Non-classical theories of beams, plates and shells (review)

Abstract

The article is an analytical review and is devoted to the problem of constructing non-classical theories of beams, plates and shells, the relevance of which is associated with the emergence of new structural materials with properties that do not fully correspond to the hypotheses adopted in the construction of classical theories. The presentation is based on the analysis of the problem of lowering the order of equations of elasticity theory for thin-walled structural elements and mathematical and physical methods used for this purpose. The main focus is on the correctness and energy consistency of these methods. The presentation is illustrated with examples of specific theories.

Full Text

1. Введение. Классическая теория оболочек, основанная на гипотезах об отсутствии деформаций в трансверсальных плоскостях ортогональных базовой поверхности, определяющей форму оболочки, широко используется при расчете и проектировании тонкостенных конструкций, однако обладает известными противоречиями, порождаемыми принятыми гипотезами. Построение более общих неклассических теорий полностью или частично свободных от этих гипотез всегда сопровождало классическую теорию. Однако после появления композитных материалов, обладающих сравнительно низкими трансверсальными жесткостями, это направление получило прикладную значимость. В результате появилось исключительно большое и все возрастающее число работ, отраженных в обзорах [1­–­6], содержащих описание конкретных теорий. Настоящий обзор посвящен описанию основных подходов к построению неклассических теорий применительно к задачам статики, и конкретные теории обсуждаются только в качестве иллюстраций. Тем более что конструктивных идей в этой области значительно меньше, чем публикаций [7].

Заметим, что основные особенности неклассических теорий проявляются уже в теории балок. Теории пластин отличаются учетом краевого кручения, описанного в работе [8] и отсутствующего у балок, а теории оболочек – более сложными уравнениями, учитывающими кривизну поверхности. В связи с этим для сокращения записи анализ в основном будет далее проводится для балки (полосы) прямоугольного сечения, показанной на рис. 1. Уравнения плоской задачи теории упругости для ортотропной полосы имеют вид:

 $\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial z}=\mathrm{0,}\frac{\partial {\sigma }_z}{\partial z}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}=0$,        (1.1)

 ${\epsilon }_x=\frac{1}{E_x}\left({\sigma }_x-{\nu }_{yz}{\sigma }_z\right),{\epsilon }_z=\frac{1}{E_z}\left({\sigma }_z-{\nu }_{xz}{\sigma }_x\right),{\epsilon }_{xz}=\frac{{\tau }_{xz}}{G_{xz}}(E_x{\nu }_{xz}=E_z{\nu }_{zx})$ 

${\epsilon }_x=\frac{1}{E_x}\left({\sigma }_x-{\nu }_{yz}{\sigma }_z\right),{\epsilon }_z=\frac{1}{E_z}\left({\sigma }_z-{\nu }_{xz}{\sigma }_x\right),{\epsilon }_{xz}=\frac{{\tau }_{xz}}{G_{xz}}(E_x{\nu }_{xz}=E_z{\nu }_{zx})$, (1.2)

 ${\epsilon }_x=\frac{\partial u_x}{\partial x},{\epsilon }_z=\frac{\partial u_z}{\partial z},{\epsilon }_{xz}=\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}$.                                                            (1.3)

Рис. 1. Консольная балка.

На поверхностях $z=\pm h/2$ имеют место следующие статические условия:

 ${\tau }_{xz}(x,z=\pm h/2)=\mathrm{0,}{\sigma }_z(x,z=-h/2)=q,{\sigma }_z(x,z=h/2)=p$.          (1.4)

2. Однородные балки, пластины и оболочки. Конструктивная особенность балок пластин и оболочек заключается в том, что отношение толщины $h$ к характерному размеру конструкции (для балки это ее длина $l$ ) по определению должно быть значительно меньше единицы. В таком случае проблема построе­ния теории балок, пластин или оболочек формально выглядит просто. Перемещения представляются в виде разложений по некоторой системе заданных координатных функций переменной $z$, то есть

 $u_x(x,z)={\displaystyle \sum _{i=0}^I{u}_i}(x){\phi }_i(z),u_z(x,z)={\displaystyle \sum _{j=0}^J{w}_j}(x){\psi }_j(z)$.   (2.1)

Координатные функции ${\phi }_i(z)$ и ${\psi }_j(z)$ определяются системой взаимно независимых степеней свободы элемента балки (он заштрихован на рис. 1) и для получения уравнений теории можно воспользоваться принципом возможных перемещений. С этой целью первое уравнение равновесия (1.1) умножается на ${\phi }_i(z)$, второе – на ${\psi }_j(z)$ и осуществляется интегрирование этих уравнений по $z$ от $-h/2$ до $h/2$. В результате получается система, состоящая из $(I+J)$ уравнений, для функций $u_i(x)$ и $w_j(x)$. Кинематические граничные условия на краях $x=$ const удовлетворяются соответствующим заданием этих функций, а статически – заданием напряжений следующих равенств (1.2), (1.3) и (2.1). Граничные условия (1.4) в общем случае не удовлетворяются. Заметим, что выражения для напряжений ${\tau }_{xz}$ и ${\sigma }_z$, которые можно получить, подставляя разложения (2.1) в геометрические соотношения (1.3) и далее в соотношения упругости (1.2), трудно признать корректными, так как они требуют дифференцирования разложений (2.1) по координате $z$. Эти разложения аппроксимируют распределение перемещений по толщине, а дифференцирование аппроксимирующих выражений, как известно, не допускается. Корректное определение напряжения ${\tau }_{xz}$ и ${\sigma }_z$ осуществляется в результате интегрирования уравнений равновесия (1.1).

Теории оболочек, в которых в качестве координатных функций используются степенные функции или полиномы Лежандра, построены в работах [9–11]. Заметим, что балки, пластины и оболочки, формально рассматриваемые как некоторые математические многообразия, фактически являются инженерными объектами и теории, описывающие эти объекты, должны удовлетворять определенным физическим условиям. В частности, элемент балки, показанный на рис. 1, должен иметь как твердое тело три взаимно независимые степени свободы, соответствующие его смещениям в направлении осей $õ$, $z$ и повороту в плоскости $xz$. Тогда при малых углах поворота в разложениях (2.1) следует принять ${\phi }_0=\mathrm{1,}{\phi }_1=z,{\psi }_0=1$. Полагая ${\phi }_i=0(i\ge 2)$ и ${\psi }_j=0(j\ge 1)$, рассмотрим теорию, соответствующую перемещениям:

 $u_x=u_0(x)+z{u}_1(x),u_z=w_0(x)$.           (2.2)

В работах по неклассическим теориям теория, основанная на кинематических соотношениях аналогичных равенствам (2.2), называется сдвиговой теорией первого порядка. Дело в том, что касательные напряжения, формально определенные с помощью равенств (1.2), (1.3) и (2.2), имеют вид

 ${\tau }_{xz}=G\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)=G(u_1+{w^{\prime }}_0)$    (2.3)

