Analysis of the influence of heterogeneous expectations of economic agents on the stability of general equilibrium models with an open economy

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы идеи общего равновесия и модели на основе этого подхода (DSGE-модели) занимают важное место в макроэкономическом анализе (Kydland, Prescott, 1982; Малаховская, 2016; Уикенс, 2015). Основой подход состоит в оптимизации деятельности экономических агентов с рациональными ожиданиями (Muth, 1961; Sargent, Wallace, 1976). Однако эмпирические доказательства обнаруживают существенную гетерогенность в формировании ожиданий (убеждений) экономических агентов, — в частности в формировании прогнозов инфляции (Andrade, Bihan, 2013; Branch, 2004), и отвергают рациональность поведения агентов (Hommes, 2021; Cornea-Madeira, Hommes, Massaro, 2019). Многочисленные данные и доказательства свидетельствуют о важности включения гетерогенных ожиданий в модели общего равновесия (Adam, 2007; Hommes, 2011).

Два популярных подхода к инкорпорации гетерогенных ожиданий в модель общего равновесия были предложены в (Branch, McGough, 2009; Massaro, 2013). В них предполагается, что по крайней мере часть населения формирует ожидания с помощью некоторых эвристик, которые различаются предполагаемым временным горизонтом прогнозов. Ориентируясь на краткосрочных прогнозистов, авторы (Branch, McGough, 2009) пришли к выводу, что совокупная динамика зависит от субъективных разнородных прогнозов на один период вперед. Вместо этого в работе (Massaro, 2013) предполагается, что агенты выбирают оптимальные планы прогнозов макроэкономических переменных на бесконечном горизонте, в результате прогнозируемая совокупная динамика зависит от долгосрочных прогнозов.

При введении в модель определенного правила политики (монетарного или фискального) необходимо следить, чтобы исследуемая система не стала неустойчивой или не порождала множественных равновесий. Например, в работах (Branch, McGough, 2009; Massaro, 2013; Preston, 2006) с помощью стандартного анализа устойчивости систем уравнений в пространстве состояний (путем анализа собственных значений матрицы) было показано сужение области стабильности и устойчивости моделей с гетерогенными ожиданиями. При этом в данных исследованиях рассматривался ограниченный набор параметров и было выявлено, что движущей силой такого поведения являлись параметры, связанные с монетарной политикой экономических властей. Поэтому актуально расширить и дополнить вышеприведенные результаты исследованием влияния всего спектра модельных параметров одновременно на чувствительность к устойчивости и стабильности экономической системы при ограниченно рациональных ожиданиях агентов. При этом формирование ожиданий экономических агентов считается важным инструментом экономической политики, поэтому экономические власти должны иметь информацию о динамических последствиях такой ограниченной рациональности, т.е. знать, как горизонт предсказания ограниченно рациональных агентов влияет на выбор альтернативных правил, стабилизирующих динамику соответствующих макроэкономических переменных (Gasteiger, 2014; Di Bartolomeo, Di Pietro, Giannini, 2016). Для этого необходимо исследовать влияние ограниченной рациональности экономических агентов на стратегию их поведения.

Представляется полезным распространить вышеприведенные выводы на модели с открытой экономикой, в которых возникают новые каналы, через которые, например, монетарные факторы могут влиять на экономику. Движения обменного курса, в частности, играют важную роль в передаточном процессе, связывающем колебания денежной массы с изменениями объема производства и инфляции. Поэтому встают вопросы, следует ли использовать и как применять денежно-кредитную политику для стабилизации обменных курсов.

Цель публикации— исследование влияния ограниченной рациональности агентов на стабильность и устойчивость¹ исследуемой модели с открытой экономикой при одновременном сканировании всего спектра модельных параметров, что позволяет выявлять и анализировать области устойчивости модели в многомерном пространстве.

1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ОЖИДАНИЯМИ АГЕНТОВ

Приводимая в статье модель является модифицированной версией DSGE-модели с открытой экономикой и с рациональными ожиданиями агентов, описанной в работе (Gali, Monacelli, 2005). Ранее подобная модель исследовалась в работе (Серков, Елизаров, 2016). Модель состоит из рассматриваемой малой экономики (домашней экономики) и экономики остального мира. Поскольку каждая экономика имеет нулевую меру, ее решения в области внутренней политики никак не влияют на остальной мир. Мировая экономика представлена в виде континуума малых открытых экономик, распределенных в единичном интервале. Предполагается, что все экономики (отдельных стран) имеют одинаковую рыночную структуру, технологии и предпочтения экономических агентов. Для этих экономик выполняется закон единой цены. Структурные уравнения моделей, относящихся к классу систем рациональных ожиданий, выводятся из задач максимизации полезности потребителей и максимизации прибыли фирм.

Типичная малая открытая экономика населена единичным континуумом репрезентативных z-домохозяйств, $z\in [0,1])$ ², стремящихся максимизировать ожидаемую дисконтированную сумму значений функции полезности и функции затраченного на труд времени:

$\max E_0\left\{\sum _{t=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^t\left[U\right(C_t)-V(N_t\left)\right]\right\}$,

где функция полезности $U\left(C_t\right)\equiv {\psi }_t{C}_t^{1-\sigma }/(1-\sigma )$ и функция затрат времени на труд $V\left(N_t\right)\equiv N_t^{1+\phi }/(1+\phi )$; $E_0$ — оператор рациональных ожиданий экономических агентов (в данном случае домашних хозяйств); $\beta$ — коэффициент дисконтирования $(0<\beta <1)$ ; σ — параметр, обратный эластичности межвременного замещения; φ — параметр, обратный эластичности предложения труда; $N_t$ — объем отработанных часов; ${\psi }_t$ — шок предпочтений домашних хозяйств³. Композитный индекс потребления — $C_t=\left[\right(1-\alpha {)}^{1/\eta }{C_{H,t}}^{(\eta -1)/\eta }+{\alpha }^{1/\eta }{C_{F,t}}^{(\eta -1)/\eta }{]}^{\eta /(\eta -1)}$, где $C_{H,t},C_{F,t}$ — индексы потребления отечественных и импортных товаров и услуг. Параметр $\alpha$ определяет долю импортных товаров в индексе потребительских цен, или степень открытости экономики; $\eta$ — эластичность замещения отечественных и импортных товаров и услуг $( \eta >0)$. Индексы потребления отечественных и импортных товаров и услуг описываются CES-функцией агрегации:

