Long-lived entangled states in the double Jaynes–Cummings model taking into account the qubits direct dipole-dipole interaction

全文:

Введение

Квантовые перепутанные состояния имеют фундаментальное значение в квантовой физике как для понимания нелокальности квантовой механики, так и для практических применений в квантовых вычислениях и коммуникациях [1]. В связи с этим в последние годы предприняты большие усилия по исследованию свойств перепутанных состояний, механизмов их генерации и контроля в различных системах. Хорошо известно, что модель Джейнса – Каммингса (МДК) является простейшей физической моделью, описывающей взаимодействие естественного или искусственного двухуровневого атома (кубита) с полем одномодового резонатора [2]. Указанная модель была использована для описания широкого спектра явлений в квантовой оптике и конденсированных системах, таких как захваченные ионы, квантовые точки, сверхпроводящие цепи др. [3]. Для изучения более широкого круга явлений, обусловленных взаимодействием систем кубитов с квантовыми полями резонаторов, в последние годы были исследованы многочисленные обобщения МДК. Так, в работе [4] была предложена так называемая двойная модель Джейнса – Каммингса (ДМДК), состоящая из двух двухуровневых атомов (кубитов) и двух мод двух индивидуальных резонаторов, при условии, что каждый атом взаимодействует только с полем одного резонатора. Исследовав динамику парного перепутывания кубитов в этой модели, авторы обнаружили, что для малофотонных полей перепутывание кубитов не является стационарным и в системе могут проявляться периодические флуктуации в виде мгновенной смерти перепутывания (МСП). В последнее время появилось большое число работ, посвященных изучению перепутывания кубитов в рамках модели ДМДК и ее обобщений. В работе [5] изучено влияние динамического сдвига Штарка на перепутывание кубитов в рамках ДМДК и показано, что при больших значениях параметра штарковского сдвига два кубита могут оставаться в стационарном перепутанном состоянии. В работе [6] была рассмотрена ДМДК при наличии расстройки частот переходов в кубитах и полей резонаторов в случае различных значений констант связи кубитов с полями резонаторов и показано, что долгоживущие перепутанные состояния кубитов могут быть получены, когда один кубит нерезонансно взаимодействует с полем резонатора, а другой ‒ полностью отстроен от частоты своего резонаторного поля. В работе [7] обсуждалось влияние различных начальных состояний кубитов на их перепутывание в процессе эволюции. Исследование динамики перепутывания кубитов в двухфотонной ДМДК в случае, когда поля резонаторов предварительно максимально перепутаны, проведено в работе [8]. Авторы также показали, что наличие когерентности начальных состояний кубитов уменьшает степень их перепутывания в процессе эволюции и приводит к возникновению МСП. Рассмотрение ДМДК с керровской средой показало, что с помощью керровской нелинейности можно контролировать динамику перепутывания и подавлять явление МСП [9–11]. Немарковская релаксация в рамках ДМДК рассматривалась в [12]. Динамика перепутывания кубитов в рамках ДМДК вне приближения вращающейся волны изучалась в [13]. Авторы показали, что исчезновение перепутывания кубитов может быть индуцировано противовращательными членами. Перепутывание кубитов в рамках ДМДК с тепловыми полями резонаторов исследовалось в работах [14; 15]. Динамика перепутывания двух идентичных кубитов в рамках двухфотонной ДМДК с учетом расстройки между частотами переходов в кубитах и двойной частотой мод поля резонаторов, а также керровской среды в обоих резонаторах анализировалась в работе [16].

Исследованию динамики перепутывания различных подсистем, таких как кубит – кубит, кубит – поле и поле – поле для ДМДК с полями резонаторов в сжатых когерентных тепловых состояниях посвящена недавняя работа [17].

Для сверхпроводящих колец с джозефсоновскими переходами удалось экспериментально реализовать условия, при которых прямое диполь-дипольное взаимодействие кубитов может существенно превосходить константу кубит-полевого взаимодейвия [18; 19]. В этой связи в нашей работе [20] исследовалось влияние прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов на их перепутывание в рамках нерезонансной ДМДК [20]. При этом была рассмотрена модель с одинаковыми константами взаимодействия кубитов с полями индивидуальных резонаторов и одинаковыми расстройками частот кубитов и полей резонаторов. Однако за счет флуктуаций положения кубитов в полях стоячих волн индивидуальных резонаторов практически невозможно добиться равенства констант кубит-полевого взаимодействия. Для макроскопических объектов – сверхпроводящих колец – невозможно также добиться равенства расстроек. Поэтому представляет существенный интерес обобщить результаты работы [20] на случай неидентичных кубитов.