и не удовлетворяют граничным условиям (1.4). Однако, как уже отмечалось, первое равенство (2.2) является приближенным и его нельзя дифференцировать по $z$. Для того чтобы избежать дифференцирования, необходимо ввести интегральную характеристику – поперечную силу:

$Q=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}}dz=Gb[u_x(h/2)-u_x(-h/2)+{w^{\prime }}_{0}h]=Gbh(u_1+{w^{\prime }}_0)=S\gamma$

 $Q=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}}dz=Gb[u_x(h/2)-u_x(-h/2)+{w^{\prime }}_{0}h]=Gbh(u_1+{w^{\prime }}_0)=S\gamma$.  (2.4)

Здесь $S=Gbh$ – жесткость балки на сдвиг и $\gamma =u_1+{w^{\prime }}_0$  – осредненная по толщине деформация сдвига. Таким образом, в обсуждаемой теории соотношение упругости для сдвига существует только в интегральной форме (2.4). Аналогичная ситуация имеет место в классической теории. В ней, как известно, $u_1=-{w^{\prime }}_0$ и соотношение (2.3) вообще отсутствуют. Равенства (2.2) дают линейное распределение напряжений по толщине, эквивалентное осевой силе и изгибающему моменту, то есть

 ${\sigma }_x=\frac{N}{bh}+\frac{12M}{b{h}^3}z,N=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_x}dz,M=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_x}zdz$.                                (2.5)

Воспользовавшись принципом возможных перемещений, умножим первое уравнение (1.1) на 1, а затем – на $z$ и проинтегрируем по толщине. Проинтегрируем также второе уравнение (1.1), умноженное на 1. Используя интегрирование по частям и равенства (1.4), (2.4), (2.5), получим уравнения равновесия:

$N^{\prime }=\mathrm{0,}{M}^{\prime }-Q=\mathrm{0,}{Q}^{\prime }+p-q=0$, (2.6)

в которых

 $N=E_{x}bh{u^{\prime }}_0,M=\frac{E_{x}b{h}^3}{12}{u^{\prime }}_1,Q=G_{xz}bh(u_1+{w^{\prime }}_o)$.                                          (2.7)

Заметим, что три уравнения (2.6) могут быть получены непосредственно из условий равновесия элемента балки (рис. 1) как твердого тела, что соответствует трем степеням свободы элемента, предусмотренным разложениями (2.2).

Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой $Ð$ (рис. 1). При $p=q=0$ общее решение уравнений (2.6) и (2.7) имеет вид:

$N=C_1,Q=C_2,M=C_{2}x+C_3,u_0=\frac{C_{1}x}{E_{x}bh}+C_4,u_1=\frac{12x}{E_{x}b{h}^3}\left(C_2\frac{x}{2}+C_3\right)+C_5$

$N=C_1,Q=C_2,M=C_{2}x+C_3,u_0=\frac{C_{1}x}{E_{x}bh}+C_4,u_1=\frac{12x}{E_{x}b{h}^3}\left(C_2\frac{x}{2}+C_3\right)+C_5$

 $w_0=\frac{C_{2}x}{G_{xz}bh}-\frac{6x^2}{E_{x}b{h}^3}\left(C_2\frac{x}{3}+C_3\right)+C_{5}x+C_6$.                                                     (2.8)

Подставляя напряжение ${\sigma }_{õ}$ (2.5) в первое уравнение (1.1) и интегрируя с учетом уравнений (2.6) и условий (1.4), найдем касательное напряжение

 ${\tau }_{xz}=\frac{6Q}{b{h}^3}\left(\frac{h^2}{4}-z^2\right)$.                             (2.9)

Рассмотрим вариационную постановку задачи. Из принципа Лагранжа имеем:

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}dx{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}\left({\sigma }_x\delta {\epsilon }_x+{\sigma }_z\delta {\epsilon }_z+{\tau }_{xz}\delta {\epsilon }_{xz}\right)}}dz-{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}\left[p\delta u_z(h/2)-q\delta u_z(-h/2)\right]}dx=0$ 

 ${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}dx{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}\left({\sigma }_x\delta {\epsilon }_x+{\sigma }_z\delta {\epsilon }_z+{\tau }_{xz}\delta {\epsilon }_{xz}\right)}}dz-{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}\left[p\delta u_z(h/2)-q\delta u_z(-h/2)\right]}dx=0$. (2.10)

С учетом приведенных выше соотношений получим:

 ${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}\left[N\delta u_0+M\delta u_1+Q\delta (u_1+{w^{\prime }}_0)-(p-q)\delta w_0\right]}dx=0$.      (2.11)

Отсюда следуют вариационные уравнения, которые совпадают с уравнениями равновесия (2.6). Теорию, в которой уравнения, следующие из вариа­ционного принципа Лагранжа, совпадают с непосредственно полученными уравнениями равновесия, назовем энергетически согласованной [12, 13]. Заметим, что классическая теория не является таковой. Действительно, при условии $u_1=-{w^{\prime }}_0$ функционал (2.11) принимает вид:

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}\left[N\delta u_0-M\delta {w^{\prime }}_0-(p-q)\delta w_0\right]}dx=0$.

Отсюда получим вариационные уравнения:

$N^{\prime }=\mathrm{0,}{M}^{″}+p-q=0$.

Эти уравнения следуют из уравнений равновесия (2.6), но не совпадают с ними. Причина заключается в том, что кинематические условия (2.2) в классической теории принимают вид:

$u_x=u_0(x)-z{w^{\prime }}_0,u_z=w_0(x)$.

Эти поля перемещений не являются кинематически возможными, так как угол поворота элемента пластины (рис. 1) не является независимым и выражается через ее прогиб. В результате в классической теории удовлетворяется только комбинация из уравнений равновесия (2.6). На то, что в классической теории фактически не удовлетворяется последнее уравнение равновесия (2.6), указывается в работе П.А. Жилина [14].

Из вариационного уравнения (2.11) следуют естественные граничные условия для концов балки $õ=0$ и $x=l$ (рис. 1):

$N\delta u_0=\mathrm{0,}M\delta u_1=\mathrm{0,}Q\delta w_0=0$.      (2.12)

При $õ=0$ имеем $u_0=u_1=w_0=0$ и согласно равенству (2.2) $u_x(x=\mathrm{0,}z)\equiv 0.$ При $x=l$ – $N=M=\mathrm{0,}Q=P$ (рис. 1). Определяя из этих условий постоянные интегрирования, входящие в решение (2.8), окончательно получим следующее решение для консольной балки, нагруженной силой $Ð$ (рис. 1):

$N=\mathrm{0,}Q=P,M=-P(l-x),u_1=-\frac{6Px}{E_{x}b{h}^3}\left(l-\frac{x}{2}\right),w_0=\frac{Px}{G_{xz}bh}+\frac{6P{x}^2}{E_{x}b{h}^3}\left(l-\frac{x}{3}\right)$

 $N=\mathrm{0,}Q=P,M=-P(l-x),u_1=-\frac{6Px}{E_{x}b{h}^3}\left(l-\frac{x}{2}\right),w_0=\frac{Px}{G_{xz}bh}+\frac{6P{x}^2}{E_{x}b{h}^3}\left(l-\frac{x}{3}\right)$.    (2.13)

