Conformally invariant inequalities in domains in Euclidean space

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study conformally invariant integral inequalities for real-valuedfunctions defined on domains $\Omega$ in $n$-dimensional Euclideanspace. The domains considered are of hyperbolic type, that is, they admita hyperbolic radius $R=R(x, \Omega)$ satisfying the Liouvillenon-linear differential equation and vanishing on the boundary of thedomain. We prove several inequalities which hold for all smooth compactlysupported functions $u$ defined on a given domain of hyperbolic type.Here are two of them:$$\int|\nabla u|^2R^{2-n}  dx \geq n (n-2)\int|u|^2R^{-n}  dx,$$$$\int|(\nabla u, \nabla R)|^p R^{p-s}  dx\geq \frac{2^pn^p}{p^p}\int|u|^pR^{-s}  dx,$$where $n\geq 2$, $1\leq p< \infty$ and $1+n/2 \leq s <\infty$.We also study the relations between Euclidean and hyperbolic characteristicsof domains.

About the authors

Farit Gabidinovich Avkhadiev

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: avkhadiev47@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The analysis and geometry of Hardy's inequality, Universitext, Springer, Cham, 2015, xv+263 pp.
  2. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
  3. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  4. Г. Харди, Дж. И. Литтлвуд, Г. Полиа, Неравенства, ИЛ, М., 1948, 456 с.
  5. T. Matskewich, P. E. Sobolevskii, “The best possible constant in generalized Hardy's inequality for convex domain in ${R}^n$”, Nonlinear Anal., 28:9 (1997), 1601–1610
  6. M. Marcus, V. J. Mizel, Y. Pinchover, “On the best constant for Hardy's inequality in $mathbb{R}^n$”, Trans. Amer. Math. Soc., 350:8 (1998), 3237–3255
  7. F. G. Avkhadiev, “Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants”, Lobachevskii J. Math., 21 (2006), 3–31
  8. Ф. Г. Авхадиев, И. К. Шафигуллин, “Точные оценки констант Харди для областей со специальными граничными свойствами”, Изв. вузов. Матем., 2014, № 2, 69–73
  9. G. Psaradakis, “$L^1$ Hardy inequalities with weights”, J. Geom. Anal., 23:4 (2013), 1703–1728
  10. J. L. Fernandez, “Domains with strong barrier”, Rev. Mat. Iberoamericana, 5:1-2 (1989), 47–65
  11. A. Ancona, “On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in $mathbb{R}^n$”, J. London Math. Soc. (2), 34:2 (1986), 274–290
  12. Ch. Pommerenke, “Uniformly perfect sets and the Poincare metric”, Arch. Math. (Basel), 32:2 (1979), 192–199
  13. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, Schwarz–Pick type inequalities, Front. Math., Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, viii+156 pp.
  14. L. V. Ahlfors, Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw-Hill Series in Higher Math., McGraw-Hill Book Co., New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973, ix+157 pp.
  15. Л. Альфорс, Преобразования Мeбиуса в многомерном пространстве, Мир, М., 1986, 112 с.
  16. C. Bandle, M. Flucher, “Harmonic radius and concentration of energy; hyperbolic radius and Liouville's Equations $Delta U=e^U$ and $Delta U =U^{frac{n+2}{n-2}}$”, SIAM Rev., 38:2 (1996), 191–238
  17. C. Loewner, L. Nirenberg, “Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations”, Contribution to analysis, A collection of papers dedicated to L. Bers, Academic Press, New York, 1974, 245–272
  18. R. Schoen, Shing-Tung Yau, “Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature”, Invent. Math., 92:1 (1988), 47–71
  19. J. L. Fernandez, J. M. Rodriguez, “The exponent of convergence of Riemann surfaces. Bass Riemann surfaces”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 15:1 (1990), 165–183
  20. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения”, Матем. сб., 206:12 (2015), 3–28
  21. Ф. Г. Авхадиев, “Конформно инвариантные неравенства”, Комплексный анализ, Итоги науки и техники. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 142, ВИНИТИ РАН, М., 2017, 28–41
  22. Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства Реллиха для полигармонических операторов в областях на плоскости”, Матем. сб., 209:3 (2018), 4–33
  23. D. Sullivan, “Related aspects of positivity in Riemannian geometry”, J. Differential Geom., 25:3 (1987), 327–351
  24. F. Avkhadiev, A. Laptev, “Hardy inequalities for nonconvex domains”, Around the research of Vladimir Maz'ya, v. I, Int. Math. Ser. (N. Y.), 11, Springer, New York, 2010, 1–12
  25. Ф. Г. Авхадиев, “Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна $1/4$”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 3–26
  26. F. G. Avkhadiev, “Hardy–Rellich inequalities in domains of the Euclidean space”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 469–484
  27. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства Харди и Реллиха в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 18–44
  28. M. P. Owen, “The Hardy–Rellich inequality for polyharmonic operators”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 129:4 (1999), 825–839

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Авхадиев Ф.G.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).