Conical bodies with star-shaped transverse contour having the minimum wave drag

Full Text

В диапазоне сверхзвуковых скоростей волновое сопротивление, связанное с объемом тела, составляет значительную долю суммарного аэродинамического сопротивления, что объясняет интерес к исследованиям, определяющим направления его уменьшения. Одно из таких направлений — переход к телам с неосесимметричным поперечным сечением.

Первые результаты, подтверждающие возможность уменьшения сопротивления, были получены для тел эллиптической и пирамидальной формы [1, 2]. Допущения, основанные на локальной модели Ньютона, позволили сформулировать и решить вариационную задачу построения поперечного контура тела минимального волнового сопротивления [3, 4].

Установлено, что оптимальные тела имеют звездообразную форму. Лучи стыкуются друг с другом непосредственно или через дуги окружности. Волновое сопротивление тела уменьшается при увеличении расстояния между конусами, которые охватывают лучи. Геометрической особенностью тел является заостренность лучей, половинки каждого луча соединяются под нулевым углом в окрестности вершины. Данная особенность звездообразных конфигураций устраняется при введении в анализ составляющей сопротивления, обусловленной трением [5]. Аналогичные результаты получены в случае совместной минимизации сопротивления тела и его нагрева [6].

Основные теоретические заключения были подтверждены экспериментальными и численными исследованиями. При этом наибольшее внимание уделялось звездообразным телам с плоскими гранями лучей, для которых достигается значительное уменьшение лобового сопротивления по сравнению с конусом, в том числе с учетом донного давления [7–9].

Для практического использования положительных свойств звездообразных тел важно обеспечить плавное сопряжение носовой части с центральной частью корпуса, которая может иметь произвольное поперечное сечение. Первые результаты были получены для носовых частей с линейчатой поверхностью, примыкающих к осесимметричному корпусу, с положительным эффектом в широком диапазоне скоростей [10]. Для задачи минимизации полного сопротивления общее решение в приближении локального взаимодействия и постоянства коэффициента трения представлено в исследованиях [11–13].

Точность модели Ньютона снижается при уменьшении числа Маха. В диапазоне малых и умеренных сверхзвуковых скоростей более надежные результаты получаются в рамках модели Эйлера. При этом на основе локального анализа можно аппроксимировать соотношения, связывающие газодинамические и геометрические параметры, и определить вариации формы, направленные на улучшение аэродинамических характеристик. Для задач, связанных с построением осесимметричных носовых частей с минимальным волновым сопротивлением, установлено согласование результатов, полученных в рамках модели Ньютона и локального анализа [14–16].

В частности, обе модели показывают, что степенные и усеченные степенные тела близки к оптимальным конфигурациям. Объединение решений сопровождается выделением основных геометрических параметров, число которых предельно уменьшено, что упрощает последующую прямую численную оптимизацию. Данный подход развит и применен к построению тел со звездообразным поперечным сечением.

1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

Рассматривается задача построения контура поперечного сечения конического тела, имеющего минимальное волновое сопротивление при условии сохранения длины и площади миделевого сечения. В качестве исходного тела принят конус равной длины и объема. Тело обтекается под нулевым углом атаки, давление на донном срезе принимается равным давлению в набегающем потоке. Таким образом минимизируется единственная составляющая аэродинамического сопротивления — волновое сопротивление, связанное с объемом. Определяющими параметрами являются число Маха М, которое характеризует условия в набегающем потоке, и основная геометрическая характеристика λ — удлинение тела. В представленном исследовании длина тела принята за единицу линейного размера, удлинение тела вычисляется по радиусу R миделевого сечения исходного конуса, λ = 1/(2R).

Форма контура описывается зависимостью радиуса r в миделевом сечении от угла φ, образованного радиусом и вертикальной плоскостью. Увеличению угла соответствует обход по часовой стрелке при виде на тело сзади. Следуя условию замкнутости контура поперечного сечения, считаем, что контур составлен из N (натуральное число) симметричных циклов. Каждый цикл занимает сектор с углом 2π/N и имеет симметричные половинки, соответствующие увеличению и уменьшению радиуса в направлении возрастания угла. Для построения контура достаточно определить зависимость r(φ) в одной из половинок. Далее будем рассматривать половинку цикла в угловом секторе, ограниченном углами φ₀ = 0 и φ_N = π/N.