Первое слагаемое в равенствах (2.13) для прогиба учитывает влияние деформации сдвига, игнорируемое классической теорией балок. Заметим, что решение (2.13) и кинематическое поле (2.2) позволяют получить нулевые перемещения в закрепленном сечении балки, то есть $u_x(x=\mathrm{0,}z)\equiv 0$ и $u_z(x=\mathrm{0,}z)\equiv 0$. Такую теорию будем называть кинематически согласованной. Классическая теория также является кинематически согласованной. Кроме того, из условий (2.12) следует, что на свободном конце балки должны выполняться условия $N=M=Q=0$. Таким образом, силовые факторы, соответствующие заданному кинематическому полю (2.2), обращаются в ноль. Теорию, соответствующую этому условию, будем называть статически согласованной. Классическая теория балок является статически согласованной. Однако классические теории пластин и оболочек не обладают этим свойством – как известно, порядок уравнений в них не позволяет обратить в ноль на свободном краю поперечную силу, изгибающий и крутящий моменты. Условие статической согласованности накладывает некоторое ограничение на разложения (2.1).

Для того чтобы получить это ограничение, воспользуемся принципом возможных перемещений и разложениями (2.1). Умножим уравнения (1.1) соответственно на ${\phi }_k(z)$, ${\psi }_k(z)$ и проинтегрируем их по $z$ от $-h/2$ до $h/2$. Используя интегрирование по частям и учитывая равенства (1.4), получим:

${M^{\prime }}_k-Q_k=\mathrm{0,}{R^{\prime }}_k-T_k+p_k-q_k=\mathrm{0,}{p}_k=p{\psi }_k(h/2),q_k=q{\psi }_k(-h/2)$

 ${M^{\prime }}_k-Q_k=\mathrm{0,}{R^{\prime }}_k-T_k+p_k-q_k=\mathrm{0,}{p}_k=p{\psi }_k(h/2),q_k=q{\psi }_k(-h/2)$.           (2.14)

где

$M_k=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_x}{\phi }_{k}dz,Q_k=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}{\dot{\phi }}_{k}dz,R_k=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}{\psi }_n}}dz,T_n=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_z{\dot{\psi }}_{n}dz}$

 $M_k=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_x}{\phi }_{k}dz,Q_k=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}{\dot{\phi }}_{k}dz,R_k=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}{\psi }_n}}dz,T_n=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_z{\dot{\psi }}_{n}dz}$                                                                     (2.15)

и $(\dot{\phi },\dot{\psi })=d(\phi ,\psi )/dz$. Вариационный принцип Лагранжа дает уравнения (2.14) и следующие граничные условия на концах балки:

$M_k\delta u_k=\mathrm{0,}{R}_k\delta w_k=0$.

Отсюда следует, что на свободном конце балки $M_k=R_k=0$. Однако в теории имеется еще одна система равнодействующих касательных напряжений – силы $Q_k$, которые также должны быть равны нулю на конце балки. Согласно равенствам (2.15), для обеспечения этого условия, то есть для статической согласованности теории, необходимо потребовать, чтобы ${\psi }_k={\dot{\phi }}_k$. Таким образом, для статически согласованной теории функции ${\phi }_i(z)$ и ${\psi }_j(z)$ в разложениях (2.1) не могут быть взаимно независимыми и эти разложения должны иметь вид [12, 13]:

 $u_x={\displaystyle \sum _{i=0}^I{u}_i}(x){\phi }_i(z),u_z{\displaystyle \sum _{i=0}^I{w}_i}(x){\dot{\phi }}_i(z)$. (2.16)

В работе [13] доказывается, что при перемещениях (2.16) получаемое из соотношения упругости распределение касательных напряжений по толщине балки удовлетворяет теореме функционального анализа о наилучшей аппроксимации. Заметим, что теории, учитывающие деформацию сдвига и не учитывающие поперечную деформацию, являются статически согласованными.

Традиционно считается, что теория изгиба балок, основанная на поле перемещений (2.2), предложена С.П. Тимошенко в работе [15], опубликованной в 1922 г. Однако это не вполне соответствует действительности. Основные соотношения теории содержатся в курсе теории упругости С.П. Тимошенко, вышедшем в свет в 1916 г. [16]. История создания теории описана в монографии [17]. Из геометрических соображений в работе [16] принимается, что касательная к линии прогиба балки поворачивается на угол

$\frac{dw}{dx}=\theta +\gamma$,        (2.17)

где $\theta$ – угол, на который поворачивается сечение балки и $\gamma$ – осредненная по толщине деформация сдвига. Тогда соотношения упругости в обозначениях настоящей статьи принимают вид:

 $M=\frac{1}{12}{E}_{x}b{h}^3{\theta }^{\prime },Q=kb{G}_{xz}h(w^{\prime }-\theta )$, (2.18)

где $k$ – коэффициент, зависящий от формы сечения. В совокупности с уравнениями равновесия (2.6) получается система уравнений, решение которой формально совпадает с равенствами (2.8), соответствующим перемещениям (2.2). Однако в теории Тимошенко нет равенств (2.2). Соотношения (2.17) и (2.18), по существу, введены как гипотезы. В отличие от классической теории, в которой изгибающий момент пропорционален кривизне оси балки, в обсуждаемой теории он пропорционален производной от угла поворота сечения, причем выражение для изгибной жесткости балки не следует из теории и принимается таким же, как и в классической теории. Следует отметить, что теория Тимошенко, построенная для анализа колебаний балки, позволяет определить изгибающий момент, но не позволяет найти напряжение ${\sigma }_{õ}$ и перемещение $u_x$. Таким образом, теория Тимошенко не имеет непосредственного отношения к теории балок, основанной на перемещениях (2.2), которые были предложены позже H. Hencky [18] и L. Bolle [19].

Теория пластин, фактически основанная на поле перемещений (2.2), построена в работах E. Reissner [20] и L. Bolle [19] и для изотропной пластины сводится к следующей системе уравнений [8]:

$D\Delta \Delta \phi =p,w=\phi -\frac{D}{S}\Delta \phi ,k^2\Delta \psi -\psi =\mathrm{0,}D=\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)},S=Gh,k^2=\frac{D}{2S}(1-\nu )$

 $D\Delta \Delta \phi =p,w=\phi -\frac{D}{S}\Delta \phi ,k^2\Delta \psi -\psi =\mathrm{0,}D=\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)},S=Gh,k^2=\frac{D}{2S}(1-\nu )$. (2.19)

Здесь $w=w_0,q=0$, функции $\phi$ и $\psi$ являются проникающим и краевым потенциалами, через которые выражаются углы поворота элемента пластины:

$u_1=-\frac{\partial \phi }{\partial x}+\frac{\partial \psi }{\partial y},v_1=-\frac{\partial \phi }{\partial y}-\frac{\partial \psi }{\partial x}$.

