On the arithmetic of modified idèle class groups

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

Let $k$ be a number field and $S$, $T$ sets of places of $k$. For each prime $p$, we define an invariant $\mathscr{G}=\mathscr{G}_p(k_\infty/k,S,T)$ related to the Galois group of the maximal abelian extension of $k$ which is unramified outside $S$ and splits completely in $T$. In the main theorem we interpret $\mathscr{G}$ in terms of another arithmetic object $\mathscr{U}$ that involves various unit groups and uses genus theory applied to certain modules,which are technically modified from idèle groups. We show that this interpretation is functorial with respect to $S$ and $T$ and thereby providesinteresting connections between $\mathscr{G}$ and $\mathscr{U}$ as $S$ and $T$ vary. The settings and methods are new, and different from the classical genus theoreticmethods for idèle groups. The advantage of the new methods at the finite level not only generalizes but also strengthens certain known results involving the maximal $p$-abelian profinite Galois groupof $k$ that is $S$-ramified and $T$-split in terms of the arithmetic of certain units of $k$. At the infinite level, the method relates the deep arithmeticof special units with those of profinite Galois groups. For example, for special cases of $S$ and $T$, the invariants $\mathscr{G}$ are related to the conjectures of Gross (or Kuz'min–Gross) and Leopoldtand accordingly, in these special cases, the functorial interpretation of $\mathscr{G}$ as $S$ and $T$ vary involves interestingconnections between the conjectures of Gross and Leopoldt in a simpler and more concrete way. As a result, we conjecture that $\mathscr{G}$ is finite for all finite disjoint sets$S$, $T$ over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-tower of $k$, which includes the conjectures of Gross and Leopoldt as special cases.

Sobre autores

Wan Lee

Yonsei University

Email: wannim@yonsei.ac.kr

Soogil Seo

Yonsei University

PhD, Professor

Bibliografia

  1. C. D. Gonzalez-Aviles, “Capitulation, ambiguous classes and the cohomology of units”, J. Reine Angew. Math., 2007:613 (2007), 75–97
  2. G. Gras, “Groupe de Galois de la $p$-extension abelienne $p$-ramifiee maximale d'un corps de nombres”, J. Reine Angew. Math., 1982:333 (1982), 86–132
  3. G. Gras, Class field theory. From theory to practice, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2003, xiv+491 pp.
  4. Л. В. Кузьмин, “Модуль Тэйта полей алгебраических чисел”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:2 (1972), 267–327
  5. B. Gross, “$p$-adic $L$-series at $s = 0$”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 28:3 (1981), 979–994
  6. K. Iwasawa, “On cohomology groups of units for $mathbf Z_p$-extensions”, Amer. J. Math., 105:1 (1983), 189–200
  7. Л. В. Кузьмин, “О формулах для числа классов вещественных абелевых полей”, Изв. РАН. Сер. матем., 60:4 (1996), 43–110
  8. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of number fields, Grundlehren Math. Wiss., 323, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2008, xvi+825 pp.
  9. Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Элементы математики, Наука, М., 1968, 272 с.
  10. J.-F. Jaulent, L'arithmetique des $ell$-extensions, Thèse de doctorat d'etat en mathematiques, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Theorie des nombres. Fasc. 1. 1984–1986, Univ. Franche-Comte, Besançon, 1986, viii+349 pp.
  11. J.-F. Jaulent, “Theorie $ell$-adique globale du corps de classes”, J. Theor. Nombres Bordeaux, 10:2 (1998), 355–397
  12. Thong Nguyen-Quang-Do, “Sur la $mathbb{Z}_p$-torsion de certains modules galoisiens”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 36:2 (1986), 27–46
  13. M. Karoubi, T. Lambre, “Sur la $K$-theorie du foncteur norme”, J. Algebra, 321:10 (2009), 2754–2781
  14. K. Iwasawa, “On $mathbf Z_{l}$-extensions of algebraic number fields”, Ann. of Math. (2), 98:2 (1973), 246–326
  15. A. Brumer, “On the units of algebraic number fields”, Mathematika, 14:2 (1967), 121–124
  16. R. Greenberg, “On the structure of certain Galois groups”, Invent. Math., 47:1 (1978), 85–99
  17. S. Seo, On the universal norm elements of a number field, preprint, Yonsei University, Seoul, 2020
  18. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Элементы математики, M., Мир, 1971, 708 с.
  19. M. Kolster, “An idelic approach to the wild kernel”, Invent. Math., 103:1 (1991), 9–24
  20. J.-F. Jaulent, “Classes logarithmiques des corps de nombres”, J. Theor. Nombres Bordeaux, 6:2 (1994), 301–325
  21. J.-F. Jaulent, “Classes logarithmiques des corps totalement reels”, Acta Arith., 103:1 (2002), 1–7
  22. S. Seo, “On the conjectures of Gross and Leopoldt”, Math. Res. Lett., 22:5 (2015), 1509–1540
  23. P. Schneider, “Über gewisse Galoiskohomologiegruppen”, Math. Z., 168:2 (1979), 181–205

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML

Declaração de direitos autorais © Lee W., Seo S., 2020

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».