Целевая функция — коэффициент волнового сопротивления тела С_х, который определяется интегрированием сил давления по наветренной поверхности. Для исходного конуса коэффициент сопротивления равен коэффициенту давления на поверхности С_хк = С_pк. Предполагаем, что при изменении формы поперечного сечения конуса справедлива локальная зависимость между геометрическими параметрами и давлением на поверхности. Геометрическими параметрами являются приращение радиуса y = r - R и его производная y ′ по углу φ.

Можно показать, что линейной аппроксимации зависимости коэффициента давления от геометрических параметров недостаточно для решения вариационной задачи. Квадратичная аппроксимация в рамках локального анализа записывается следующим образом:

$C_p=C_{pк}+Dy+E{y}^{\text{'}}+0.5A{y}^2+By{y}^{\text{'}}+0.5C{y^{\text{'}}}^2.$

Здесь, C, D, E, A, B – первые и вторые производные коэффициента давления по y и y ′. Из условий симметрии очевидно, что производные E и B равны нулю. В то же время эти производные не входят в итоговый первый интеграл уравнения Эйлера. Для тел большого удлинения приближенные значения производных по приращению радиуса можно определить с помощью метода локальной линеаризации. Он оказался эффективным при построении оптимальных осесимметричных тел [14].

Метод ограничивается рассмотрением вариаций формы тела в плоскости, задаваемой вектором скорости и нормалью к элементу поверхности, и не позволяет определить соотношения, связывающие изменение коэффициента давления с изменением производной y ′. Поэтому он должен быть дополнен прямым численным вычислением производной C для конкретных условий, определяемых числом Маха и удлинением.

Для целевой функции имеем следующее выражение:

$C_x=\frac{1}{{\phi }_N{R}^2}\underset{0}{\overset{{\phi }_N}{\int }}(C_{pк}+Dy+0.5A{y}^2+0.5C{y^{\text{'}}}^2){(R+y)}^{2}d\phi .$

Условие сохранения площади миделевого сечения определяется соотношением

$\underset{0}{\overset{{\phi }_N}{\int }}{(R+y)}^{2}d\phi ={\phi }_N{R}^2.$

Переход к безусловной минимизации осуществляется введением функции Лагранжа L с неизвестным множителем μ:

$L=\underset{0}{\overset{{\phi }_N}{\int }}(C_{pк}+Dy+0.5A{y}^2+0.5C{y^{\text{'}}}^2+\mu ){(R+y)}^{2}d\phi .$

Для экстремали y(φ) функции Лагранжа должно выполняться необходимое условие оптимальности, определяемое уравнением Эйлера. Основная функция функционала не содержит в явном виде независимую переменную φ, что позволяет записать первый интеграл уравнения Эйлера:

$(C_{pк}+Dy+0.5A{y}^2-0.5C{y^{\text{'}}}^2+\mu ){(R+y)}^2=const.$

Вернемся к исходной переменной r и ее производной r ′:

$\left\{\begin{array}{l}\left(F+2(D-AR)r+A{r}^2-C{r^{\text{'}}}^2\right)r^2=const;\\ F=2\left(C_{pк}-DR+\mu \right)+A{R}^2.\end{array}\right.$

Для определения неизвестной константы можно использовать значения r₁ и r₁′ в произвольной точке φ₀ ≤ φ₁ ≤ φ_N:

${r^{\text{'}}}^2=\frac{F}{C}\left(1-\frac{r_1^2}{r^2}\right)+2\frac{D-AR}{C}{r}_1\left(\frac{r}{r_1}-\frac{r_1^2}{r^2}\right)+\frac{A}{C}{r}_1^2\left(\frac{r^2}{r_1^2}-\frac{r_1^2}{r^2}\right)+{r^{\text{'}}}_1^2\frac{r_1^2}{r^2}.$ (1.1)

Решение (1.1) содержит два типа экстремалей. Первый тип представляет собой дугу окружности с центром на оси исходного конуса. В частности, дуга может соответствовать минимальному или максимальному допустимому значению радиуса. Второй тип — экстремали с изменяющимися значениями радиуса r и производной r ′. Половинка цикла может быть образована произвольным числом указанных экстремалей. В соответствии с условием Эрдмана–Вейерштрасса в точке стыковки экстремалей производные радиуса совпадают по абсолютному значению.