Второе слагаемое во втором равенстве (2.19) учитывает, влияние деформации сдвига на прогиб, а второе уравнение (2.19) описывает краевое кручение пластины, отсутствующее в балках. Это уравнение впервые было получено в работе E. Reissner [20].

Теория оболочек представлена в работах [21­–­24]. В частности, уравнения технической теории изотропных оболочек имеют вид [2]:

$D\Delta \Delta w+(1-s\Delta ){\Delta }_{r}F=p-s\Delta p,\frac{1}{Eh}\Delta \Delta F-{\Delta }_{r}w=\mathrm{0,}{k}^2\Delta \psi -\psi =0$.    (2.20)

где $F$ – функция напряжений,

$s=\frac{D}{S},{\Delta }_r(\cdot )=\frac{1}{R_1}\frac{{\partial }^2(\cdot )}{\partial y^2}+\frac{1}{R_2}\frac{\partial (\cdot )}{\partial x^2}$,

$R_1,R_2$ – главные радиусы кривизны.

Заметим, что в литературе теории пластин и оболочек, приводящие к уравнениям (2.19) и (2.20), традиционно называются теориями типа Тимошенко. Такое название представляется, во-первых, неудачным, так как в русском языке, в отличие от английского, такая конструкция названия не принята, а во-вторых, неверным, так как в теории Тимошенко не используются, как уже отмечалось, перемещения в форме (2.2) и она относится исключительно к балкам – в уравнениях (2.19) и (2.20) для пластин и оболочек в обсуждаемой теории отсутствуют уравнения для функции $\psi$. Теория динамического поведения пластин построена на основе кинематической модели Тимошенко Я.С. Уфляндом [25]. Аналогичная теория, основанная на перемещениях в форме (2.2), предложенной H. Hencky [18], представлена в работе R.D. Mindlin [26]. Обе теории обсуждаются в монографии [17]. Они приводят к уравнению четвертого порядка для прогиба, уравнение (2.19) для функции $\psi$ в них отсутствует.

Подводя итог проведенному анализу, отметим, что неклассическая теория, основанная на поле перемещений (2.2), не является, как традиционно считается, ни сдвиговой теорией первого приближения, ни теорией типа Тимошенко. Она может быть квалифицирована как теория основного напряженного состояния балок, пластин и оболочек, сводящегося к интегральным по толщине силам и моментам, и по существу является современной формой классических теорий балок, пластин и оболочек [8].

Вернемся к разложениям (2.1) и рассмотрим так называемые теории третьего порядка, достаточно широко обсуждаемые в литературе. Применительно к задаче изгиба примем следующее поле перемещений:

 $u_x=z{u}_1(x)+z^3{u}_3(x),u_z=w_0(x)$.       (2.21)

Найдем касательные напряжения:

${\tau }_{xz}=G_{xz}\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)=G_{xz}(u_1+3z^2{u}_3+{w^{\prime }}_0)$.

Теперь удовлетворим граничные условия (1.4) и определим функцию $u_3(x)$. В результате получим:

$u_x=z{u}_1-\frac{4z^3}{3h^2}(u_1+{w^{\prime }}_0)=z{u}_1-\frac{4z^3}{3h^2}\psi ,u_z=w_0,\psi =u_1+{w^{\prime }}_0$               (2.22)

Заметим, что проведенное преобразование вводит в теорию принципиальный дефект. Дело в том, что принципы Лагранжа (вариационный и возможных перемещений) не предполагают наложение на кинематическое поле статического условия. Это условие приводит к тому, что поле перемещений (2.22), в отличие от поля (2.21), не является кинематически возможным и не описывает перемещения элемента балки (рис. 1) как твердого тела.

Поле перемещений (2.22) было предложено в 1957 г. Б.Ф. Власовым [27]. Работа не получила продолжения, так как для построения теории пластин в ней был использован вариационный принцип в форме (2.11), которая соответствует полю перемещений (2.2), а не (2.22). На это обстоятельство указано в статье А.Л. Гольденвейзера [28]. Однако эта критика не имеет принципиального значения. Существенно, что из вариационного уравнения (2.11) получаются уравнения равновесия (2.6), которые и используются в дальнейшем. Если не принимать во внимание уравнение (2.11) и считать, что уравнения (2.6) следуют непосредственно из условий равновесия элемента балки, то получается энергетически несогласованная, но статически корректная теория. Перемещения (2.22) соответствуют следующим выражениям для напряжений, момента и поперечной силы:

 ${\sigma }_x=E_x\left(z{u^{\prime }}_1-\frac{4z^3}{3h^2}\psi \right),{\tau }_{xz}=G_{xz}\left(1-\frac{4z^2}{h^2}\right)\psi$,                                             (2.23)

$M=\frac{E_{x}b{h}^3}{12}\left({u^{\prime }}_1-\frac{1}{5}{\psi }^{\prime }\right),Q=\frac{2}{3}{G}_{xz}hb\psi$.                                                            (2.24)

Общее решение уравнений (2.6) и (2.24) для консольной балки, нагруженной силой $Ð$, имеет вид:

$Q=C_1,M=C_{1}x+C_2,u_1=\frac{12x}{E_{x}b{h}^3}\left(\frac{1}{2}{C}_{1}x+C_2\right)+\frac{3C_1}{10G_{xz}bh}+C_3,\psi =\frac{3C_1}{2G_{xz}bh}$, 

$w_0=\frac{6C_{1}x}{5G_{xz}bh}-\frac{6x^2}{E_{x}b{h}^3}\left(\frac{1}{3}{C}_{1}x+C_2\right)-C_{3}x+C_4$. (2.25)

Граничные условия при $x=l$ позволяют определить ${С}_1$ и ${С}_2$, а из условия $w_0(x=0)=0$ следует, что ${С}_4=0$. Таким образом, в решении (2.25) остается только одна неопределенная константа – ${С}_3$. Из равенств (2.22) и (2.25) следует, что задать ее так, чтобы на закрепленном краю перемещение $u_x$ обращалось в ноль, невозможно. То есть обсуждаемая теория не является кинематически согласованной. Можно потребовать, чтобы перемещение $u_x$ обращалось в ноль в некоторой точке закрепленного края, например принять $u_x(x=\mathrm{0,}z=\pm h/2)=0$. В результате получим $C_3=P/5Gbh$ и следующее решение:

$\begin{array}{l}Q=P,M=-P(l-x),\\ u_1=\frac{P}{2G_{xz}bh}-\frac{12Px}{E_{x}b{h}^3}\left(l-\frac{x}{3}\right),\psi =\frac{3P}{2G_{xz}bh},w_0=\frac{Px}{G_{xz}bh}+\frac{6P{x}^2}{E_{x}b{h}^3}\left(l-\frac{x}{3}\right)\end{array}$. (2.26) 

Полученное решение мало отличается от решения (2.13), соответствующего основному напряженному состоянию балки. По отношению к теории, основанной на кинематическом поле (2.2), теория, соответствующая перемещениям (2.22), представляется неоправданно усложненной и не является энергетически и кинематически согласованной. Единственное достоинство теории заключается в том, что касательные напряжения, определенные из соотношения упругости и уравнения равновесия, оказываются одинаковыми.