$C_{H,t}={\left({\int }_0^1{C}_{H,t}(j{)}^{(\epsilon -1)/\epsilon }dj\right)}^{\epsilon /(\epsilon -1)}, C_{F,t}={\left({\int }_0^1{C_{i,t}}^{(\gamma -1)/\gamma }di\right)}^{\gamma /(\gamma -1)}$,

где $\epsilon$ — эластичность замещения между разновидностью j товаров и услуг, производимых в отечественной экономике ($j\in \left[\mathrm{0,1}\right], \epsilon >1$) . Параметр $\gamma$ характеризует взаимную заменяемость товаров, произведенных в разных странах (индекс i — определяет экономику i этих стран ($i\in [0,1]$). $C_{i,t}$ — индекс потребления благ, импортируемых из страны i и потребляемых домохозяйствами в отечественной экономике, $C_{i,t}={\left({\int }_0^1{C}_{i,t}(j{)}^{(\epsilon -1)/\epsilon }dj\right)}^{\epsilon /(\epsilon -1)}$.

Индивидуальное домохозяйство максимизирует свое благосостояние в момент времени t при следующем однопериодном бюджетном ограничении:

$P_{H,t}\left(j\right)C_{H,t}\left(j\right)+P_{i,t}\left(j\right)C_{i,t}\left(j\right)+E_t\left\{Q_{t,t+1}{D}_{t+1}\right\}\le D_t+W_t{N}_t+T{r}_t$.

Соответственно, максимизация дисконтированной суммы значений функции полезности и функции затраченного индивидуальным домохозяйством времени на труд (для моментов времени $t=0, 1, ...)$ производится при следующей последовательности бюджетных ограничений:

${\int }_0^1{P}_{H,t}\left(j\right)C_{H,t}\left(j\right)dj+\iint P_{i,t}\left(j\right)C_{i,t}\left(j\right)didj+E_t\left\{Q_{t,t+1}{D}_{t+1}\right\}\le D_t+W_t{N}_t+T{r}_t, t=0, 1, ...$,

где $P_{H,t}\left(j\right)$ — индекс цен отечественных благ j; $P_{i,t}\left(j\right)$ — индекс цен благ, импортируемых из страны i; $D_{t,t+1}$ — номинальные затраты на приобретение агрегированного портфеля ценных бумаг; $Q_{t,t+1}$ — стохастический фактор дисконтирования; $R_t^{-1}=E_t\left\{Q_{t,t+1}\right\}$; $R_t^{-1}$ — цена безрисковых однопериодных обязательств; $W_t$ — номинальная заработная плата; $T{r}_t$ — суммарные трансферты (налоги).

Фирмы производят дифференцируемые продукты в соответствии с линейной производственной функцией $Y_t=A_t{N}_t$; где $A_t$ — совокупная факторная производительность $\left(a_t\equiv \log A_t\right)$. Предполагается жесткость цен и гибкость заработных плат. Фирмы устанавливают цены в соответствии с подходом (Calvo, 1983; Christiano, Eichenbaum, Evans, 2005). Часть фирм $(1 –\theta )$ пересматривает цены в каждом периоде, другая часть $\theta$, не изменяющая цен, индексирует их в каждом периоде. Для упрощения накопление капитала (домохозяйствами и фирмами) в модели не рассматривается.

Приведем основные уравнения модели в логлинеаризованном виде (относительно соответствующих стационарных состояний).

Уравнения структуры экономики рассматриваемой страны:

${\tilde{y}}_t=E_t\left\{{\tilde{y}}_{t+1}\right\}-{\omega }_a/\sigma (r_t-E_t\{{\pi }_{H,t+1})-r_{n,t})+{\epsilon }_{\tilde{y},t}$, (1)

$r_{n,t}=-\left(\right(\sigma (1+\phi )(1-{\rho }_a))/(\sigma +\phi {\omega }_a\left)\right)a-\phi {\mathrm{\Theta }}_a({\rho }_{y^{\mathrm{*}}}-1)y_t^{\mathrm{*}}$, (2)

${\pi }_{H,t}=\beta E_t\left\{{\pi }_{H,t+1}\right\}+{\kappa }_a{\tilde{y}}_t+{\epsilon }_{\pi ,t}$, (3)

${\kappa }_a=\lambda (\phi +\sigma /{\omega }_a)$, ${\omega }_a=1+\alpha (2-\alpha )(\sigma \eta -1)$, $\lambda =(1-\beta \theta )(1-\theta )/\theta$, ${\mathrm{\Theta }}_a=\sigma (1-{\omega }_a)/(\sigma +\phi {\omega }_a)$, $y_t={\tilde{y}}_t+{\stackrel{-}{y}}_t$, (4)

$\stackrel{-}{y}{}_t{}^{\mathrm{ }}\mathrm{ }={\mathrm{\Omega }}_a{a}_t+{\mathrm{\Theta }}_a{y_t}^{\mathrm{*}}$, (5)

${\mathrm{\Omega }}_a={\omega }_a(1+\phi )(\sigma +\phi {\omega }_a)$, $y_t=y_t^{\mathrm{*}}+({\omega }_a/\sigma )s_t$, (6)

${\pi }_t={\pi }_{H,t}+\alpha (s_t-s_{t-1})$, (7)