Решение определяется заданием радиуса и производной в одной из точек экстремали и трех параметров (F/C, (D - AR)/C, A/C), и должно обеспечивать выполнение условия сохранения площади миделевого сечения. При этом можно отказаться от вычисления конкретных значений производных коэффициента давления, использованных при постановке задачи. Это полностью согласуется с другими решениями, полученными на основе метода локальной линеаризации. Например, при построении осесимметричного тела с минимальным волновым сопротивлением [14] в постановке задачи в качестве исходных параметров использовались давления на торце и поверхности конуса и производная давления по радиусу.

В результате анализа полученного решения были выделены два геометрических параметра, экстремальные значения которых, конечно, могли быть определены с помощью исходных параметров. Однако с учетом предельного уменьшения числа геометрических параметров оказалось возможным отказаться от сделанных допущений и провести прямое варьирование в рамках численного расчета аэродинамических характеристик.

Далее ограничимся случаем, когда половинка цикла содержит два элемента, состыкованных при φ = φ₁. При этом условимся, что радиус имеет максимальное значение при φ₀, а минимальное — при φ_N. Первый элемент (φ ≤ φ₁) представляет собой боковую поверхность луча с монотонным убыванием радиуса в пределах r₁ ≤ r ≤ r₀. Второй элемент (φ ≥ φ₁) — дуга окружности с радиусом r₁. Если φ₁ = φ_N, то второй элемент отсутствует.

Заметим, что при проведении численной оптимизации необходимо предусмотреть возможность построения тел с негладкой (с разрывом производной) стыковкой элементов. Нарушение гладкости обусловлено изменением модели течения (например, модель Эйлера вместо модели локальной линеаризации). Таким образом, в общем случае условие Эрдмана –Вейерштрасса r₁′ = 0 не будет выполняться.

2. ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕШЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ НА ОСНОВЕ ЛОКАЛЬНОГО АНАЛИЗА И МОДЕЛИ НЬЮТОНА

Представленное исследование направлено на установление характерных особенностей оптимальных конфигураций и выделение основных геометрических параметров. Поэтому для дальнейшего упрощения решения (1.1) проведен его анализ и сопоставление с аналогичными решениями, полученными в рамках модели Ньютона.

Предположим, что известны значения производных r₀′ и r₁′ в точках φ₀ и φ₁. Тогда для первого элемента половинки цикла из (1.1) получаем

$\left\{\begin{array}{l}r{\text{'}}^2=\left(r{\text{'}}_1^2-\frac{F}{C}-2\frac{D-AR}{C}{r}_1-\frac{A}{C}{r}_1^2\right)\frac{r_1^2}{r^2}+\frac{F}{C}+2\frac{D-AR}{C}r+\frac{A}{C}{r}_{}^2;\\ \frac{F}{C}=\left[r{\text{'}}_1^2-r{\text{'}}_0^2\frac{r_0^2}{r_1^2}-2\frac{D-AR}{C}{r}_0\left(\frac{r_1}{r_0}-\frac{r_0^2}{r_1^2}\right)-\frac{A}{C}{r}_0^2\left(\frac{r_1^2}{r_0^2}-\frac{r_0^2}{r_1^2}\right)\right]/\left(1-\frac{r_0^2}{r_1^2}\right).\end{array}\right.$ (2.1)

Соотношения упрощаются в предельном случае  который соответствует лучам с большим перепадом высот:

$\left\{\begin{array}{l}r{\text{'}}^2=r{\text{'}}_1^2\frac{r_1^2}{r^2}+\frac{F}{C}+2\frac{D-AR}{C}r+\frac{A}{C}{r}_{}^2;\\ \frac{F}{C}+2\frac{D-AR}{C}{r}_1+\frac{A}{C}{r}_1^2=0.\end{array}\right.$

Данный случай наиболее интересен, поскольку волновое сопротивление тела уменьшается с ростом расстояния между конусами, ограничивающими лучи. При этом на значительной части боковой поверхности луча  и выполняется приближенное соотношение

$r{\text{'}}^2=2\frac{D-AR}{C}r+\frac{A}{C}{r}_{}^2.$

В зависимости от удлинения исходного конуса и соотношения между производными коэффициента давления возможно преобладание одного из слагаемых. В случае тел большого удлинения в рассмотрении остается член с меньшим показателем степени. Учитывая принятое условие монотонного убывания радиуса при увеличении угла φ, находим

$r\text{'}=-\sqrt{2\frac{D-AR}{C}r}.$ (2.2)

Сопоставим найденное локальным анализом решение с результатами, полученными в рамках модели Ньютона. Для тонких тел установлена зависимость [4]

$r\text{'}=-T\frac{r{}^3}{\sqrt{r_0^2-r^2}},$

где T — положительная константа.

