Вырожденные случаи в дискретных динамических системах Лотки-Вольтерры

Цель работы — исследование асимптотического поведения траекторий внутренних точек дискретных динамических систем Лотки–Вольтерры с вырожденными кососимметрическими матрицами, действующих в двумерном и трехмерном симплексах. Оказалось, что в ряде прикладных задач возникают отображения Лотки–Вольтерры именно такого типа, и точки симплекса в этом случае рассматриваются как состояния исследуемой системы. При этом отображение, сохраняющее симплекс, определяет дискретный закон эволюции данной системы. Для произвольной начальной точки мы можем построить последовательность — орбиту, определяющую ее эволюцию. И если в этом случае отображение является автоморфизмом, то мы можем определить как положительную, так и отрицательную орбиту для рассматриваемой точки. При этом особый интерес вызывают предельные множества положительных и отрицательных орбит. Методы. Известно, что для отображений Лотки–Вольтерры можно определить предельные множества, которые в случае невырожденных отображений состоят из единственной точки. В настоящей работе мы определяем эти множества для вырожденных отображений Лотки–Вольтерры с помощью построения функции Ляпунова и анализа спектра якобиана. Отметим, что эти множества позволяют описать динамику рассматриваемых систем. Результаты. Учитывая, что рассматриваемые в статье отображения являются автоморфизмами, для них с помощью функций Ляпунова и анализа спектра якобиана построены множества предельных точек как положительной, так и отрицательной траекторий и доказано, что в вырожденном случае эти множества являются бесконечными. Также в работе показано, что вырожденным отображениям можно поставить в соответствие частичноориентированные графы, с помощью которых можем наглядно увидеть фазовый портрет траекторий внутренних точек. Заключение. Вырожденные случаи отображений Лотки–Вольтерры до наc другими авторами рассмотрены не были. Эти отображения интересны тем, что их можно рассматривать как дискретные модели эпидемиологических ситуаций, в частности, для исследования течения вирусных инфекций, передающихся воздушно-капельным путем. Результаты, полученные в работе, дают подробное описание динамики траекторий отображений Лотки–Вольтерры с вырожденными матрицами. Кроме того, для рассматриваемых систем в целях наглядного представления динамики эпидемиологических ситуаций были построены частично-ориентированные графы.  

Отображение Лотки–Вольтерры, орбита, функция Ляпунова, частично–ориентированный граф