$q_t=(1-\alpha )s_t$, (8)

$a_t={\rho }_a{a}_{t-1}+{\epsilon }_{a,t}$, (9)

$n{x}_t=(\alpha \mathrm{\Lambda }/{\omega }_{\alpha })(y_t-y_t^{\mathrm{*}})$, (10)

$\mathrm{\Lambda }=(2-\alpha )(\sigma \eta -1)+(1-\sigma )$, $r_t=\rho r_{t-1}+(1-\rho )({\phi }_{\pi }{\pi }_t+{\phi }_{\tilde{y}}{\tilde{y}}_t+{\phi }_q\mathrm{\Delta }{q}_t)+{\epsilon }_{r,t}$. (11)

Уравнения структуры экономики остального мира:

$a_t^{\mathrm{*}}={\rho }_{a^{\mathrm{*}}}{a}_{t-1}^{\mathrm{*}}+{\epsilon }_{a^{\mathrm{*}},t}^{\mathrm{*}}$, (12)

$y_t^{\mathrm{*}}={\rho }_{y^{\mathrm{*}}}{y}_{t-1}^{\mathrm{*}}+{\epsilon }_{y^{\mathrm{*}},t}^{\mathrm{*}}$, (13)

${\pi }_t^{\mathrm{*}}={\rho }_{{\pi }^{\mathrm{*}}}{\pi }_{t-1}^{\mathrm{*}}+{\epsilon }_{{\pi }^{\mathrm{*}},t}^{\mathrm{*}}$. (14)

Все переменные в этих уравнениях выражены в логарифмах отклонения от соответствующих стационарных состояний.

Уравнение (1) — динамическая кривая IS (уравнение Эйлера) — отражает зависимость разрыва выпуска ${\tilde{y}}_t$ (отклонение объема выпуска от равновесного уровня выпуска при гибких ценах) от ожидаемого будущего разрыва выпуска $E_t\left\{{\tilde{y}}_{t+1}\right\}$ и отклонения реальной процентной ставки от естественной процентной ставки $r_{n,t}$ (процентной ставки при гибких ценах), которая определяется уравнением (2). Отметим, что шок разрыва выпуска ${\epsilon }_{\tilde{y},t}$, вследствие ограничения на ресурсы ( $y_t=c_t+\alpha \omega s_t/\sigma$ ), включает шок предпочтений домашних хозяйств, пропорциональный возмущению $E_t{\psi }_{t+1}-{\psi }_t$, и шок условий торговли, пропорциональный разности $E_t{s}_{t+1}-s_t$.

Уравнение (3) — уравнение кривой Филипса — показывает, что текущая инфляция ${\mathrm{\pi }}_{\mathrm{t}}$ зависит от будущей инфляции и разрыва выпуска. Уравнение (4) выражает взаимосвязь между объемом выпуска $y_t$, разрывом выпуска ${\tilde{y}}_t$ и равновесным уровнем выпуска при гибких ценах ${\overline{y}}_t$. Уравнение (5) характеризует уровень выпуска при гибких ценах через совокупную факторную производительность $a_t$ и объем выпуска мировой экономики $y_t^{\mathrm{*}}$ ⁴.

Уравнение (6) — уравнение взаимосвязи между объемами выпуска в отечественной и мировой экономике. Переменная $s_t$ отвечает за условия торговли (terms of trade), т.е. $s_t$ — индекс, выражающий соотношение экспортных и импортных цен. Уравнение (7) — уравнение взаимосвязи между инфляцией ${\mathrm{\pi }}_{\mathrm{t}}$, определяемой по индексу потребительских цен, и внутренней инфляцией⁵ ${\mathrm{\pi }}_{\mathrm{H},\mathrm{t}}$ (без учета цен импортных товаров и услуг). Уравнение (8) — уравнение взаимосвязи эффективного реального обменного курса $q_t$ с условиями торговли $s_t$.

Уравнение (9) является авторегрессионным уравнением (AR(1)) для совокупной факторной производительности. Уравнение (10) — уравнение торгового баланса. Уравнение (11) — правило Тейлора для номинальной процентной ставки $r_t$ (gross nominal interest rate), где $\rho$ — коэффициент сглаживания процентной ставки.

Параметры ${\phi }_{\pi },{\phi }_{\tilde{y}},{\phi }_q$ отражают степень реакции центрального банка на динамику целевых переменных монетарной политики (инфляции, разрыва выпуска и изменения эффективного реального обменного курса⁶ $q_t$ ).

Уравнение (12) — авторегрессионное уравнение (AR(1)) для совокупной факторной производительности в зарубежной экономике. В отличие от модели (Galí, Monacelli, 2005), в которой переменные зарубежного объема выпуска $y_t^{\mathrm{*}}$ и инфляции ${\pi }_t^{\mathrm{*}}$ являются эндогенными, в рассматриваемой модели для упрощения⁷ эти переменные введены как экзогенные и изменяются в соответствии с уравнениями (13)–(14).

Модель содержит семь экзогенных шоков и является динамической стохастической моделью общего равновесия с рациональными ожиданиями агентов. Методы решения ее требуют выполнения ограничений, определяемых так называемыми условиями Бланшара–Кана, на структурные параметры (Blanchard, Kahn, 1980; Sims, 2002).