В данной работе мы рассматриваем динамику нерезонансный ДМДК с учетом прямого диполь-дипольного взаимодействия между неидентичными кубитами. В качестве начальных состояний полей резонаторов выбраны вакуумные состояния, а в качестве начальных состояний кубитов ‒ перепутанные состояния белловского типа. С использованием критерия перепутывания кубитов – отрицательности, мы исследовали зависимость степени перепутывания от начальных состояний кубитов и параметров рассматриваемой модели, таких как соотношение констант кубит-полевого взаимодействия, интенсивности дипольного взаимодействия и расстроек между частотами перехода в кубитах и частотами полей резонаторов.

1. Модель и ее точное решение

Мы рассматриваем два неидентичных сверхпроводящих кубита Q₁ и Q₂ с частотами энергетических щелей ${\omega }_{01}$ и ${\omega }_{02}$ соответственно, взаимодействующих нерезонансно каждый со своим индивидальным резонатором, которые мы будет обозначать как «a» и «b» (кубит Q₁ взаимодействует с модой резонатора «a», а кубит Q₂ с модой «b»). Из-за возможности случайных отклонений в положении кубитов относительно пучностей стоячих волн в резонаторах будем полагать, что константы связи между кубитами и полями резонаторов не равны. Учтем также прямое диполь-дипольное взаимодействие кубитов. Тогда в системе отсчета, вращающейся с частотой моды резонаторов, гамильтониан этой системы можно записать в виде

$H=(1/2)\hslash ({\delta }_1{\sigma }_1^z+{\delta }_2{\sigma }_2^z)+\hslash {\gamma }_a({\sigma }_1^{+}a+a^{+}{\sigma }_1^{-})+$

$+{\gamma }_b({\sigma }_2^{+}b+b^{+}{\sigma }_2^{-})+\hslash J({\sigma }_1^{+}{\sigma }_2^{-}+{\sigma }_1^{-}{\sigma }_2^{+}),$ (1)

где $(1/2){\sigma }_i^z$ ‒ оператор инверсии населенности в i-м кубите $(i=\mathrm{1,2});$ ${\sigma }_i^{+}=|+{⟩}_{ii}⟨-|,$ ${\sigma }_i^{-}=-{⟩}_{ii}⟨+$ ‒ операторы переходов между возбужденным $|+{⟩}_i$ и основным $|-{⟩}_i$ состояниями в i-м кубите; $a^{+}$ и $a$ ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов в резонаторной моде «a»; $b^{+}$ и $b$ ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов в резонаторной моде «b»; ${\gamma }_a$ ‒ константа связи кубита Q₁ с резонаторной модой «a»; ${\gamma }_b$ ‒ константа связи кубита Q₂ с резонаторной модой «b»; ${\delta }_a={\omega }_{01}-\omega$ и ${\delta }_b={\omega }_{02}-\omega$ – расстройки частот кубитов Q₁ и Q₂ и мод полей «a» и «b» соответственно и $J$ ‒ константа прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов.

Выберем в качестве начальных состояний кубитов перепутанные состояния белловского типа:

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2}=\cos \theta |+,-⟩+\sin \theta |-,+⟩,$ (2)

и

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2}=\cos \theta |+,+⟩+\sin \theta |-,-⟩,$ (3)

где $0\le \theta \le \pi .$ Для полей резонаторов выберем вакуумные начальные состояния так, что полевая волновая функция двух мод имеет вид

$\left|\Psi \right(0){⟩}_F=|0{⟩}_a\otimes |0{⟩}_b=|\mathrm{0,0}⟩.$

Эволюция рассматриваемой системы для начальных состояний кубитов (2) происходит в четырехмерном гильбертовом пространстве с базисными векторами

$|-,-\mathrm{,0,1}⟩{,}_{}|-,-\mathrm{,1,0}⟩{,}_{}|-,+\mathrm{,0,0}⟩{,}_{}|+,-\mathrm{,0,0}⟩.$

Для нахождения временной волновой функции воспользуемся представлением «одетых» состояний, т. е. собственных функций гамильтониана (1). В общем случае «одетые» состояния имеют чрезвычайно громоздкий вид. Поэтому «одетые» состояния для произвольных соотношений между параметрами модели в настоящей работе не приводятся. Ниже показаны явные выражения для «одетых» состояний в двух специальных случаях.

