Criteria for $C^1$-approximability of functions on compact sets in ${\mathbb{R}}^N$, $N \geq 3$, by solutions of second-order homogeneous elliptic equations
- Authors: Paramonov P.V.1,2
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
- Saint Petersburg State University
- Issue: Vol 85, No 3 (2021)
- Pages: 154-177
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/1607-0046/article/view/133861
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9036
- ID: 133861
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We obtain capacitive criteria for the approximability of individual functions by solutions of second-order homogeneous ellipticequations with constant complex coefficients in the norm of a Whitney-type $C^1$-space on a compact setin $\mathbb{R}^N$, $N \geq 3$. The case $N=2$ was studied in a recent paper by the author and Tolsa.For $C^1$-approximations by harmonic functions (with any $N$), weaker criteria were earlier found by the author.We establish some metric properties of the capacities considered.
About the authors
Petr Vladimirovich Paramonov
Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Saint Petersburg State University
Email: petr.paramonov@list.ru
References
- М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Условия $C^m$-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений”, УМН, 67:6(408) (2012), 53–100
- P. V. Paramonov, X. Tolsa, “On $C^1$-approximability of functions by solutions of second order elliptic equations on plane compact sets and $C$-analytic capacity”, Anal. Math. Phys., 9:3 (2019), 1133–1161
- Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.
- A. G. O'Farrell, “Rational approximation in Lipschitz norms. II”, Proc. Roy. Irish Acad. Sect. A, 79:11 (1979), 103–114
- J. Verdera, “$C^m$-approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon–Zygmund operators”, Duke Math. J., 55:1 (1987), 157–187
- П. В. Парамонов, “Критерии индивидуальной $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $mathbb R^N$”, Матем. сб., 209:6 (2018), 83–97
- П. В. Парамонов, “О гармонических аппроксимациях в $C^1$-норме”, Матем. сб., 181:10 (1990), 1341–1365
- А. Г. Витушкин, “Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений”, УМН, 22:6(138) (1967), 141–199
- Дж. Вердера, М. С. Мельников, П. В. Парамонов, “$C^1$-аппроксимация и продолжение субгармонических функций”, Матем. сб., 192:4 (2001), 37–58
- R. Harvey, J. C. Polking, “A Laurent expansion for solutions to elliptic equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 180 (1973), 407–413
- П. В. Парамонов, “Некоторые новые критерии равномерной приближаемости функций рациональными дробями”, Матем. сб., 186:9 (1995), 97–112
- М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, “Критерии $C^m$-приближаемости бианалитическими функциями на плоских компактах”, Матем. сб., 206:2 (2015), 77–118
- P. Mattila, P. V. Paramonov, “On geometric properties of harmonic $operatorname{Lip}_1$-capacity”, Pacific J. Math., 171:2 (1995), 469–491
- R. Harvey, J. Polking, “Removable singularities of solutions of linear partial differential equations”, Acta Math., 125 (1970), 39–56
- В. Я. Эйдерман, “Оценки потенциалов и $delta$-субгармонических функций вне исключительных множеств”, Изв. РАН. Сер. матем., 61:6 (1997), 181–218
- V. Eiderman, F. Nazarov, A. Volberg, “Vector-valued Riesz potentials: Cartan-type estimates and related capacities”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 101:3 (2010), 727–758
- А. Г. Витушкин, “Пример множеств положительной длины, но нулевой аналитической емкости”, Докл. АН СССР, 127:2 (1959), 246–249
- X. Tolsa, “Painleve's problem and the semiadditivity of analytic capacity”, Acta Math., 190:1 (2003), 105–149
- X. Tolsa, “The semiadditivity of continuous analytic capacity and the inner boundary conjecture”, Amer. J. Math., 126:3 (2004), 523–567
- A. Volberg, Calderon–Zygmund capacities and operators on nonhomogeneous spaces, CBMS Regional Conf. Ser. in Math., 100, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, iv+167 pp.
- A. Ruiz de Villa, X. Tolsa, “Characterization and semiadditivity of the $mathcal C^1$-harmonic capacity”, Trans. Amer. Math. Soc., 362:7 (2010), 3641–3675
- G. David, J. L. Journe, S. Semmes, “Operateurs de Calderon–Zygmund, fonctions para-accretives et interpolation”, Rev. Mat. Iberoamericana, 1:4 (1985), 1–56
- F. Nazarov, S. Treil, A. Volberg, “The {$Tb$}-theorem on non-homogeneous spaces”, Acta Math., 190:2 (2003), 151–239
- F. Nazarov, S. Treil, A. Volberg, “Weak type estimates and Cotlar inequalities for Calderon–Zygmund operators on nonhomogeneous spaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1998:9 (1998), 463–487
- X. Tolsa, Analytic capacity, the Cauchy transform, and non-homogeneous Calderon–Zygmund theory, Progr. Math., 307, Birkhäuser/Springer, Cham, 2014, xiv+396 pp.
Supplementary files