2. ГЕТЕРОГЕННЫЕ ОЖИДАНИЯ АГЕНТОВ С КРАТКО- И ДОЛГОСРОЧНЫМИ ПРОГНОЗАМИ

Для ограниченно рациональных недальновидных агентов (с краткосрочным прогнозом) уравнения для динамической IS-кривой и кривой Филипса (уравнения (1) и (3) для рациональных агентов) имеют вид:

${\tilde{y}}_t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}[E_{i,t}^L\sum _{s=t}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{s-t}\left(\right(1-\beta ){\tilde{y}}_s-\beta /\sigma (r_s-{\pi }_{H,s+1}-r_{n,s}\left)\right]di+{\epsilon }_{\tilde{y},t}$, (15)

${\pi }_{H,t}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_{i,t}^B[\beta {\pi }_{i,H,t+1}+{\kappa }_a{\tilde{y}}_{i,t}]di+{\epsilon }_{\pi ,t}$, (16)

а для ограниченно рациональных агентов с бесконечным горизонтом прогнозирования эти уравнения⁸ —

${\tilde{y}}_t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}[E_{i,t}^L\sum _{s=t}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{s-t}\left(\right(1-\beta ){\tilde{y}}_s-\beta /\sigma (r_s-{\pi }_{H,s+1}-r_{n,s}\left)\right]di+{\epsilon }_{\tilde{y},t}$, (17)

${\pi }_{H,t}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}[E_{i,t}^L\sum _{s=t}^{\mathrm{\infty }}(\theta \beta {)}^{s-t}\left(\right(1-\theta )\beta {\pi }_{H,s+1}+{\kappa }_a{\tilde{y}}_s)]di+{\epsilon }_{\pi ,t}$, (18)

Операторы $E_{i,t}^B,E_{i,t}^L$ — операторы ожиданий для агентов с кратко- и долгосрочным прогнозом соответственно. Легко проверить, что при рациональных ожиданиях агентов уравнения (15) и (17) сводятся к уравнению (1), а уравнения (16) и (18) к уравнению (3). В этом случае горизонт прогнозирования не играет роли.

Предположим, что популяция агентов подразделяется на две группы: одна из них с долей $\chi$ имеет рациональные ожидания, оставшаяся ($1-\chi$) формирует ограниченно рациональные ожидания.

Агрегирование по популяции рациональных агентов с долей $\chi$ приводит к уравнению

$\underset{0}{\overset{\chi }{\int }}{E}_{i,t}{y}_{t+1}di=\chi E_t{y}_{t+1}$. (19)

Оставшаяся часть агентов ( 1−χ ) обладает когнитивными ограничениями и использует эвристики для прогнозирования макропеременных.

Формирование ожиданий у недальновидных агентов с краткосрочным прогнозированием (SSF — short-sighted forecast), согласно (Branch, McGough, 2009), происходит на основе простого линейного правила, соответствующего стандартной форме адаптивных ожиданий:

$E_{t-1}^B\left(y_t\right)=\mathrm{\Xi }{y}_{t-1}$. (20)

где $\mathrm{\Xi }$ — параметр адаптации (параметр доверия агентов к этому правилу):

$\mathrm{\Xi }=\left\{\begin{array}{l}<1—\mathrm{для} \mathrm{адаптивных} \mathrm{ожиданий};\\ >1—\mathrm{для} \mathrm{экстраполяционных} \mathrm{ожиданий};\\ =1— \mathrm{для} \mathrm{наивных} \mathrm{ожиданий}.\end{array}\right.$.

Применяя закон итерации ожиданий, получаем

$E_{i,t}^B{y}_{t+1}={\mathrm{\Xi }}^2{y}_{t-1}$, (21)

а при агрегировании—

$\underset{\chi }{\overset{1}{\int }}{E}_{i,t}^B{y}_{t+1}di=(1-\chi ){\mathrm{\Xi }}^2{y}_{t-1}$. (22)

Учитывая (19) и (22), уравнения (15) и (16) принимают вид:

${\tilde{y}}_t=\chi E_t{\tilde{y}}_{t+1}+(1-\chi ){\mathrm{\Xi }}^2{\tilde{y}}_{t-1}-\left[{\omega }_a(r_t-\chi E_t{\pi }_{H,t+1}-(1-\chi ){\mathrm{\Xi }}^2{\pi }_{H,t-1}-r_{n,t})\right]/\sigma +{\epsilon }_{\tilde{y},t}$, (23)

${\pi }_{H,t}=\beta (\chi E_t{\pi }_{H,t+1}+(1-\chi \left){\mathrm{\Xi }}^2{\pi }_{H,t-1}\right)+{\kappa }_a{\tilde{y}}_t+{\epsilon }_{\pi ,t}$. (24)

Агенты с длинным горизонтом прогнозирования (LHF — long-horizon forecasters), согласно (Massaro, 2013), формируют свои убеждения на основе предыдущих представлений (Diks, Weide, 2005). Предиктор (параметр прогнозирования) каждого агента ${\theta }_{i,t}\in \mathrm{\Theta } \forall i\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ оценивается в соответствии с квадратом ошибки предыдущего прогноза. Убеждения LHF-агентов распределены по нормальному закону, эволюция которого характеризуется средним значением, равным $y_{t-1}$, и конечной дисперсией, уменьшающей разницу в представлениях и действиях агентов.

Агрегируя данные в популяции LHF-агентов, получаем

$\underset{\chi }{\overset{1}{\int }}{E}_{i,t}^L{y}_{t+1}f\left(i\right)di=(1-\chi )\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{\theta }_{i,y,t}f\left(i\right)di=(1-\chi ){\alpha }_b{y}_{t-1}$, (25)

где $E_t^L{y}_s={\alpha }_b^{s-t}{\theta }_{y,t}$, $s\in [t,\mathrm{\infty }]$, и, соответственно, $E_t^L{y}_{t+1}={\alpha }_b{\theta }_{y,t}$; $E_t^L{\sum }_{s=t}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{s-t}{y}_s={\theta }_{y,t}/\left(1-{\alpha }_b\beta \right)$; ${\alpha }_b$ — параметр, характеризующий меру межвременной ограниченной рациональности⁹.

