Mathematical Model of Radiation Conductivity and Electron Emission in Wide-Gap Dielectrics

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом является причиной возникновения целого спектра физических эффектов. Существует два основных способа исследования этих эффектов: натурные эксперименты и математическое моделирование. При исследовании мощных потоков достаточно мягкого рентгеновского излучения проведение натурных экспериментов становится очень дорогим и сложным. К тому же натурный эксперимент имеет ограниченный инструментарий для измерения результатов и по его результатам достаточно сложно судить о причине тех или иных физических эффектов. Математическое моделирование позволяет получить результаты с меньшими финансовыми и трудовыми затратами, получить распределение физических величин, которые нельзя измерить в натурных экспериментах, а также сделать вывод о физических явлениях, происходящих при воздействии ионизирующего излучения на вещество. Однако используемые математические модели должны быть фундаментальными и применяемые приближения не должны приводить к искажению результатов. Также математические модели не могут существовать сами по себе без проверки их на натурных экспериментах.

В последнее время большой интерес вызывает использование диэлектриков с большой шириной запрещенной зоны для регистрации мощного рентгеновского излучения [1–3]. В прошлых работах исследовался отклик таких диэлектрических датчиков на воздействие установки Ангара-5–1 [4–6]. Была построена частная модель генерации радиационной проводимости в приповерхностном слое диэлектрика. Однако сравнение результатов расчетов с экспериментом показало, что имеет смысл построить совместную полную математическую модель радиационной проводимости в диэлектрике и обратной эмиссии электронов. В этой работе будет построена полная математическая модель генерации радиационной проводимости в объеме диэлектрика и самосогласованной эмиссии электронов с его поверхности. В качестве примера математические модели будут проверены на натурных экспериментах по воздействию рентгеновского излучения мощностью порядка 1 МВт/см² и со средней энергия фотонов 100 эВ на образцы из кварца и сапфира.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕМНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ

При воздействии рентгеновского излучения на диэлектрический кристалл возникают фотоэлектроны, которые могут генерировать электронно-дырочные пары в объеме кристалла и эмитировать с его поверхности. Для описания этих эффектов необходимо построить математическую модель кинетики фотонов и электронов в диэлектрике.

В математической модели рассматриваются следующие типы столкновительных процессов рентгеновских квантов с атомами вещества:

• когерентное рассеяние. При когерентном (или рэлеевском) рассеянии квант взаимодействует со связанным атомным электроном без возбуждения атома. Энергии налетающего и рассеянного фотонов совпадают. В результате рассеяния изменяется только направление движения фотона. Сечение этого процесса описывается с помощью формулы Томпсона с учетом релятивистского форм-фактора;
• комптоновское (некогерентное) рассеяние. Комптоновское рассеяние кванта на свободном покоящемся электроне описывается дифференциальным сечением Кляйны-Нишины, а связанность электрона в атоме учитывается путем введения функции рассеяния [7];
• фотопоглощение квантов (фотоионизация атомов). При фотоионизации квант поглощается атомом с переводом атомарного электрона в непрерывный спектр. Электрон приобретает кинетическую энергию, равную разности энергии фотона и энергии связи указанного электрона в атоме. Полные сечения фотопоглощения и дифференциальные сечения рождения фотоэлектрона представлены в работе [8];
• рождение электрон-позитронных пар. Рождение электрон-позитронной пары обусловлено взаимодействием фотона высокой энергии с вакуумом. При энергиях фотонов до 10 МэВ данный физический эффект пренебрежимо маловероятен по сравнению с комптоновским рассеянием. Тем не менее, в рассматриваемой модели он учтен [9].

При воздействии мягкого рентгеновского излучения установки Ангара-5-1 на диэлектрик типа кварца или сапфира можно рассматривать только фотоионизацию атомов.

В результате взаимодействия квантов с веществом возникает фотон-электронный каскад. Для электронов рассматриваются следующие процессы взаимодействия с веществом:

• упругое рассеяние на атомах вещества, приводящее к отклонению электрона от первоначального направления движения;
• возбуждение атомов, сопровождающееся малыми потерями энергии электрона;
• ионизационные столкновения или ударная ионизация (электроионизация) с появлением в непрерывном спектре вторичного электрона;
• радиационное торможение в кулоновском поле атома с генерацией фотона тормозного излучения.

Модель переноса использует вероятностные распределения характеристик частиц после рассеяния. Данные распределения строятся путем обработки сечений соответствующих процессов рассеяния [10]. Основным источником сечений является база данных Национального центра ядерных данных [11].