На части экстремали выполняется условие $r\ll r_0,$ и зависимость упрощается:

$r\text{'}=-\left(T/r_0\right)r{}^3.$ (2.3)

Для отрезка, лежащего на плоской боковой поверхности луча звездообразного тела с полууглом δ при вершине, изменение радиуса по углу φ определяется зависимостью

$r=\frac{r_0}{\cos \phi \left(1+tg\phi /tg\delta \right)}.$

Выполнив дифференцирование, получаем

$r\text{'}=-\frac{\cos \phi \left(1-tg\phi \cdot tg\delta \right)}{r_{0}tg\delta }{r}^2.$

Соотношение упрощается в случае большого числа циклов и большой высоты волны, когда углы φ и δ имеют малые значения и можно заменить числитель единицей

$r\text{'}=-\frac{1}{r_{0}tg\delta }{r}^2.$ (2.4)

Общей особенностью теоретических решений (2.2)–(2.4) является степенная зависимость производной радиуса от радиуса с изменением показателя степени в пределах от 0.5 до 3. Решения объединяются принятием показателя степени k в качестве искомого геометрического параметра:

$r\text{'}={\mathrm{Pr}}^k,$ (2.5)

где P — константа.

При k ≠ 1 боковая поверхность луча описывается уравнением, полученным интегрированием объединенного решения (2.5) с константами P₁, C₁:

$r=P_1{\left(\phi +C_1\right)}^{1/(1-k)}.$

При k = 1 из решения (6) получается экспоненциальная зависимость с константами P₂, C₂:

$r=C_2{e}^{P_2\phi }.$

С учетом принятых ограничений объединенное решение (2.5) содержит единственный геометрический параметр — показатель степени, значение которого определяется в процессе численной оптимизации.

3. ЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Построение поперечного контура выполнено при М = 2 и λ = 1.3 для тела, образованного четырьмя циклами, при минимальном радиусе r₁ = 0.4R. Оптимизация проводилась при фиксированном значении r₀, которое соответствовало максимальному радиусу звездообразного тела с лучами, имеющими плоские боковые поверхности. Рассмотрены четыре варианта, отвечающие разным значениям угла, при котором состыкованы элементы контура (отрезок прямой и дуга): φ_1pl = 0.25φ_N, 0.5φ_N, 0.75φ_N, φ_N.

Фиксирование максимального значения радиуса обеспечивает корректность сопоставления тел по значениям коэффициента сопротивления, поскольку изменение r₀ непосредственно влияет на C_x и поперечные габариты тела. При этом угол φ₁ стыковки элементов у оптимальных тел не совпадает с φ_1pl. Это обусловлено сохранением площади поперечного сечения независимо от изменения формы луча.

При оптимизации, базирующейся на решении (2.5), константы (P₁, C₁ или P₂, C₂) определяются из граничного условия r = r₀ при φ = φ₀ и условия сохранения площади поперечного сечения. Значение показателя степени k находится в процессе минимизации волнового сопротивления. В случае использования решения (2.1) число независимых переменных увеличивается. Выполняется минимизация целевой функции по трем параметрам.

Течение около тела моделировалось в рамках уравнений Эйлера. Волновое сопротивление вычислялось непосредственным интегрированием сил избыточного давления по поверхности тела. Головной скачок уплотнения не выделялся и размеры расчетной области выбирались таким образом, чтобы создаваемые телом возмущения не достигали внешней границы. При интегрировании уравнений движения применялась маршевая процедура в цилиндрической системе координат [17]. Суммарное число узлов расчетной сетки в поперечном сечении незначительно превышало 25 000.

Сопоставление поперечных сечений построенных оптимальных тел и звездообразного тела с плоскими гранями при φ_1pl = 0.5φ_N представлено на рис. 1.

Рис. 1. Сопоставление контуров тел, φ_1pl = 0.5φ_N: 1 — тело, построенное оптимизацией по трем параметрам; 2 — тело, построенное оптимизацией по одному параметру; 3 — звездообразное тело. с плоскими боковыми поверхностями лучей.