Учитывая (25), уравнения (17)–(18) принимают вид¹⁰:

$\begin{array}{c}{\tilde{y}}_t=\chi E_t\sum _{s=t}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{s-t}\left[(1-\beta ){\tilde{y}}_s-\beta /\sigma (r_s-{\pi }_{H,s+1}-r_{n,s})\right]+(1-\chi )\left[{\tilde{y}}_{t-1}\right.-\left\{\beta \left[\right(1-\beta \left)\right(r_t-r_{n,t})+\right.\\ +\left.{\alpha }_b\beta (r_{t-1}-r_{n,t-1})-{\alpha }_b{\pi }_{H,t-1}\right\}/\left.\sigma (1-\beta )\right]+{\epsilon }_{\tilde{y},t},\end{array}$ (26)

${\pi }_{H,t}=\chi E_t\sum _{s=t}^{\mathrm{\infty }}(\theta \beta {)}^{s-t}(\left[1-\theta )\beta {\pi }_{H,s+1}+{\kappa }_a{\tilde{y}}_s\right]+(1-\chi )\left[\frac{{\alpha }_b{\kappa }_a}{1-{\alpha }_b\theta \beta }{\tilde{y}}_{t-1}+\frac{{\alpha }_b(1-\theta )\beta }{1-{\alpha }_b\theta \beta }{\pi }_{H,t-1}\right]+{\epsilon }_{\pi ,t}$. (27)

Таким образом, исходные уравнения (1) и (3) модели с рациональными ожиданиями экономических агентов следует заменить на уравнения (23) и (24) для SSF-агентов и (26), (27) — для LHF-агентов. Остальные уравнения модели (1)–(14) остаются прежними.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. ДАННЫЕ И ОЦЕНКА МОДЕЛЕЙ

Так как целью исследования является анализ влияния гетерогенных ожиданий на стабильность и устойчивость моделей, то в работе анализируются параметры трех видов моделей: с рациональными ожиданиями агентов и с ожиданиями в виде краткосрочного и долгосрочного прогнозирований[11]. Параметры определялись методом Байеса на данных российской экономики. Этот метод сочетает процесс калибровки и эконометрического оценивания методом максимального правдоподобия (An, Schorfheide, 2007; Del Negro, Schorfheide, 2008; Geweke, 1999).

Для анализа моделей использовались логарифмы квартальных данных для российской экономики с I квартала 2000 г. по IV квартал 2018 г. по пяти эндогенным макроэкономическим переменным¹²: реальный ВВП (в постоянных ценах 2008 г.), индекс потребительских цен, внутренняя инфляция, эффективный реальный обменный курс рубля и номинальная процентная ставка¹³. Последняя оценивалась по средневзвешенной ставке по кредитам, выданным юридическим лицам. При расчете внутренней инфляции параметр α (степень открытости экономики) принимался равным среднему значению за рассматриваемый период доли импорта в индексе потребительских цен, α = 0,26. Для временного ряда реального ВВП удалялась трендовая составляющая с помощью фильтра первой разности переменных по методике (Gorodnichenko, Ng, 2010) и схемы выбора фильтров (Burnside, 1998). При этом фильтр первой разности переменных сравнивался с односторонним фильтром Ходрика–Прескотта. При сравнении использовались моменты второго порядка. Логарифм сглаженного с помощью фильтра реального ВВП трактуется как показатель разрыва выпуска. Остальные временные ряды получались вычитанием из текущих среднего значения. Циклические компоненты всех рядов трактовались как отклонения от долгосрочного равновесия (стационарного состояния). Значение коэффициента дисконтирования β = 0,99 фиксировалось. Это — стандартный выбор значения для данного коэффициента.

Априорные и апостериорные распределения для структурных параметров модели с рациональными ожиданиями (RE), модели с краткосрочным (SSF) и долгосрочным прогнозированием (LHF) показаны в табл. 1. Априорные распределения центрированы на значениях калиброванных параметров работы (Gali, Monacelli, 2005), кроме $\chi$ и$\Xi$. Значения последних выбраны, как в (Branch, McGough, 2009; Massaro, 2013). Символами ${\sigma }_{{\epsilon }_a}, {\sigma }_{{\epsilon }_a}^{\mathrm{*}}, {\sigma }_{{\epsilon }_y}^{\mathrm{*}}, {\sigma }_{{\epsilon }_{\mathrm{\pi }}}^{\mathrm{*}}$ обозначены стандартные отклонения соответствующих шоков. Из данных табл. 1. следует, что значения апостериорных оценок параметров модели SSF более близки к таковым для модели с рациональными ожиданиями по сравнению с моделью LHF. Логарифм функции маргинального правдоподобия для модели SSF больше, чем для модели с рациональными ожиданиями, и намного превышает значение для модели LHF, т.е. модель SSF более соответствует эмпирическим данным по сравнению с другими моделями.

 