В квазистационарном приближении состояние электрона, фотона или позитрона описывается переменными: x = (r, Ω, E), где r, Ω, E – координаты, направление движения и энергия соответственно. Интегро-дифференциальное уравнение для плотности потока частиц Φ (r, Ω, E) сводится к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода [12, 13]:

$$\begin{gathered} \Phi \left(r,\Omega ,E\right)={\Phi }_0\left(r,\Omega ,E\right)+ \\ +{\int }_0^{\infty }d\xi \exp \left\{-\tau \left(r-\xi \Omega ,r,E\right)\right\}\times \\ \times \int d{\Omega }^{\text{'}}\int d{E}^{\text{'}}{\mu }_s\left(r-\xi \Omega ,{\Omega }^{\text{'}},E^{\text{'}},E\right) \\ \Phi \left(r-\xi \Omega ,{\Omega }^{\text{'}},E^{\text{'}}\right), \end{gathered}$$ (1)

где

$$\begin{gathered} {\Phi }_0\left(r,\Omega ,E\right)={\int }_0^{\infty }d\xi \exp \left\{-\tau \left(r-\xi \Omega ,r,E\right)\right\}\times \\ \times S\left(r-\xi \Omega ,\Omega ,E\right), \end{gathered}$$

S (r, Ω, E) – источник излучения; $\tau \left(r^{\text{'}},r,E\right)={\int }_0^{\xi }\mu \left(r-{\xi }^{\text{'}}\Omega ,E\right)d{\xi }^{\text{'}}$ – оптическое расстояние (глубина) между точками r и r′ = r − ξΩ; μ, μ_s – полное и дифференциальное макроскопические сечения рассеяния частиц.

Процесс прохождения частицы через вещество представляется ее траекторией — последовательностью элементарных актов взаимодействия с атомами вещества. Такое представление удобно для моделирования переноса излучения методом Монте-Карло.

Результатами расчета в рамках рассмотренной модели являются распределения энерговыделения и плотностей потока частиц в объеме кристалла. Исходя из величины энерговыделения рассчитывается количество электронно-дырочных пар:

$N_{e-h}=\frac{J}{{\epsilon }_i}f\left(E\right)$.

Здесь J – энерговыделение, ε_i – средняя энергия ионизации, необходимая для образования пары (для кварца ε_i = 17 эВ), f(E) — функция выхода частиц, связанная с первичной рекомбинацией [14].

Источник электронов проводимости и дырок валентной зоны представим в виде:

$Q_{e,h}=\frac{N_{e-h}{F}_{e,h}\left(\epsilon \right)}{{\displaystyle {\int }_0^{t_{имп.}}{f}_x\left(t\right)}}, \int F_{e,h}\left(\epsilon )\right)d\epsilon =1$,

где функция F_e,h(ε) представляет собой распределение рождающихся носителей заряда по энергиям.

В математической модели радиационной проводимости движение и рассеяние электронов проводимости и дырок валентной зоны описывается полными кинетическими уравнениями. Эти уравнения должны учитывать рассеяние электронов проводимости или дырок валентной зоны на дефектах решетки [15]:

$\frac{\partial f_{e,h}}{\partial t}+v\frac{\partial f_{e,h}}{\partial r}-e\left(E+\frac{1}{c}\left[vH\right]\right)\frac{\partial f_{e,h}}{\partial p}=I\left[f\right]+Q_{e,h}$, (2)

где c – скорость света, E – напряженность электрического поля, H – напряженность магнитного поля.

Правая часть уравнения (2) описывает изменение функции распределения за счет рассеяния. Здесь I [f] — оператор, действующий на функцию распределения по переменной квазиимпульса. Интеграл рассеяния определяется через скорости перехода из состояния  в состояние p и обратно.

Скорости прямой и обратной реакции подчиняются принципу детального равновесия:

$\frac{W\left(p^{\text{'}},p\right)}{W\left(p,p^{\text{'}}\right)}=\exp \left\{\frac{\epsilon \left(p^{\text{'}}\right)-\epsilon \left(p\right)}{{\kappa }_{B}T}\right\}$. (3)

Электромагнитное поле в (3) в диэлектрике создается движением всех заряженных частиц: свободных электронов и носителей заряда в кристалле. Уравнения (2) дополняются уравнениями Максвелла с соответствующими начальными условиями [16]. Прямое моделирование токов электронов проводимости и дырок валентной зоны как стороннего тока в уравнениях Максвелла не представляется возможным. Этот ток можно выразить как σE — ток радиационной проводимости. Соответственно, уравнения Максвелла можно записать как [15]:

$rotH=\frac{\epsilon }{c}\frac{\partial E}{\partial t}+\frac{4\pi \sigma }{c}E+\frac{4\pi }{c}j, rotE=-\frac{1}{c}\frac{\partial H}{\partial t}$, (4)

в этих уравнениях — проводимость электрон-дырочной плазмы равняется

$\sigma =e{n}_e{\mu }_e+e{n}_h{\mu }_h$, (5)

где e — заряд электрона, n_e, n_h — концентрации, μ_e, μ_h – подвижности электронов и дырок. При вычислении подвижностей носителей заряда с энергией  через время релаксации учитывались процессы рассеяния на акустических и оптических фононах и рассеяние на заряженных примесях.