Перемещения в форме (2.22) неоднократно использовались в отечественной и зарубежной литературе (как правило, без ссылки на работу [27]). Рассмотрим достаточно широко распространенную теорию, квалифицируемую как сдвиговая теория третьего порядка [29]. Теория строится на основе поля перемещений в форме (2.22) и вариационного уравнения (2.10). Как уже отмечалось, перемещения (2.22) не являются кинематически возможными, что исключает применение вариационного принципа Лагранжа. Однако в результате формального использования этого принципа в работе [29] получены уравнения (5*, * обозначает уравнение, полученное работе [29]):

 $M^{\prime }-Q+\frac{4}{h^2}\left(Q_2-\frac{1}{3}{M}^{\prime }\right)=\mathrm{0,}{Q}^{\prime }-\frac{4}{h^2}\left({Q^{\prime }}_2-\frac{1}{3}{M^{″}}_3\right)+p-q=0$.           (2.27)

В дополнение к силам и моменту (2.4) и (2.5) введены обобщенные сила и момент:

$Q_2=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\tau }_{xz}}{z}^{2}dz,M_3=b{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{\sigma }_x}{z}^{3}dz$.

В отличие от уравнений (2.6), уравнения (2.27) не обеспечивают равновесие элемента балки и не являются уравнениями равновесия. Аналогичная ситуация имеет место для граничных условий. Для закрепленного сечения консольной балки из вариационного уравнения записаны граничные условия (62*), согласно которым при $õ=0$ получено $w_0={w^{\prime }}_0=u_1=0$. Тогда последнее равенство (2.22) дает $\psi (õ=0)=0$, и из второго соотношения (2.23) следует ${\tau }_{xz}(x=0)=0$. Таким образом, касательное напряжение в заделке оказывается равным нулю и не уравновешивает силу $Ð$ (рис. 1). Этот эффект демонстрируется в работе [30]. В результате можно заключить, что сдвиговая теория балок третьего порядка, изложенная в работе [29], является несостоятельной. Таковыми являются и соответствующие теории пластин и оболочек [31, 32].

Рассмотрим сдвиговую теорию, предложенную в 1958 г. С.А. Амбарцумяном [33]. Эта теория описана в монографиях [34­–­37] и получила определенное распространение в отечественной литературе. Используя равенства (1.2), (1.3) и (2.9), запишем следующие выражения для касательных напряжений:

 ${\tau }_{xz}=G_{xz}\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)=\frac{6Q}{b{h}^2}\left(\frac{h^2}{4}-z^2\right)$.                                                           (2.28)

Поскольку в общем случае функция $Q(x)$ является неизвестной, введем новую функцию $f^{\prime }(x)=6Q(x)/Gb{h}^2$ и предположим, что $u_z=w(x)$. Тогда, интегрируя равенство (2.28) по $z$, получим следующее поле перемещений для задачи изгиба:

 $u_x=-w^{\prime }(x)z+z\left(\frac{h^2}{4}-\frac{z^2}{3}\right)f(x),u_z=w(x)$.                                                 (2.29)

Соответствующие этим перемещениям напряжения, а также изгибающий момент и поперечная сила имеют вид:

${\sigma }_x=E_x\left[-z{w}^{″}+z\left(\frac{h^2}{4}-\frac{z^2}{3}\right)f^{\prime }(x)\right],{\tau }_{xz}=G_{xz}\left(\frac{h^2}{4}-z^2\right)f(x)$,

$M=-\frac{1}{12}{E}_{x}b{h}^3\left(w^{″}-\frac{h^5}{60}{f}^{\prime }\right),Q=\frac{1}{6}{G}_{xz}b{h}^{3}f$.                                               (2.30)

Запишем общее решение уравнений (2.6) и (2.30) для консольной балки, нагруженной силой $Ð$ (рис. 1):

$Q=C_1,M=C_{1}x+C_2,f=\frac{6C_1}{G_{xz}b{h}^3},w=-\frac{16x^2}{E_{x}b{h}^3}\left(\frac{1}{3}{C}_{1}x+C_2\right)+C_{3}x+C_4$.

Как и в предыдущей теории, постоянные интегрирования не позволяют удовлетворить условие $u_x(x=\mathrm{0,}z)\equiv 0$ в закрепленном сечении балки. Выполняя это условие в точках, то есть полагая $u_x(x=\mathrm{0,}z=\pm h/2)=0$, окончательно получим:

$Q=P,M=-P(l-x),f=\frac{6P}{G_{xz}b{h}^3},w=\frac{Px}{G_{xz}bh}+\frac{6P{x}^2}{E_{x}bh}\left(l-\frac{x}{3}\right)$

Сравнивая этот результат с решением (2.26), можно заключить, что обсуждаемая теория в принципе не отличается от теории Б.Ф. Власова (в изложенной выше интерпретации). Применительно к пластинам, обе теории приводят к уравнениям аналогичным уравнениям (2.19).

Теория пластин, в которой распределение касательных напряжений по толщине аппроксимируется не естественной квадратичной функцией (2.28), а гиперболическими функциями, предложена в работах A. Kromm [38, 39]. В статье [39] получен принципиально важный для теории пластин результат. Исследованы два возможных в неклассической теории условия шарнирного опирания прямоугольной пластины – традиционное опирание, при котором в плоскости закрепленного края отсутствует угол поворота, и альтернативное условие, при котором на краю отсутствует крутящий момент. Полученное решение позволило выявить физический смысл угловых сосредоточенных сил, получающихся в классической теории пластин в результате преобразования Кирхгофа–Томсона-Тэта. Для пластины, лежащей на опорах и нагруженной давлением, в области угловых точек образуются краевые поперечные силы, прижимающие углы пластины к опоре [40].

Исследуем напряженное состояние балки, получаемое в результате решения уравнений неклассической теории. Для задачи изгиба используем разложение перемещения $u_x$ по системе ортогональных функций $F_i(z)$ и примем, что перемещение $u_z$ не зависит от $z$. Для консольной балки (рис. 1) получим следующую систему напряжений [41]:

${\sigma }_x=-\frac{12P}{b{h}^3}\left(l-x\right)z-\frac{2P}{bh}\sqrt{\frac{E_x}{G_{xz}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{{F^{\prime }}_i(z)}{{\alpha }_i{\lambda }_i\sin {\lambda }_i}}{e}^{-s_{i}x},{\tau }_{xz}=\frac{6P}{b{h}^3}\left(\frac{h^2}{4}-z^2\right)-\frac{3P}{bh}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{F_i(z)}{{\lambda }_i\sin {\lambda }_i}}{e}^{-s_{i}x}$

 ${\sigma }_x=-\frac{12P}{b{h}^3}\left(l-x\right)z-\frac{2P}{bh}\sqrt{\frac{E_x}{G_{xz}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{{F^{\prime }}_i(z)}{{\alpha }_i{\lambda }_i\sin {\lambda }_i}}{e}^{-s_{i}x},{\tau }_{xz}=\frac{6P}{b{h}^3}\left(\frac{h^2}{4}-z^2\right)-\frac{3P}{bh}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{F_i(z)}{{\lambda }_i\sin {\lambda }_i}}{e}^{-s_{i}x}$.                                                                  (2.31)

Здесь

$F_i(z)=\cos {\lambda }_i-\cos {\alpha }_{i}z,{\lambda }_i=\frac{1}{2}{\alpha }_{i}h,s_i^2=\frac{G_{xz}}{E_x}{\alpha }_i^2$.