Начало системы координат (x, y) расположено на продольной оси тела, ось y соответствует нулевому значению угла φ, для улучшения зрительного восприятия изменен масштаб по горизонтальной оси. Построенные на основе решений (2.1) и (2.5) тела характеризуются увеличением абсолютного значения производной радиуса по угловой координате в окрестности вершины луча. При этом толщина луча увеличивается в верхней части и уменьшается в нижней части, что наиболее заметно для решения (2.1). Соответственно, увеличивается длина примыкающей к лучу дуги окружности. В представленном случае относительное увеличение длины дуги превышает 50%. Заметим, что отклонение от прямолинейности контура луча приводит к незначительному увеличению площади омываемой поверхности тела. При φ_1pl = 0.5φ_N относительный прирост площади составляет около 1%.

Поперечные сечения полей течения около тел показаны на рис. 2.

Рис. 2. Линии равных значений давления p/p_∞ в поле течения около тел, построенных оптимизацией по трем (а) и одному (б) параметру, и около звездообразного тела с плоскими боковыми поверхностями лучей (в), φ_1pl = 0.5φ_N.

Линии равных значений p/p_∞ давления, отнесенного к давлению в набегающем потоке, построены в пределах ударного слоя с шагом 0.02. Для тела с плоской боковой поверхностью луча характерно постоянство давления на части поверхности, которая выступает за пределы скачка уплотнения, формирующегося при обтекании элемента осесимметричного конуса. Изменение формы боковой поверхности луча в результате оптимизации сопровождается увеличением давления в области, примыкающей к вершине, и уменьшением давления в области, примыкающей к элементу, образованному дугой окружности.

Основные результаты оптимизационных исследований на основе решений (2.1) и (2.5) представлены в табл. 1 для рассмотренных углов стыковки элементов половинки цикла φ_1pl . Приведены значения С_х/С_хpl коэффициентов сопротивления, отнесенных к коэффициенту сопротивления звездообразного тела с плоскими гранями, и относительные значения углов стыковки φ₁/φ_N. Дополнительно для тела, построенного оптимизацией по одному геометрическому параметру, указаны значения показателя степени k.

Таблица 1. Результаты оптимизационных исследований

Для всех рассмотренных значений угла стыковки φ_1pl результаты оптимизации подтверждают возможность уменьшения волнового сопротивления по сравнению со звездообразными телами, имеющими плоские боковые грани. Выигрыш по сопротивлению тем больше, чем меньше ширина и, следовательно, больше высота луча.

При φ_1pl = φ_N относительное уменьшение коэффициента сопротивления не превышает 1%. Для варианта φ_1pl = 0.25φ_N, соответствующего максимальной (из рассмотренных) высоте волны, коэффициент волнового сопротивления уменьшается примерно на 6 и 5% для решений (2.1) и (2.5) соответственно. Отметим, что тела, построенные на основе двух решений, заметно отличаются по форме в окрестности стыковки боковой поверхности и конического элемента, что проявляется в значениях угла φ₁. При этом выигрыши по сопротивлению отличаются незначительно.

Таким образом, можно заключить, что решения, полученные на основе локального анализа и модели Ньютона, могут быть объединены введением степенной зависимости между радиусом и производной радиуса по угловой координате. Тела с волнообразным поперечным контуром, построенные в соответствии с объединенным решением, имеют меньшее волновое сопротивление по сравнению со звездообразными телами, лучи которых имеют плоские боковые грани. Выигрыш по сопротивлению возрастает при увеличении высоты луча.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарит А.Н. Крайко за внимание к работе и полезные замечания.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

Работа финансирована из средств бюджета института (учреждения, организации). Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство данным конкретным исследованием получено не было.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.

About the authors

S. А. Takovitskii

Author for correspondence.
Email: c.a.t@tsagi.ru
Russian Federation, Zhukovsky, Moscow oblast

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Comparison of body contours, φ1pl = 0.5φN: 1 — body constructed by optimization according to three parameters; 2 — body constructed by optimization according to one parameter; 3 — star-shaped body with flat lateral surfaces of rays.

Download (67KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Lines of equal pressure values ​​p/p∞ in the flow field near bodies constructed by optimization using three (a) and one (b) parameter, and near a star-shaped body with flat lateral surfaces of the rays (c), φ1pl = 0.5φN.

Download (136KB)

Indexing metadata