1. Пусть ${\delta }_a={\delta }_b=0$ и ${\gamma }_a\ne {\gamma }_b.$ В этом случае собственные функции гамильтониана (1) могут быть записаны как

$|{\Phi }_i⟩={\xi }_i(X_{i1}|-,-\mathrm{,0,1}⟩+X_{i2}|-,-\mathrm{,1,0}⟩+$

$+X_{i3}|-,+\mathrm{,0,0}⟩+X_{i4}|+,-\mathrm{,0,0}⟩)$

 (4)

где

${\xi }_i=1/\sqrt{|X_{i1}{|}^2+|X_{i2}{|}^2+|X_{i3}{|}^2+|X_{i4}{|}^2}$

и

$X_{11}=X_{21}=-\frac{2g\alpha }{-1+g^2-{\alpha }^2+B},$

$X_{12}=-X_{22}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+g^2+{\alpha }^2-B}},$

$X_{13}=-X_{23}=\frac{\sqrt{2}\alpha \sqrt{1+g^2+{\alpha }^2-B}}{-1+g^2-{\alpha }^2+B},$

$X_{14}=X_{24}=X_{34}=X_{44}=\mathrm{1,}$

$X_{31}=X_{41}=\frac{2g\alpha }{1-g^2+{\alpha }^2+B},$

$X_{32}=-X_{42}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+g^2+{\alpha }^2+B}},$

$X_{33}=-X_{43}=-\frac{\sqrt{2}\alpha \sqrt{1+g^2+{\alpha }^2+A}}{1-g^2+{\alpha }^2+B}.$

Здесь

$\Delta =\delta /\gamma ,$ $\alpha =J/\gamma ,$ $g={\gamma }_b/{\gamma }_a$

и

$B=\sqrt{{(g^2-1)}^2+2(g^2+1){\alpha }^2+{\alpha }^4}.$

Соответствующие собственные значения энергии есть

$E_1=-{\gamma }_a\frac{\sqrt{1+g^2+{\alpha }^2-B}}{2},$

$E_2={\gamma }_a\frac{\sqrt{1+g^2+{\alpha }^2-B}}{2},$

$E_3-{\gamma }_a\frac{\sqrt{1+g^2+{\alpha }^2+B}}{2},$

$E_4={\gamma }_a\frac{\sqrt{1+g^2+{\alpha }^2+B}}{2}.$

2. Пусть ${\delta }_a={\delta }_b=\delta$ и ${\gamma }_a={\gamma }_b=\gamma .$ В рассматриваемом случае собственные функции гамильтониана (1) также могут быть представлены в виде (4) с коэффициентами

$X_{11}=X_{12}=\frac{1}{2}\left(-\alpha -\sqrt{4+{(\alpha -\Delta )}^2}+\Delta \right),$

$X_{13}={\mathrm{1,}}_{}{X}_{14}=1;$

$X_{21}=X_{22}=\frac{1}{2}\left(-\alpha +\sqrt{4+{(\alpha -\Delta )}^2}+\Delta \right),$

$X_{23}={\mathrm{1,}}_{}{X}_{24}=1;$

$X_{31}=\frac{1}{2}\left(-\alpha -\Delta +\sqrt{4+{(\alpha +\Delta )}^2}\right),$

$X_{32}=\frac{1}{2}\left(\alpha +\Delta -\sqrt{4+{(\alpha +\Delta )}^2}\right),$

$X_{33}=-{\mathrm{1,}}_{}{X}_{34}=1;$

$X_{41}=\frac{1}{2}\left(-\alpha -\Delta -\sqrt{4+{(\alpha +\Delta )}^2}\right){,}_{}$