Собственные значения являются корнями уравнения $\text{tg}{\lambda }_i={\lambda }_i$. Собственные функции $F_i(z)$ обладают свойствами ортогональности, то есть

${\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{F}_i}{F}_{j}dz=\left\{\frac{(h/2){\sin }^2{\lambda }_i,i=j}{\mathrm{0,}i\ne j}\right.,{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{F^{\prime }}_i}{F^{\prime }}_{j}dz=\left\{\frac{(2/h){\lambda }_i^2{\sin }^2{\lambda }_i,i=j}{\mathrm{0,}i\ne j}\right.$

${\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{F}_i}dz=\mathrm{0,}{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{F^{\prime }}_i}dz=\mathrm{0,}{\displaystyle \underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{F^{\prime }}_i}zdz=0$.

В решении (2.31) полиномиальные составляющие соответствуют основному напряженному состоянию, сводящемуся к силе и моменту, а суммы включают систему самоуравновешенных краевых напряженных состояний, затухающих при удалении от закрепленного края балки. Наиболее медленно затухающий краевой эффект соответствует собственному значению ${\lambda }_1=4.49$. Его амплитуда составит менее 0.01 от амплитуды при $õ=0$ на расстоянии от конца балки большем чем $x_e=0.5h\sqrt{E/G}$. Таким образом, краевые эффекты затухают на расстоянии от края меньшем чем толщина. В связи с этим возникает вопрос о практической целесообразности построения неклассических теорий, обладающих большей точностью, чем теория основного напряженного состояния. Формально теория позволяет расширить класс граничных условий, однако не настолько, чтобы появилась возможность описать реальные условия закрепления тонкостенных конструкций. Имеется и еще одно обстоятельство, осложняющее ситуацию. Рассмотрим правую часть равенства (2.31) для касательных напряжений. В закрепленном сечении консольной балки (рис. 1) имеем $u_x(z)=0$ и, следовательно, $\partial u_x/\partial z=0$. Поскольку $u_z$ не зависит от $z$, то и ${\tau }_{xz}(x=0)$ не зависит от $z$. Таким образом, касательные напряжения равномерно распределены по толщине закрепленного сечения. Действительно, принимая во втором равенстве (2.31) $õ=0$ и суммируя ряд, получим ${\tau }_{xz}(x=0)=P/bh$. Однако в угловых точках $z=\pm h/2$ закрепленного края ${\tau }_{xz}=0$ в силу условий (1.4) и симметрии тензора напряжений. В результате распределение касательных напряжений вдоль закрепленного края имеет разрывы в угловых точках. При $õ=0$ в угловых точках края ряд в первом равенстве (2.31) расходится и напряжение ${\sigma }_{õ}$ оказывается сингулярным. Заметим, что эта сингулярность не устраняется, если учесть деформацию ${\epsilon }_z$ – решение плоской задачи теории упругости для консольной полосы является сингулярным в угловых точках закрепленного края [42]. Эта сингулярность не связана с проблемами неклассических теорий – она порождается классическим дифференциальным исчислением, основанном на анализе бесконечно малых величин [43], и исчезает, если рассматривать элементы среды с малыми, но конечными размерами. При этом распределение нормальных напряжений в закрепленном сечении консольной полосы практически совпадает с решением, соответствующим перемещениям (2.2) [44].

Аналогичная теория пластин, основанная на одной гипотезе, согласно которой $u_z=w(x,y)$, построена в работе [45]. Решение осесимметричной задачи для цилиндрической оболочки представлено в работе [46].

Рассмотрим некоторые математические методы, используемые для приведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин и оболочек. Уравнения механики тонкостенных конструкций по определению включают малый параметр $\overline{h}$, представляющий собой отношение толщины стенки к характерному размеру в плане. Это в принципе дает возможность использовать асимптотический метод, представляя решение в форме разложения по степеням параметра $\overline{h}$ [47, 48]. В результате получается последовательность систем уравнений, включающих члены с одинаковым асимптотическим порядком. Это свойство метода противоречит физической природе напряженного состояния пластин и оболочек. Рассмотрим уравнения (2.19), описывающие основное напряженное состояние пластин. Второй член второго и первый член третьего уравнений имеют асимптотические порядки ${\overline{h}}^2$ и согласно асимптотическому методу должны быть отброшены. Тогда получим $\phi =w,\psi =0$ и уравнения (2.19) сводятся к бигармоническому уравнению классической теории пластин. Таким образом, первое приближение асимптотического метода дает уравнение классической теории. Эта теория, как уже отмечалось, является энергетически и статически несогласованной. Асимптотический метод позволяет получить уравнения более высокого асимптотического порядка, однако они не компенсируют недостатки первого приближения. Изложенное выше отражает мнение автора [49]. Альтернативная точка зрения представлена в работе [50].

Рассмотрим метод начальных функций, который может быть реализован в интегральной и дифференциальной формах. Интегральную форму метода [51] продемонстрируем на примере уравнений (1.1)–(1.3), в которых для сокращения записи не будем учитывать коэффициенты Пуассона. Введем нормальную координату $z_0$, отсчитываемую от поверхности $z=-h/2$ так, что $z=z_0-h/2$. Интегрируя уравнения (1.2) и (1.3), получим:

 $u_z=w_0+\psi ,u_x=u_0-z{w^{\prime }}_0+\phi -{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{\psi }^{\prime }d{z}_0}$,                                                     (2.32)

где

 $\psi ={\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}\frac{{\sigma }_z}{E_z}}d{z}_0,\phi ={\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}\frac{{\tau }_{xz}}{G_{xz}}}d{z}_0$             (2.33)

$u_0(x)$, $w_0(x)$ – начальные функции и $(\cdot {)}^{\prime }=d(\cdot )/dx$. Найдем нормальное напряжение:

${\sigma }_x=E_x\frac{\partial u_x}{\partial x}=E_x\left({u^{\prime }}_0-z_0{w^{″}}_0+{\phi }^{\prime }-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{\psi }^{″}d{z}_0}\right)$.