Таблица 1. Априорные и апостериорные оценки параметров исследуемых моделей

Параметр	Априорное распределение	Апостериорное распределение
		RE	SSF	LHF
	Тип (функция)	Среднее	Среднее	Среднее	Среднее
$\phi$	Гамма	2,000 (0,500)	2,025 (0,487)	2,016 (0,616)	2,421 (0,413)
${\phi }_{\mathrm{\pi }}$	Гамма	1,500 (0,500)	1,786 (0,356	2,225 (0,567)	2,216 (0,569)
${\phi }_{\tilde{y}}$	Гамма	0,360 (0,125)	0,411 (0,090)	0,490 (0,143)	0,511 (0,183)
${\phi }_q$	Гамма	0,800 (0,250)	1,102 (0,412)	1,115 (0,454)	0,789 (0,367)
${\alpha }_b$	Бета	0,500 (0,200)	–	–	0,709 (0,211)
$\Xi$	Гамма	0,600 (0,200)	–	0,398 (0,183)	–
$\theta$	Бета	0,700 (0,200)	0,711 (0,178)	0,762 (0,186)	0,856 (0,167)
$\eta$	Гамма	1,000 (0,500)	0,911 (0,454)	0,841 (0,467)	0,869 (0,609)
$\sigma$	Гамма	1,500 (0,500)	0,976 (0,309)	1,643 (0,289)	1,331 (0,421)
$\rho$	Бета	0,500 (0,125)	0,672 (0,167)	0,693 (0,151)	0,811 (0,131)
${\rho }_a$	Бета	0,800 (0,100)	0,703 (0,178)	0,705 (0,187)	0,756 (0,167)
${\rho }_{\psi }$	Бета	0,800 (0,100)	0,803 (0,146)	0,805 (0,177)	0,896 (0,187)
${\rho }_{a^{\mathrm{*}}}$	Бета	0,800 (0,100)	0,816 (0,181)	0,894 (0,178)	0,910 (0,193)
${\rho }_{y^{\mathrm{*}}}$	Бета	0,800 (0,100)	0,817 (0,161)	0,777 (0,174)	0,856 (0,148)
${\rho }_{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{*}}}$	Бета	0,800 (0,100)	0,790 (0,182)	0,745 (0,159)	0,865 (0,168)
${\sigma }_{{\epsilon }_a}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,039 (0,005)	0,046 (0,003)	0,065 (0,006)
${\sigma }_{{\epsilon }_{\psi }}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,022 (0,006)	0,048 (0,004)	0,068 (0,006)
${\sigma }_{{\epsilon }_{\mathrm{\pi }}}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,023 (0,003)	0,041 (0,007)	0,062 (0,009)
${\sigma }_{{\epsilon }_r}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,027 (0,004)	0,052 (0,006)	0,069 (0,009)
${\sigma }_{{\epsilon }_a^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,018 (0,005)	0,016 (0,006)	0,022 (0,007)
${\sigma }_{{\epsilon }_y^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,019 (0,003))	0,019 (0,002))	0,029 (0,009))
${\sigma }_{{\epsilon }_{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}$	Обратная гамма	0,040 (2,000)	0,077 (0,009)	0,076 (0,007)	0,081 (0,007)
Логарифм предельного правдоподобия	343,32	365,54	332,43

Примечание. В скобках указаны значения стандартных отклонений.

 

Для более полной картины в табл. 2. приведены значения стандартного отклонения для эмпирических данных и временных рядов соответствующих переменных трех моделей. Как видно из этой таблицы, стандартные отклонения переменных для модели SSF ближе к эмпирическим данным по сравнению с моделями RE и LHF.

 

Таблица 2. Значения стандартного отклонения для эмпирических данных и переменных исследуемых моделей

Временной ряд	Данные	RE	SSF	LHF
Разрыв выпуска	0,0165	0,0187	0,0149	0,0352
Индекс потребительских цен	0,0032	0,0039	0,0041	0,0079
Внутренняя инфляция	0,0023	0,0035	0,0032	0,0048
Эффективный реальный обменный курс рубля	0,0054	0,0031	0,0061	0,0090

 

4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛЬНОСТИ МОДЕЛИ

В байесовском подходе определение области детерминированности модели является принципиальным шагом. Поэтому необходимо расширить и исследовать пространство всего спектра параметров, чтобы обнаружить те, которые приводят уравнения к неопределенным или нестабильным областям. В дальнейшем изложении под детерминированностью будет подразумеваться существование единственного решения исследуемой системы уравнений. Недетерминированность означает наличие неопределенности (множество решений) и нестабильности (решения взрывного характера).

Влияние параметров анализируемой модели на ее детерминированность численно проверялось с помощью отображения фильтрации Монте-Карло (MCF), позволяющая исследовать большое пространство параметров. Отображение MCF является процедурой обнаружения параметров, которые способны привести модель в неопределенные и нестабильные области (Ratto, 2008; Saltelli et al., 2004). Эта процедура выполняет многопараметрическое моделирование методом Монте-Карло выборки параметров модели (????₁,..., ????_????) из априорных диапазонов и анализирует чувствительность уравнений модели к изменению параметров.

Преимущество MCF-отображения по сравнению со стандартным анализом устойчивости систем уравнений в пространстве состояний (путем анализа собственных значений матрицы) заключается в том, что посредством этого метода можно анализировать весь спектр параметров модели одновременно. Это позволяет применять данную процедуру при анализе средне- и многомерных моделей.

Выполняя моделирование методом Монте-Карло выборки значений параметров модели из априорных диапазонов, получаем для каждого параметра $X_i, i=1, ..., k$ два подмножества значений — ( $X_i|B$ ) размером $n$ и ( $X_i|\overline{B}$ ) размером $\overline{n}$ ; $n+\stackrel{-}{n}=N$, где $N$ — общий размер выборки, сформированной методом Монте-Карло. Эти два подмножества значений параметров распределены в соответствии с функциями плотности вероятности $f_n\left(X_i\right|B)$ и $f_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$. Соответствующими кумулятивными функциями распределения являются $F_n\left(X_i\right|B)$ и $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|B).$.

Если функции $F_n\left(X_i\right|B)$ и $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$ различаются для данного параметра $X_i$, то данный параметр может стать причиной «плохого поведения» модели, если его значение попадает в область подмножества $\stackrel{-}{B}$. Форма функции $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$ определяет, какие значения параметра порождают такое поведение модели. Если функция $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$ находится левее функции $F_n\left(X_i\right|B)$, это означает, что скорее всего маленькие значения параметра $X_i$ вызовут попадание уравнений в область неопределенности. Если функция F$F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$ находится правее функции $F_n\left(X_i\right|B)$, то большие значения параметра $X_i$ будут отвечать за попадание уравнений в область неопределенности.

Для получения численных результатов тестируется статистика, которая определяет наибольшее расстояние между функциями $F_n\left(X_i\right|B)$ и $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$. Формально (так называемая) d-статистика Смирнова–Колмогорова определяется как

$d_{n,\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right)=\sup \left|\right|F_n\left(X_i\right|B)-F_{\stackrel{-}{n}}(X_i\left|\stackrel{-}{B}\right)\left|\right|$.

