Алероев, Л.Ю. Фриштер, А.В. Колесниченко // Междунар. журн. по расчёту гражданских и строит. конструкций. — 2015. — Т. 11, № 3. — С. 82–86.
  32. Erokhin, S.V., Aleroev, T.S., Frishter, L.Y., and Kolesnichenko, A.V., Parameter identification of the viscoelastic materials mathematical model using fractional derivatives, Int. J. Comput. Civil and Struct. Engin., 2015, vol. 11, no. 3, pp. 82–86.
  33. Унгарова, Л.Г. Применение нелинейных дробных аналогов реологических моделей в задаче аппроксимации экспериментальных данных по растяжению поливинилхлоридного пластиката / Л.Г. Унгарова // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2016. — Т. 20, № 4. — С. 691–706.
  34. Ungarova, L.G., The use of linear fractional analogues rheological models in the problem of approximating the experimental data on the stretch polyvinylchloride elastron, Vestn. Samar. gos. tekhn. un-ta. Ser. fiz.-mat. nauki (J. of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences), 2016, vol. 20, no. 4, pp. 691–706.
  35. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 224 с.
  36. Tikhonov, A.N. and Arsenin, V.Y., Metody resheniya nekorrektnykh zadach (Methods for Solving Ill-Posed Problems), Moscow: Nauka, 1974.
  37. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов, П.М. Вабищевич, В.В. Михайлов и др. — М. : Логос, 2001. — 400 с.
  38. Alifanov, O.M., Vabishchevich, P.M., Mikhailov, V.V. et al., Osnovy identifikatsii i proyektirovaniya teplovykh protsessov i sistem. Obratnyye zadachi teploobmena (Fundamentals of Identification and Design of Thermal Processes and Systems. Inverse Heat Transfer Problems), Moscow: Logos, 2001.
  39. Ревизников, Д.Л. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале / Д.Л. Ревизников, Ю.В. Сластушенский // Мат. моделирование. — 2013. — Т. 25, № 5. — С. 3–14.
  40. Reviznikov, D.L. and Slastushenskiy, Y.V., Numerical simulation of anomalous diffusion in polygonal billiard gas channel, Math. Models and Comput. Simul., 2013, vol. 25, no. 5, pp. 3–14.
  41. Морозов, А.Ю. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений с интервальными параметрами / А.Ю. Морозов, Д.Л. Ревизников // Сиб. журн. индустр. математики. — 2023. — Т. 26, № 4. — С. 93–108.
  42. Morozov, A.Y. and Reviznikov, D.L., Algorithms for numerical solution of fractional differential equations with interval parameters, J. Appl. Industr. Math., 2023, vol. 26, no. 4, pp. 93–108.
  43. Морозов, А.Ю. Интервальный подход к решению задач параметрической идентификации динамических систем / А.Ю. Морозов, Д.Л. Ревизников // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 7. — С. 962–976.
  44. Morozov, A.Y. and Reviznikov, D.L., Interval approach to solving parametric identification problems for dynamical systems, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 7, pp. 952–965.
  45. Петухов, А.А. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений / А.А. Петухов, Д.Л. Ревизников // Вестн. Моск. авиац. ин-та. — 2009. — Т. 16, № 6. — С. 228–234.
  46. Petukhov, A.A. and Reviznikov, D.L., Algorithms for numerical solution of fractional differential equations, Aerospace MAI J., 2009, vol. 16, no. 6, pp. 228–234.
  47. Ревизников, Д.Л. Применение дробно-дифференциального исчисления для описания аномальной диффузии / Д.Л. Ревизников, Ю.В. Сластушенский // Вестн. Моск. авиац. ин-та. — 2011. — Т. 18, № 4. — С. 76–82.
  48. Reviznikov, D.L. and Slastushenskiy, Y.V., Application of fractional differential calculus to describe anomalous diffusion, Aerospace MAI J., 2011, vol. 18, no. 4, pp. 76–82.
  49. Мороз, Л.И. Численное моделирование процесса аномальной диффузии на основе схемы повышенного порядка точности / Л.И. Мороз, А.Г. Масловская // Мат. моделирование. — 2020. — Т. 32, № 10. — С. 62–76.
  50. Moroz, L.I. and Maslovskaya, A.G., Numerical simulation of an anomalous diffusion process based on a scheme of a higher order of accuracy, Math. Models and Comput. Simul., 2021, vol. 13, no. 3, pp. 492–501.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».