Подставляя это выражение в уравнения равновесия (1.1) и интегрируя их по $z_0$ c учетом граничных условий (1.4) для $z_0=0$, имеем:

 ${\tau }_{xz}=-E_x\left(z_o{u^{″}}_0-\frac{1}{2}{z}_0^2{w^{‴}}_0+{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{\phi }^{″}d{z}_0-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}d{z}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{\psi }^{‴}d{z}_0}}}\right)$,                  (2.34)

${\sigma }_z=E_x\left(\frac{1}{2}{z}_0^2{u^{‴}}_0-\frac{1}{6}{z}_0^3{w}_0^{(4)}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}d{z}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{\phi }^{(4)}}d{z}_0-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}d{z}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}d{z}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{\psi }^{(5)}d{z}_0}}}}\right)+q$.   (2.35)

Принимая $z_0=h$ и используя граничные условия (1.4), можно получить два уравнения относительно функций $u_0(x),w_0(x),$ включающих функции $\phi (x,z),\psi (x,z)$. При $\phi =\psi =0$ придем к классической теории. Подставляя полученные выражения для $u_0$ и $w_0$ сначала в равенства (2.34) и (2.35) (в которых ${\phi }_0={\psi }_0=0$ ), а затем в выражения (2.33), получим функции ${\phi }_1$ и ${\psi }_1$ первого приближения и т.д. В результате, продолжая этот процесс, приходим к системам двух уравнений возрастающего порядка относительно функций $u_0(x)$ и $w_0(x)$. Метод эффективен при построении теорий, описывающих неоднородные по толщине тонкостенные конструкции, так как упругие постоянные входят в интегралы по толщине. Различные варианты рассматриваемого метода, соответствующие различным положениям начальной поверхности, получили ограниченное применение [52–54] – метод не является энергетически согласованным, что вызывает затруднения в формулировке граничных условий. Метод использован для построения неклассической теории пластин в работе [55].

Используем аналогичную задачу для демонстрации дифференциальной формы метода начальных функций [56]. Введем безразмерные координаты $\overline{õ}=x/l,{\overline{z}}_0=z_0/h$ так, что $0\le \overline{x}\le 1$ и $0\le {\overline{z}}_0\le 1$, и представим перемещения и напряжения в виде рядов Тейлора по координате ${\overline{z}}_0$. При этом будем считать, что начальная поверхность ${\overline{z}}_0=0$ свободна от напряжений, а перемещения ее точек $u_x({\overline{z}}_0=0)=u_0$ и $u_z({\overline{z}}_0=0)=w_0$ являются неизвестными начальными функциями. Выражая производные по ${\overline{z}}_0$ через производные по $\overline{õ}$ с помощью уравнений (1.1)–(1.3), окончательно получим [57]:

$u_x=L_{11}(u_0)+L_{12}(w_0),u_z=L_{21}(u_0)+L_{22}(w_0)$

 ${\tau }_{xz}=L_{31}(u_0)+L_{32}(w_0),{\sigma }_z=L_{41}(u_0)+L_{42}(w_0)$.                                        (2.36)

Здесь

$L_{11}(\cdot )=1-\frac{{\overline{z}}_0^2}{2!}{k}_g(\cdot {)}^{″}+\frac{{\overline{z}}_0^4}{4!}(k_g^2-k_e){(\cdot )}^{(4)}-\cdot \cdot ,\text{}\text{}\text{}{L}_{12}(\cdot )=\overline{h}\left[-{\overline{z}}_0(\cdot {)}^{\prime }+\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{k}_g(\cdot {)}^{‴}-\frac{{\overline{z}}_0}{5!}{k}_g(k_g-k_e){(\cdot )}^{(5)}+\cdot \cdot \right]$

$L_{11}(\cdot )=1-\frac{{\overline{z}}_0^2}{2!}{k}_g(\cdot {)}^{″}+\frac{{\overline{z}}_0^4}{4!}(k_g^2-k_e){(\cdot )}^{(4)}-\cdot \cdot ,\text{}\text{}\text{}{L}_{12}(\cdot )=\overline{h}\left[-{\overline{z}}_0(\cdot {)}^{\prime }+\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{k}_g(\cdot {)}^{‴}-\frac{{\overline{z}}_0}{5!}{k}_g(k_g-k_e){(\cdot )}^{(5)}+\cdot \cdot \right]$

$L_{21}(\cdot )=\frac{1}{\overline{h}}\left(\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{k}_e(\cdot {)}^{‴}-\frac{{\overline{z}}_0^5}{5!}{k}_g{k}_e{(\cdot )}^{(5)}\cdot \cdot \right),L_{22}(\cdot )=1-\frac{{\overline{z}}_0^4}{4!}{k}_e{(\cdot )}^{(4)}+\frac{{\overline{z}}_0^6}{6!}{k}_g{k}_e{(\cdot )}^{(6)}\cdot \cdot$

$L_{31}(\cdot )=\frac{E_x\overline{h}}{l}\left[-{\overline{z}}_0(\cdot {)}^{″}+\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{k}_g{(\cdot )}^{(4)}-\frac{{\overline{z}}_0^5}{5!}(k_g^2-k_e){(\cdot )}^{(6)}\cdot \cdot \right],L_{42}(\cdot )=\frac{E_x{\overline{h}}^2}{l^2}\left(-\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{(\cdot )}^{(4)}+\frac{{\overline{z}}_0^5}{5!}{k}_g{(\cdot )}^{(6)}\cdot \cdot \right)$

$L_{31}(\cdot )=\frac{E_x\overline{h}}{l}\left[-{\overline{z}}_0(\cdot {)}^{″}+\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{k}_g{(\cdot )}^{(4)}-\frac{{\overline{z}}_0^5}{5!}(k_g^2-k_e){(\cdot )}^{(6)}\cdot \cdot \right],L_{42}(\cdot )=\frac{E_x{\overline{h}}^2}{l^2}\left(-\frac{{\overline{z}}_0^3}{3!}{(\cdot )}^{(4)}+\frac{{\overline{z}}_0^5}{5!}{k}_g{(\cdot )}^{(6)}\cdot \cdot \right)$

$L_{32}(\cdot )=L_{41}(\cdot )=E_x{\overline{h}}^2\left[\frac{{\overline{z}}_0^2}{2!}(\cdot {)}^{‴}-\frac{{\overline{z}}_0^4}{4!}{k}_g{(\cdot )}^{(5)}+\frac{{\overline{z}}_0^6}{6!}(k_g^2-k_e){(\cdot )}^{(7)}-\cdot \cdot \right]$,

где

$k_g={\overline{h}}^2\frac{E_x}{G_{xz}},k_e={\overline{h}}^4\frac{E_x}{E_z},\overline{h}=\frac{h}{l},(\cdot {)}^{\prime }=d(\cdot )/d\overline{x}$.

