Asymptotic Study of Plate Bending for a Strongly Orthotropic Materia

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The technique of asymptotic averaging has been developed for three-dimensional partial differential equations with rapidly oscillating coefficients. For example, for the equations of elasticity theory. Then it was modified and applied to thin bodies in the form of plates (homogeneous or inhomogeneous, with even front surfaces or not), described by the three-dimensional theory of elasticity. In these cases, asymptotic solutions were constructed with respect to one small parameter, which is usually the ratio of the plate thickness to the characteristic plan size. The averaging technique in this case also reduces the dimension of the problem, i.e. reduces the three-dimensional boundary value problem to some two-dimensional one.

In this article, we substantiate the application of the method to a problem with two small parameters in the case of a homogeneous thin, highly orthotropic plate bent by a surface load without taking into account body forces. The second small parameter is the ratio of the transverse elastic moduli to the moduli in the plan of the plate. It is shown that strong orthotropy is equivalent to an increase in the thickness of the equivalent plate.

A procedure for obtaining the stress distribution over the plate thickness is described for three approximations. The first approximation gives the classical Kirchhoff theory, also called the Kirchhoff-Love theory, and the third approximation coincides with the Ambartsumian theory and allows one to find transverse shear and normal stresses. The consideration of cylindrical bending makes it possible to find solutions in the framework of classical plate theories in the form of formulas, as well as three approximations of the asymptotic theory, which simplifies comparison. Examples are considered when the averaged orthotropic moduli are taken for a single-layer fibrous composite.

About the authors

S. V. Sheshenin

Lomonosov Moscow State University

Email: sergey.sheshenin@mail.ru
Moscow, 119992 Russia

R. R. Muradkhanov

Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: mrdhnv@yandex.ru
Moscow, 119992 Russia

References

  1. Янковский А.П. Применения явного по времени метода центральных разностей для численного моделирования динамического поведения упругопластически деформируемых гибких армированных пластин // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9. № 3. С. 279–297. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2016.9.3.24
  2. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous media and vibration theory. Berlin: Springer Berlin Heidelberg. 1980. 398 p. https://doi.org/10.1007/3-540-10000-8
  3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука. 1984. 352 с.
  4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1984. 336 с.
  5. Аннин Б.Д., Каламкаров А.Л., Колпаков А.Г., Партон B.З. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск: Наука: Сиб. издат. 1993. 256 с.
  6. Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness // Int. J. Solids Struct. 1984. V. 20. № 4. P. 333–350. https://doi.org/10.1016/0020-7683(84)90044-1
  7. Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. New York: World Scientific. 2000. https://doi.org/10.1142/3539
  8. Панасенко Г.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 5. С. 1061–1065.
  9. Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 71–79.
  10. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. С. 47–51.
  11. Шешенин С.В., Скопцов К.А. Теория пластин, основанная на методе асимптотических разложений. // Мат. модел. числ. мет. 2014. № 2. С. 49–61.
  12. Скопцов К.А., Шешенин С.В. Асимптотической анализ слоистых пластин и пологих оболочек // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. С. 161–171.
  13. Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимтотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости // Инженерный журнал: наука и инноваций. 2013. Т. 7. № 19. С. 17. https://doi.org/10.18698/2308-6033-2013-7-899
  14. Шешенин С.В., Савенкова М.И. Осреднение нелинейных задач в механике композитов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. С. 58–61.
  15. Гольденвейзер А.Л. Теория тонких упругих оболочек. М.: Наука. 1976. 512 с.
  16. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М.: Стройиздат. 1966. 304 с.
  17. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластины методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1962. Т. 26. № 4. С. 668–686.
  18. Гольденвейзер А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин // Изв. АН. МТТ. 1997. № 3. С. 134–149.
  19. Гольденвейзер А.Л. Замечания о статье В.В. Васильева “Об асимптотическом методе обоснования теории пластин” // Изв. АН. МТТ. 1997. № 4. С. 150–157.
  20. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. С. 26–47.
  21. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1995. № 4. С. 140–149.
  22. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1997. № 3. С. 150–155.
  23. Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. 1998. № 3. С. 46–58.
  24. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука. 1974. 448 p.
  25. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука. 1966. 636 с.
  26. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. V. 12. № 2. P. A69–A77. https://doi.org/10.1115/1.4009435
  27. Kaneko T. On Timoshenko’s correction for shear in vibrating beams // J. Phys. D: Appl. Phys. 1975. V. 8. № 16. P. 1927–1936. https://doi.org/10.1088/0022-3727/8/16/003
  28. Шешенин С.В. Модуль механики композитов для пакета FYDESIS // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18. № 3. С. 506–523. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-3-506-523
  29. Sheshenin S.V., Du Y. Homogenization of rubber-cord layers at moderately large deformations // Mech. Compos. Mater. 2021. V. 57. 3. P. 275–286. https://doi.org/10.1007/s11029-021-09953-2
  30. Vasiliev V.V., Morozov E.V. Mechanics and analysis of composite materials. Oxford: Elsevier Science Techn. 2001. 424 p.
  31. Кристенсен Р.М. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1982. 336 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
2.

Download (75KB)
3.

Download (23KB)
4.

Download (206KB)
5.

Download (211KB)
6.

Download (202KB)
7.

Download (201KB)

Copyright (c) 2023 С.В. Шешенин, Р.Р. Мурадханов

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».