CLASSICAL SOLUTION OF THE FIRST MIXED PROBLEM FOR THE INHOMOGENEOUS LIOUVILLE EQUATION IN A HALF-STRIP

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The question of existence and uniqueness of the classical solution of the mixed problem in a half-strip for the nonlinear Liouville equation is investigated. The solution is presented in implicit form as a solution of an integral equation, the solvability of which is proved using the Leray-Schauder theorem, and the corresponding a priori estimate is obtained using energy methods.

About the authors

V. I Korzyuk

Belarusian State University; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus

Email: korzyuk@bsu.by
Minsk, Belarus

J. V Rudzko

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus

Email: janycz@yahoo.com
Minsk, Belarus

References

  1. Nakayama, Y. Liouville field theory: a decade after the revolution / Y. Nakayama // Int. J. Mod. Phys. A. — 2004. — V. 19, № 17–18. — P. 2771–2930.
  2. Dzhordzhadze, G.P. Singular solutions of the equation □φ + (m²/2) exp φ = 0 and dynamics of singularities / G.P. Dzhordzhadze, A.K. Pogrebkov, M.K. Polivanov // Theor. Math. Phys. — 1979. — V. 40. — P. 706–715.
  3. Джорджадзе, Г.П. О глобальных решениях задачи Коши для уравнения Лиувилля φ_{tt}(t,x) - φ_{xx}(t,x) = 1/2m exp φ(t,x) / Г.П. Джорджадзе, А.К. Погребков, М.К. Поливанов // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 243, № 2. — С. 318–320.
  4. Погребков, А.К. О глобальных решениях задач Коши для уравнения Лиувилля φ_{tt} - φ_{xx} = -1/2m² exp φ в случае сингулярных начальных данных / А.К. Погребков // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 244, № 4. — С. 873–876.
  5. Dzhordzhadze, G.P. Regular solutions of the Liouville equation / G.P. Dzhordzhadze // Theor. Math. Phys. — 1979. — V. 41. — P. 867–871.
  6. Жегалов, В.И. О характеристических граничных задачах для уравнения Лиувилля / В.И. Жегалов, А.А. Купгурцев // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 11. — С. 40–47.
  7. Andreev, V.A. Application of the inverse scattering method to the equation σ_{xt} = e^{σ} / V.A. Andreev // Theor. Math. Phys. — 1976. — V. 29. — P. 1027–1032.
  8. Korzyuk, V.I. Classical and mild solutions of the Cauchy problem for a mildly quasilinear wave equation with discontinuous and distributional initial conditions / V.I. Korzyuk, J.V. Rudzko // J. Math. Sci. — 2024. — V. 286, № 4. — P. 535–559.
  9. Kharibegashvili, S.S. Cauchy problem for a generalized nonlinear Liouville equation / S.S. Kharibegashvili, O.M. Dzhokhadze // Differ. Equat. — 2011. — V. 47, № 12. — P. 1763–1775.
  10. Калякин, Л.А. Асимптотический распад решения возмущенного уравнения Лиувилля / Л.А. Калякин // Мат. заметки. — 2000. — Т. 68, № 2. — С. 195–209.
  11. Калякин, Л.А. Возмущение сингулярного решения уравнения Лиувилля / Л.А. Калякин // Теор. и мат. физика. — 1999. — Т. 118, № 3. — С. 390–397.
  12. Kalyakin, L.A. Liouville equation under perturbation / L.A. Kalyakin // Inverse Problems. — 2001. — V. 17, № 4. — P. 879–883.
  13. Mitrinovic, D.S., Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives / D.S. Mitrinovic, J.E. Pečarić, A.M. Fink. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1991. — 603 p.
  14. Корзюк, В.И. Уравнения математической физики / В.И. Корзюк. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Ленанд, 2021. — 480 с.
  15. Хромов, А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача для волнового уравнения / А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2024. — Т. 24, № 3. — С. 351–358.
  16. Хромов, А.П. Расходящиеся ряды в методе Фурье для волнового уравнения / А.П. Хромов, В.В. Корнев // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2021. — Т. 27, № 4. — С. 215–238.
  17. Gilbarg, D. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order / D. Gilbarg, N.S. Trudinger. — 2nd ed. — Berlin : Springer, 1983. — 529 p.
  18. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. — 3-е изд., испр. — М. : Физматлит, 2002. — 488 с.
  19. Корзюк, В.И. Классическое решение задачи Коши для полулинейного гиперболического уравнение в случае двух независимых переменных / В.И. Корзюк, Я.В. Рудько // Изв. вузов. Математика. — 2024. — № 3. — С. 50–63.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».