Статистика Смирнова–Колмогорова используется для тестирования гипотезы, при каком уровне значимости p вычисленное значение $d_{n,\stackrel{-}{n}}$ определяет отклонение нулевой гипотезы $F_n\left(X_i\right|B)=F_{\stackrel{-}{n}}(X_i\left|\stackrel{-}{B}\right)$ в пользу альтернативной $F_n\left(X_i\right|B)\ne F_{\stackrel{-}{n}}(X_i\left|\stackrel{-}{B}\right)$.

В табл. 3 представлены значения d-статистики Смирнова–Колмогорова для исследуемых моделей¹⁴. Как следует из полученных данных, ответственными за устойчивость и стабильность моделей являются параметры, связанные с монетарной политикой и ожиданиями агентов. При этом значения $d_{n,\stackrel{-}{n}}$ моделей с рациональными ожиданиями (RE) для областей с детерминированным и неопределенным поведением совпадают. Области с нестабильным поведением для этих моделей отсутствуют. Кроме того, для модели с рациональными ожиданиями агентов значимым оказался только параметр ${\varphi }_{\pi }$, характеризующий реакцию процентной ставки на изменение внутренней инфляции. При этом модели с рациональными ожиданиями, как уже отмечалось выше, более стабильные по сравнению с моделями с гетерогенными ожиданиями агентов. Соответственно, SSF-модели более устойчивы по сравнению с моделями LHF (табл. 3).

 

Таблица 3. Значения статистики Смирнова–Колмогорова для значимых параметров исследуемых моделей

Параметр	Детерминированность поведения	Нестабильность поведения	Неопределенность поведения
	RE	SSF	LHF	SSF	LHF	RE	SSF	LHF
${\varphi }_{\pi }$	0,411* (0,000)	0,212* (0,000)	0,242* (0,000)	0,062* (0,000)	0,132* (0,000)	0,354* (0,000)	0,729* (0,000)	0,514* (0,000)
$\chi$	–	0,332* (0,000)	0,311* (0,000)	0,332* (0,000)	0,265* (0,000)	–	0,632* (0,000)	0,363* (0,000)
$\Xi$	–	0,514* (0,000)		0,621* (0,000)		–	0,143* (0,000)
${\alpha }_b$	–	–	0,567* (0,000)		0,654* (0,000			0,667* (0,000)
${\phi }_{\tilde{y}}$	0,015 (1,000)	0,025 (0,561)	0,051 (0,516)	0,014 (1,000)	0,039 (0,883)	0,010 (1,000)	0,165 (0,298)	0,186 (0,212)
${\phi }_q$	0,010 (1,000)	0,012 (1,000)	0,011 (1,000)	0,012 (1,000)	0,013 (1,000)	0,011 (1,000)	0,032 (1,000)	0,096 (0,811)
Доля областей с соответствующим поведением для исследуемых моделей, %	68	59	48	37	39	32	4	3

Примечание. Символом «*» обозначены значимые значения d-статистики. В скобках указаны значения уровня значимости p. Остальные структурные параметры (табл. 1) являются незначимыми для всех трех моделей.

 

Для SSF- и LHF-моделей значения $d_{n,\stackrel{-}{n}}$ для областей с детерминированным и неопределенным поведением не совпадают. В этих моделях присутствуют области нестабильного поведения, где решения имеют взрывной характер. Причем процентная доля этих областей — намного выше по сравнению с долей областей с неопределенным поведением (см. табл. 3). Для этих моделей значимыми и определяющими поведение модели будут параметры ${\varphi }_{\pi }, \chi$ и $\mathrm{\Xi }$. Для модели SSF при уровне значимости меньше двух процентов недетерминированное поведение модели может определять также σ — параметр, обратный эластичности межвременного замещения потребления.

Анализ показал, что параметры ϕ${\varphi }_{\tilde{y}}$, ${\varphi }_q$ не значимы для поведения всех трех видов моделей¹⁵, т.е. реакция процентной ставки на разрыв выпуска и изменение реального эффективного обменного курса не будет определяющей для поведения моделей. Замена эффективного реального обменного курса на номинальный в уравнении (10) действительно привела к тому, что параметр, определяющий реакцию процентной ставки на изменение номинального курса, оказался значимым для всех исследуемых моделей. Но при этом резко снизилась доля областей с детерминированным поведением. Например, для моделей с SSF и LHF эта доля составляла меньше 12%. Поэтому авторы не приводят данной статистики.

Как отмечалось выше, переменные зарубежного объема выпуска $y_t^{\mathrm{*}}$ и инфляции ${\pi }_t^{\mathrm{*}}$ являются экзогенными (уравнения (12)–(13)). Замена этих переменных на эндогенные¹⁶ приводит к тому, что во всех моделях дополнительным к вышеназванным значимым для поведения моделей параметром становится реакция зарубежной процентной ставки на изменение инфляции в остальном мире (правило Тейлора для остального мира).

Частичная визуализация полученных результатов показана на рис. 1 (модель с рациональными ожиданиями агентов) и рис. 2 (модель SSF). Хорошо заметно, что только параметр реакции процентной ставки на изменение внутренней инфляции определяет детерминированность поведения для модели с рациональными ожиданиями агентов. Для этого параметра функции $F_n\left(X_i\right|B)$ и $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$ не совпадают, и характер их поведения свидетельствует о том, что детерминированное поведение модели существует при значении данного параметра больше единицы. Двумерные проекции двух областей пространства параметров также приведены на рис. 1.