Принимая в разложениях (2.36) ${\overline{z}}_0=1$ и используя граничные условия (1.4), можно получить для функций $u_0(x)$ и $w_0(x)$ два обыкновенных дифференциальных уравнения, имеющих в пределе бесконечно высокий порядок. Метод не нашел применения для построения неклассических теорий, однако структура операторов $L_{mn}(\cdot )$ позволяет сделать важный вывод. Учет деформации сдвига осуществляется членами с коэффициентом $k_g$, который пропорционален ${\overline{h}}^2$, а для учета нормальной деформации необходимо удерживать члены с коэффициентом $k_e$, пропорциональным ${\overline{h}}^4$. Таким образом, уточняя классические теории для относительно тонкостенных конструкций, целесообразно учитывать деформацию сдвига и пренебрегать нормальной деформацией. Заметим, что в теориях, учитывающих нормальную деформацию, иногда не учитывается трансверсальный эффект Пуассона. Однако этот эффект, как правило, оказывает большее влияние на нормальную деформацию, чем соответствующее нормальное напряжение. Рассмотрим в качестве примера изотропную сферическую оболочку, нагруженную внутренним давлением, и введем относительное радиальное перемещение ${\overline{u}}_r=u_r/u_r^0$, где $u_r^0=p{R}^2/2Eh$. Для оболочки с относительной толщиной $h/R=0.1$ и коэффициентом Пуассона $\nu =0.3$ разность между относительными радиальными перемещениями для внутренней и наружной поверхностей, найденная без учета эффекта Пуассона, составляет 0.01, а аналогичная разность, полученная с учетом эффекта Пуассона, оказывается равной 0.1. В обоих случаях нормальная деформация является малой. Однако при учете эффекта Пуассона она оказывается в 10 раз большей величины, полученной без учета этого эффекта.

3. Слоистые балки, пластины и оболочки. Рассмотрим тонкостенные конструкции, состоящие из слоев с различными свойствами. Обзор исследований в этой области представлен в работах [58–60]. Модель системы, состоящей из относительно жестких слоев, описываемых классической теорией и относительно менее жестких прослоек, передающих на жесткие слои касательные и поперечные нормальные напряжения, предложена В.В. Болотиным [61, 62] и далее развита в монографии [63]. Модель, состоящая из безмоментных слоев и прослоек, работающих на сдвиг, представлена в работах [46, 64]. Широко распространенная в отечественной литературе гипотеза ломаной линии, называемая в английской литературе “Zig-Zag theory” [60], введена Э.И. Григолюком и П.П. Чулковым [65]. Предполагается, что перемещение $u_x$ для слоя с номером $k$ линейно изменяется по координате $z$ и поле перемещений имеет вид (рис. 2):

$u_x^k=u_0(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{\theta }_i}(x)h_i+(z_0-t_{k-1}){\theta }_k(x)(t_{k-1}\le z_0\le t_k),u_z^k=w_0(x)$.

Рис. 2. Слоистая балка.

Возможны два варианта теории. В первом предполагается, что углы поворота ${\theta }_i$ всех слоев являются неизвестными. В результате теория сводится к системе уравнений, порядок которой зависит от числа слоев. Во втором варианте используются условия непрерывности касательных напряжений на границах слоев, которые позволяют связать углы поворота и получить рекуррентные соотношения:

${\theta }_k=\frac{G_{xz}^{(k-1)}}{G_{xz}^{(k)}}{\theta }_{k-1}+\left(\frac{G_{xz}^{(k-1)}}{G_{xz}^{(k)}}-1\right){w^{\prime }}_0$,

позволяющие выразить все углы через угол ${\theta }_1$, соответствующий первому слою. В результате теория сводится к уравнениям, порядок которых не зависит от числа слоев.

Распределение перемещений в форме ломаной линии может быть представлено в виде суперпозиции прямолинейного распределения (рис. 2,a) и дополнительного распределения (рис. 2,b). Прямолинейное распределение соответствует полю перемещений (2.2) и теории, описывающей основное напряженное состояние, сводящееся к интегральным по толщине силам и моментам. Слоистая балка описывается эффективными коэффициентами жесткости [51], которые входят в соотношения упругости, связывающие силы и момент с деформациями для балки с полем перемещений (2.2):

$N_x=B_x{u^{\prime }}_0+C_x{u^{\prime }}_1,M_x=C_x{u^{\prime }}_0+D_x{u^{\prime }}_1,Q_x=S_x(u_1+{w^{\prime }}_0)$,

где

$B_x=I_0,C_x=I_1-e{I}_0,D=I_2-2e{I}_1+e^2{I}_0,I_n={\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}b{E}_x}(z_0)z_0^{n}d{z}_0(n=\mathrm{0,1,2}),S_x=h^2{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{d{z}_0}{b{G}_{xz}}}\right)}^{-1}$   

$B_x=I_0,C_x=I_1-e{I}_0,D=I_2-2e{I}_1+e^2{I}_0,I_n={\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}b{E}_x}(z_0)z_0^{n}d{z}_0(n=\mathrm{0,1,2}),S_x=h^2{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{d{z}_0}{b{G}_{xz}}}\right)}^{-1}$   

и $e$ – координата нейтральной оси балки, отсчитываемая от ее нижней поверхности $z_0=0$. Принимая $e=I_1/I_0$, получим $C_x=0$, то есть для балки осевое нагружение можно отделить от изгиба. Для пластин и оболочек сделать это в общем случае невозможно.

Дополнительное распределение перемещений (рис. 2,b) описывает систему краевых эффектов, затухающих при удалении от края оболочки на расстояние, соизмеримое с ее толщиной. Как отмечено в разделе 2, прикладная значимость этих эффектов невелика и для практического анализа слоистых балок, пластин и оболочек можно ограничиться основным напряженным состоянием, сводящимся к интегральным по толщине силам и моментам [51, 66, 67].

Существуют исключительные случаи, в которых необходимо использовать гипотезу ломаной линии. Рассмотрим осесимметричное нагружение цилиндрической оболочки, образованной из системы чередующихся симметричных армированных слоев с углами $\pm \phi$ по отношению к образующей [64]. При осевом растяжении такой оболочки анизотропные слои поворачиваются относительно оси оболочки в противоположные стороны и распределение кольцевого перемещения по толщине оболочки имеет форму ломаной линии (рис. 3).

Рис. 3. Деформация оболочки, состоящей из слоев с углами армирования ±φ.

4. Заключение. Представлен аналитический обзор существующих неклассических теорий балок, пластин и оболочек, основанных на различных аппроксимациях распределения перемещений по толщине. Вводятся три условия согласования, обеспечивающие корректность получаемой теории. Условие энергетического согласования требует, чтобы уравнения равновесия, получаемые с помощью принципа возможных перемещений и вариа­ционного принципа Лагранжа, совпадали. Согласно условию кинематического согласования, граничные условия, полученные из вариационного принципа для полностью закрепленного края, должны обеспечивать обращение в ноль перемещений. Условие статического согласования требует, чтобы граничные условия, полученные из вариационного принципа для свободного края, обеспечивали обращение в ноль всех интегральных по толщине силовых факторов, соответствующих принятой кинематической модели. Единственная прикладная теория, в которой выполняются все условия согласования, основана на линейном распределении тангенциальных перемещений по толщине и отсутствии поперечной нормальной деформации. Эту теорию предлагается квалифицировать как теорию основного напряженного состояния однородных и слоистых балок, пластин и оболочек, сводящегося к интегральным по толщине силам и моментам. Рассматриваются и обсуждаются основные существующие варианты неклассических теорий.