Первое слагаемое в правой части выражения для плотности тока (4) описывает плотность тока электронов проводимости и дырок. Свободные электроны генерируют в кремнии плотность тока j₀. Она, также как и источник неравновесных носителей Q, вычисляется как функционал функции распределения свободных электронов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭМИССИИ ФОТОЭЛЕКТРОНОВ

Электроны, вылетевшие с поверхности диэлектрика, движутся, не рассеиваясь (при условии глубокого вакуума вблизи поверхности). Их движение происходит только под действием самосогласованного электрического поля. Для моделирования кинетики электронов необходимо решить нестационарное кинетическое уравнение [17] совместно с полной системой уравнений Максвелла (4). Источник для кинетического уравнения может быть рассчитан решением уравнений переноса (1).

Рассмотрим кинетическое уравнение для функции распределения электронов f = f (t, r, p) в фазовом пространстве координат r = (x, y, z) и импульсов p = (p_x, p_y, p_z):

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial t}+di{v}_r\left(vf\right)+edi{v}_p\left[\left(E+\left[\beta ,H\right]\right)f\right]+{\sigma }^{t}vf= \\ =Q\left(t,r,p\right)+\int d{p}^{\text{'}}\sigma \left(p,p^{\text{'}}\right)v^{\text{'}}f\left(p^{\text{'}}\right), \end{gathered}$$ (6)

где t – лабораторное время, v – скорость электрона, E = E (t, r) и H = H (t, r) – напряженности электрического и магнитного полей, div_r и div_p – дивергенции в пространствах координат и импульсов, e – заряд электрона, $\beta =\frac{v}{c}$, c – скорость света в вакууме, σ^t – полное макроскопическое сечение рассеяния электронов, σ(p, p′) – дифференциальное макроскопическое сечение рассеяния электронов, p′ и p – импульсы электрона до и после рассеяния, соответственно, Q = Q (t, r, p) – источник электронов, выражающий интенсивность их генерации в точке фазового пространства.

Так как фотоэлектроны не рассеиваются, то в кинетическом уравнении интеграл рассеяния электронов и слагаемое, содержащее полное макроскопическое сечение рассеяния электронов можно выкинуть:

$\frac{\partial f}{\partial t}+di{v}_r\left(vf\right)+edi{v}_p\left[\left(E+\left[\beta ,H\right]\right)f\right]=Q\left(t,r,p\right)$. (7)

Дифференциальное уравнение (7) эквивалентно [10] интегральному уравнению:

$f={\int }_0^{t}d\tilde{t}\int d\tilde{r}\int d\tilde{p}Q\left(\tilde{t},\tilde{r},\tilde{p}\right)\times \delta \left(r-r^s\right)\delta \left(p-p^s\right)$, (8)

где функции $r^s=r^s\left(t,\tilde{t},\tilde{r},\tilde{p}\right)$, $p^s=p^s\left(t,\tilde{t},\tilde{r},\tilde{p}\right)$ являются решениями уравнений движения:

$\frac{d{p}^s}{dt}=e\left(E\left(t,r^s\right)+\frac{1}{c}\left[v^s,H\left(t,r^s\right)\right]\right)$ (9)

с начальными условиями ${\left.r^s\right|}_{t=\tilde{t}}=\tilde{r}$, ${\left.p^s\right|}_{t=\tilde{t}}=\tilde{p}$.

Интегральное уравнение (8) решается методом последовательных поколений [18] в пространстве финитных обобщенных функций [19].

Кинетические уравнения замыкаются уравнениями Максвелла для компонент электромагнитного поля (4).

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

В качестве примера использования разработанных математических моделей рассматривается воздействие мощного рентгеновского излучения на диэлектрический кристалл [4-6]. Мощность потока излучения на поверхности сапфира принимается равной 1 МВт/см², средняя энергия рентгеновских квантов 100 эВ. Результаты получены для воздействия на кристаллы кварца и сапфира.

Физико-геометрическая модель численного эксперимента представлена на рис. 1.

 

Рис. 1. Физическая схема численного эксперимента.