 

Рис. 1. Двумерные проекции параметров с областями детерминированности модели с рациональными ожиданиями агентов

Примечание. Области детерминированности окрашены черным цветом, неопределенности — серый цвет. По диагонали показаны графические результаты теста Смирнова–Колмогорова для анализа стабильности решений. Черная сплошная линия — $F_n\left(X_i\right|B),$, серая пунктирная — $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$. Коэффициенты ${\phi }_{\pi }$ и ${\phi }_q$ характеризуют реакцию процентной ставки на изменение внутренней инфляции и реального эффективного обменного курса соответственно. Определение остальных параметров дано в описании модели.

 

Рис. 2. Двумерные проекции значимых параметров с областями детерминированности модели SSF

Примечание. Области детерминированности окрашены черным цветом, недетерминированности — серый цвет. По диагонали — графические результаты теста Смирнова–Колмогорова для анализа стабильности решений. Черная сплошная линия — $F_n\left(X_i\right|B),$, серая пунктирная — $F_{\stackrel{-}{n}}\left(X_i\right|\stackrel{-}{B})$; ${\varphi }_{\pi }$ — коэффициент, характеризующий реакцию процентной ставки на изменение внутренней инфляции; $\chi$ — доли агентов с рациональными ожиданиями и $\Xi$ — параметр адаптации.

 

На рис. 2 показаны результаты для модели SSF. Из проекций видно, что все три приведенных параметра являются значимыми для детерминированного поведения модели. По характеру формы (степени изгиба) этих функций можно сделать выводы о количественных значениях параметров, определяющих детерминированность поведения. Например, значение параметра адаптации KSI для приемлемого поведения модели должно быть меньше единицы. Аналогичные рассуждения приводят к выводам, что значение параметра Ξ для детерминированного поведения модели должно быть больше 0,6, а параметра ${\phi }_{\pi }$ — больше 2. Это означает, что реакция процентной ставки на изменение уровня внутренней инфляции в моделях с гетерогенными ожиданиями должна быть более значительной по сравнению с аналогичной реакцией для модели с рациональными ожиданиями агентов. Аналогичный вид имеют двумерные проекции значимых параметров для моделей LHF, поэтому они не приводятся. Все приведенные результаты подтверждаются апостериорными оценками для этих параметров в табл. 1.

Таким образом, процедура отображения MCF оказывается очень полезной при выборе политики выбора определенных правил, позволяющих манипулировать значимыми макропеременными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье анализировалось влияние ограниченной рациональности агентов на стабильность и устойчивость исследуемой модели с открытой экономикой при одновременном сканировании всего спектра модельных параметров. Исследование устойчивости и стабильности проведено с помощью численной процедуры отображения фильтрации Монте-Карло (MCF). Анализ показал, что реакция процентной ставки на изменение разрыва выпуска и изменение реального эффективного обменного курса не влияет на детерминированное поведение исследуемых моделей открытой экономики. Реакция процентной ставки на изменение номинального эффективного обменного курса оказалась значимой для детерминированного поведения модели, но при этом стабильность и устойчивость моделей резко уменьшается. Однако отличие от цитированных в статье работ состоит в том, что разрыв выпуска не стал значимой переменной для устойчивости модели.

Исследование показало, что реакция процентной ставки на изменение уровня внутренней инфляции в моделях с гетерогенными ожиданиями должна быть более значительной по сравнению с аналогичной реакцией для модели с рациональными ожиданиями агентов.

MCF-анализ продемонстрировал, что инкорпорирование гетерогенных ожиданий снижает стабильность и устойчивость моделей. При этом модель, основанная на предикторах долгосрочного прогнозирования (LHF), менее стабильна по сравнению с другими моделями (RE и SSF). Важным результатом является существенная доля областей с нестабильным поведением моделей SSF и LHF, где решения характеризуются взрывным характером. Все приведенные результаты подтверждаются апостериорными оценками для этих параметров.

 

¹ Пояснение понятий стабильности и устойчивости приведено в разделе 4.

² В дальнейшем индекс z-домохозяйств будет опускаться ввиду их репрезентативности.

³ В отличие от модели в работе (Galí, Monacelli, 2005) в исследуемой модели присутствуют серийно коррелированные шоки предпочтений домашних хозяйств, приводящие к шокам в разрыве выпуска (уравнение (1)).

⁴ В дальнейшем верхний индекс «*» относится к мировой экономике.

⁵ Инфляция, измеряемая индексом цен на отечественную продукцию. Этот термин используется в зарубежных публикациях и в отчетах Банка России.

⁶ В разд. 3 будет рассмотрено, к каким изменениям в устойчивости модели приводит замена эффективного реального обменного курса на эффективный номинальный обменный курс.

⁷ В разд. 3 показано, к каким изменениям в устойчивости модели приводит данное упрощение модели.

⁸ Подробный вывод представлен в работе (Massaro, 2013).

⁹ В статье (Massaro, 2013) параметр αb = 1.

¹⁰ С более подробным выводом уравнений (26) и (27) можно ознакомиться в (Massaro, 2013).

¹¹ Все расчеты проводились с использованием пакета прикладных программ «Matlab».

¹² Источником данных являются официальные сайты Росстата и ЦБ.

¹³ Так как число шоков модели превышает число наблюдаемых переменных, дополнительно проводилась идентификация параметров модели.

¹⁴ Приведены значения статистики только для значимых параметров моделей и параметров, связанных с монетарной политикой.

¹⁵ Незначимость реакции процентной ставки на разрыв выпуска в контексте детерминированности для исследуемых моделей является отличием от работ (Branch, McGough, 2009; Massaro, 2013).

¹⁶ Ввиду ограниченного формата публикации эти уравнения не приводятся.

About the authors

Leonid A. Serkov

Perm National Research Polytechnic University

Email: emm@cemi.rssi.ru

Старший научный сотрудник

Bouvet Island, Perm, Komsomolsky pr., 29

Sergey S. Krasnykh

Perm National Research Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: emm@cemi.rssi.ru
ORCID iD: 0000-0002-2692-5656

Младший научный сотрудник

Russian Federation, Perm, Komsomolsky pr., 29

References