On weak solvability of fractional models of viscoelastic high order fluid

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this paper, we establish the existence of a weak solution to theinitial boundary value problem for the motion equations ofviscoelastic incompressible fluid with constitutive lawcontaining high-order fractional derivatives and with memoryalong the trajectories of the velocity field. The proof is by approximation of the original problem by a sequence ofregularized problems followed by a passage to the limit based onappropriate a priori estimates. Methods of the theory of fractionalderivatives calculus and the theory of regular Lagrangian flows(generalization of the classical solution of ODE systems) are used.

About the authors

Viktor Grigorevich Zvyagin

Voronezh State University

Email: zvg@math.vsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-1913-3714
SPIN-code: 9212-8955
Scopus Author ID: 7004702455
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Vladimir Petrovich Orlov

Voronezh State University

Email: orlov@kfa.vsu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. И. Дьярмати, Неравновесная гидродинамика. Теория поля и вариационные принципы, Мир, М., 1974, 304 с.
  2. А. П. Осколков, “Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина–Фойгта и жидкостей Олдройта”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, 1988, 126–164
  3. F. Mainardi, G. Spada, “Creep, relaxation and viscosity properties for basic fractional models in rheology”, Eur. Phys. J. Spec. Top., 193 (2011), 133–160
  4. Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс, Неравенства в механике и физике, Наука, М., 1980, 384 с.
  5. J. G. Oldroyd, “Non-linear stress, rate of strain relations at finite rates of shear in so-called “linear” elastico-viscous liquids”, Second order effects in elasticity, plasticity and fluid dynamics (Haifa, 1962), Jerusalem Academic Press, London, 1964, 520–529
  6. Д. Бленд, Теория линейной вязкоупругости, Мир, М., 1965, 200 с.
  7. Г. В. Виноградов, А. Я. Mалкин, Реология полимеров, Химия, М., 1977, 440 с.
  8. У. Л. Уилкинсон, Неньютоновские жидкости, Мир, М., 1964, 216 с.
  9. В. Г. Звягин, М. В. Турбин, Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред, Красанд, М., 2012, 416 с.
  10. А. П. Осколков, “О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 9, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 59, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1976, 133–177
  11. А. П. Осколков, О нестационарных течениях упруговязких жидкостей, Препринт ЛОМИ Р-3-80, Л., 1980, 39 с.
  12. А. П. Осколков, “О некоторых модельных нестационарных системах в теории неньютоновских жидкостей. IV”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 13, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 110, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1981, 141–162
  13. Н. А. Каразеева, А. А. Котсиолис, А. П. Осколков, “О динамических системах, порождаемых начально-краевыми задачами для уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей”, Краевые задачи математической физики. 14, Сборник научных трудов, Тр. МИАН СССР, 188, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1990, 59–87
  14. Ю. Я. Агранович, П. Е. Соболевский, “Исследование математической модели вязкоупругой жидкости”, Докл. АН УССР. Сер. А, 10 (1989), 3–6
  15. Yu. Ya. Agranovich, P. E. Sobolevskii, “Motion of nonlinear visco-elastic fluid”, Nonlinear Anal., 32:6 (1998), 755–760
  16. Дж. Г. Олдройт, “Неньютоновские течения жидкостей и твердых тел”, Реология. Теория и приложения, ИЛ, М., 1962, 757–793
  17. В. Г. Литвинов, Об операторных уравнениях, описывающих течения нелинейной вязко-упругой жидкости, Препринт № 88.46, Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1988, 58 с.
  18. V. P. Orlov, P. E. Sobolevskii, “On mathematical models of a viscoelasticity with a memory”, Differential Integral Equations, 4:1 (1991), 103–115
  19. В. Г. Звягин, В. Т. Дмитриенко, “О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости”, Дифференц. уравнения, 38:12 (2002), 1633–1645
  20. В. П. Орлов, “О сильных решениях регуляризованной модели нелинейно-вязкоупругой среды”, Матем. заметки, 84:2 (2008), 238–253
  21. V. G. Zvyagin, V. P. Orlov, “Solvability of one non-Newtonian fluid dynamics model with memory”, Nonlinear Anal., 172 (2018), 73–98
  22. V. Zvyagin, V. Orlov, “Weak solvability of fractional Voigt model of viscoelasticity”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 38:12 (2018), 6327–6350
  23. V. Zvyagin, V. Orlov, “On one problem of viscoelastic fluid dynamics with memory on an infinite time interval”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 23:9 (2018), 3855–3877
  24. V. G. Zvyagin, D. A. Vorotnikov, Topological approximation methods for evolutionary problems of nonlinear hydrodynamics, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 12, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2008, xii+230 pp.
  25. Haitao Qi, Mingyu Xu, “Unsteady flow of viscoelastic fluid with fractional Maxwell model in a channel”, Mech. Res. Comm., 34:2 (2007), 210–212
  26. D. Tripathi, “Peristaltic flow of a fractional second grade fluid through a cylindrical tube”, Thermal Sci., 15:suppl. 2 (2011), 167–173
  27. D. Tripathi, O. A. Beg, “Peristaltic propulsion of generalized Burgers' fluids through a non-uniform porous medium: a study of chyme dynamics through the diseased intestine”, Math. Biosci., 248 (2014), 67–77
  28. M. Hameed, A. A. Khan, R. Ellahi, M. Raza, “Study of magnetic and heat transfer on the peristaltic transport of a fractional second grade fluid in a vertical tube”, Eng. Sci. Technol. Int. J., 18:3 (2015), 496–502
  29. V. P. Rathod, A. Tuljappa, “Peristaltic flow of fractional second grade fluid through a cylindrical tube with heat transfer”, J. Chem. Biol. Phys. Sci., 5 (2015), 1841–1855
  30. В. Г. Звягин, В. П. Орлов, “О регулярности слабых решений обобщенной модели вязкоупругости Фойгта”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 60:11 (2020), 1933–1949
  31. V. G. Zvyagin, V. P. Orlov, “Weak solvability of one viscoelastic fractional dynamics model of continuum with memory”, J. Math. Fluid Mech., 23:1 (2021), 9, 24 pp.
  32. В. Г. Звягин, В. П. Орлов, “О разрешимости начально-краевой задачи для одной модели вязкоупругости с дробными производными”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1351–1369
  33. А. В. Звягин, “Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 66–97
  34. В. Г. Звягин, В. П. Орлов, “О слабой разрешимости моделей движения вязкоупругой жидкости с реологическим соотношением высокого порядка”, УМН, 77:4(466) (2022), 197–198
  35. Р. Темам, Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ, Мир, М., 1981, 408 с.
  36. В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, “Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна”, УМН, 43:5(263) (1988), 55–98
  37. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.
  38. L. Ambrosio, “Transport equation and Cauchy problem for $BV$ vector fields”, Invent. Math., 158:2 (2004), 227–260
  39. G. Crippa, C. de Lellis, “Estimates and regularity results for the DiPerna–Lions flow”, J. Reine Angew. Math., 2008:616 (2008), 15–46
  40. R. J. DiPerna, P. L. Lions, “Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces”, Invent. Math., 98:3 (1989), 511–547
  41. G. Crippa, “The ordinary differential equation with non-Lipschitz vector fields”, Boll. Unione Mat. Ital. (9), 1:2 (2008), 333–348
  42. О. А. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-е изд., Наука, М., 1970, 288 с.
  43. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Краткий курс функционального анализа, Лань, СПб., 2022, 272 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Звягин В.G., Орлов В.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».