 

При воздействии фотонов из поверхности диэлектрика выбиваются фотоэлектроны. Эти фотоэлектроны генерируют Z-компоненту плотности тока, которая порождает электрическое поле, тормозящее эти электроны. Внутри диэлектрика фотоэлектроны генерируют электронно-дырочные пары, из-за кинетики которых возникает радиационная проводимость.

Рассчитано пространственное распределение поглощенной дозы в сапфире. На рис. 2 показано сравнение поглощенной дозы в сапфире и кварце. Видно, что рентгеновское излучение практически одинаково поглощается в приповерхностных слоях детекторов. Дальнейшие результаты по моделированию электрических полей приведены для воздействия рентгеновского излучения на сапфир.

 

Рис. 2. Сравнение зависимостей поглощенной дозы по глубине в сапфире и кварце.

 

Проведено три расчета с использованием разных конфигурацией математической модели. В первом расчете использовались модель переноса излучения и модель кинетики вторичных носителей заряда в диэлектрике, т.е. моделировались только объемные эффекты, связанные с возникновением электронно-дырочных пар и стороннего тока фотоэлектронов. Во втором расчете моделировалась эмиссия электронов с поверхности сапфира. Электрическое поле вблизи поверхности генерировалось только эмиссией электронов и моделировалось совместным решением самосогласованных уравнений Максвелла и кинетических уравнений для фотоэлектронов. В третьем расчете использовалась полная математическая модель, изложенная в данной работе. Результаты расчетов показали сильное влияние объемных радиационных эффектов на электрическое поле вблизи поверхности диэлектрика. На рис. 4 показана зависимость напряженности электрического поля от времени под поверхностью диэлектрика (рис. 4а) и вблизи поверхности (рис. 4б). Видно, что электрическое поле внутри диэлектрика определяется только объемными радиационными эффектами, связанными со сторонним током фотоэлектронов и радиационной проводимостью. Тогда как вблизи поверхности во втором расчете наблюдается сильное электрическое поле, которое достигает 30 МВ/м. При учете объемных радиационных эффектов, в первую очередь стороннего тока фотоэлектронов внутри сапфира, поле сильно снижается примерно в 20 раз.

 

Рис. 3. Спектр фотоэлектронов.

 

Рис. 4. Зависимость напряженности электрического поля от времени под поверхностью и вблизи поверхности диэлектрика. Синим цветом обозначен первый расчет, красным цветом обозначен второй расчет, черным цветом обозначен третий расчет.

 

На рис. 5 показана зависимость напряженности электрического поля от координаты Z (направление перпендикулярное поверхности диэлектрика) в момент максимума импульса рентгеновского излучения. Объемный сторонний ток в диэлектрике уменьшает напряженность электрического поля вблизи поверхности диэлектрика. Внутри диэлектрика при учете эмиссии с поверхности напряженность электрического поля меняет знак и соответственно изменяется кинетика вторичных носителей заряда. Электроны проводимости могут глубже проникать в толщу диэлектрика создавать радиационную проводимость на большей глубине.

 

Рис. 5. Зависимость напряженности электрического поля по глубине в момент времени, который соответствует максимуму импульса рентгеновского излучения. Синим цветом обозначен первый расчет, красным цветом обозначен второй расчет, черным цветом обозначен третий расчет.

 

ВЫВОДЫ

По результатам анализа результатов моделирования радиационной проводимости в кристаллическом диэлектрике типа кварца/сапфира видно, что применение предложенной комплексной математической модели генерации и динамики вторичных носителей заряда в глубине диэлектрика и эмиссии фотоэлектронов с его поверхности позволяет учитывать как поверхностные, так и объемные радиационные эффекты. Учет стороннего ток в объеме диэлектрика уменьшает электрическое поле вблизи поверхности. Также видна качественная разница результатов моделирования электрического поля и кинетики вторичных носителей заряда внутри диэлектрика при учете поверхностных радиационных эффектов. Можно сделать вывод о применимости построенной математической модели объемных и поверхностных радиационных эффектов для моделирования диэлектрических датчиков на основе широкозонных диэлектриков при воздействии на них мощного рентгеновского излучения.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках Соглашения № 075-15-2024-637 от 28.06.2024 г.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

About the authors

A. V. Berezin

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: liu_roach@mail.ru
Russian Federation, Moscow, 125047

V. M. Kanevsky

Kurchatov Institute

Email: liu_roach@mail.ru
Russian Federation, Moscow, 123182

I. A. Tarakanov

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences; Kurchatov Institute

Email: liu_roach@mail.ru
Russian Federation, Moscow, 125047; Moscow, 123182

References

Supplementary files