$X_{42}=\frac{1}{2}\left(\alpha +\Delta +\sqrt{4+{(\alpha +\Delta )}^2}\right),$

$X_{43}=-{\mathrm{1,}}_{}{X}_{44}=1.$

Соответствующие собственные значения энергии есть

$E_1=-\gamma \frac{1}{2}\left(\alpha +\Delta -\sqrt{4+{\alpha }^2-2\alpha \Delta +{\Delta }^2}\right),$

$E_2=\gamma \frac{1}{2}\left(\alpha +\Delta +\sqrt{4+{\alpha }^2-2\alpha \Delta +{\Delta }^2}\right),$

$E_3=-\gamma \frac{1}{2}\left(-\alpha +\Delta -\sqrt{4+{\alpha }^2+2\alpha \Delta +{\Delta }^2}\right),$

$E_4=\gamma \frac{1}{2}\left(-\alpha +\Delta +\sqrt{4+{\alpha }^2+2\alpha \Delta +{\Delta }^2}\right).$

Временная волновая функция рассматриваемой модели может быть найдена с использованием оператора эволюции следующим образом:

$\left|\Psi \right(t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\Psi \left(0\right)⟩.$

Для того чтобы найти явный вид временной волновой функции $\left|\Psi \right(t)⟩$ для начального состояния кубитов (2) и вакуумного состояния поля резонатора, достаточно начальную волновую функцию $\left|\Psi \right(0)⟩$ представить в виде комбинации собственных функций (4). В результате временная волновая функция системы примет вид

$\left|\Psi \right(t)⟩=C_1(t\left)\right|-,-\mathrm{,0,1}⟩+C_2\left(t\right)|-,-\mathrm{,1,0}⟩+$

$+C_3\left(t\right)|-,+\mathrm{,0,0}⟩+C_4(t\left)\right|+,+,n⟩.$ (5)

Мы нашли явный вид коэффициентов $C_i\left(t\right)$ $(i=\mathrm{1,2,3,4})$ для обоих специальных случаев и выбранного начального состояния кубитов. Однако из-за чрезмерно громоздкого вида указанные выражения в настоящей работе опущены.

Для начального состояния кубитов (3) эволюция вектора состояния происходит в 5–мерном гильбертовом пространстве с базисом

$|+,+\mathrm{,0,0}⟩,|+,-\mathrm{,0,1}⟩,|-,+\mathrm{,1,0}⟩,$

$|-,-\mathrm{,1,1}⟩,|-,-\mathrm{,0,0}⟩.$

Временная волновая функция системы в этом случае имеет вид

$\left|\Psi \right(t)⟩=C_1^{\left(1\right)}(t\left)\right|+,+\mathrm{,0,0}⟩+C_2^{\left(1\right)}\left(t\right)|+,-\mathrm{,0,1}⟩+$

$+C_3^{\left(1\right)}\left(t\right)|-,+\mathrm{,1,0}⟩+C_4^{\left(1\right)}(t\left)\right|-,-\mathrm{,1,1}⟩+C_5^{\left(1\right)}\left(t\right)|-,-\mathrm{,0,0}⟩.$ (6)

«Одетые» состояния и коэффициенты $C_i^{\left(1\right)}\left(t\right)$ $(i=\mathrm{1,2,3,4,5})$ даже для рассмотренных выше специальных случаев для начальных состояний (2) имеют слишком громоздкий вид, чтобы представить их в настоящей работе.

2. Вычисление отрицательности

В настоящей работе нами в качестве количественного критерия перепутывания кубитов выбран параметр Переса – Хородецких, или отрицательность. Отрицательность определяется стандартным образом в виде следующего выражения:

$\epsilon =-2\sum {\mu }_i^{-},$

где ${\mu }_i^{-}$ ‒ отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита двухкубитной матрицы плотности.

Используя явные выражения для временных волновых функций системы (5) и (6), нетрудно получить матрицу плотности изучаемой системы в виде

$\rho \left(t\right)=\left|\Psi \right(t)⟩⟨\Psi (t\left)\right|.$ (7)

Усредняя полную матрицу плотности (7) по переменным поля, можно получить матрицу плотности подсистемы кубитов

${\rho }_{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=T{r}_{Field}\left|\Psi \right(t)⟩⟨\Psi (t\left)\right|.$ (8)

В двухкубитном базисе $|+,+⟩,$ $|+,-⟩,$ $-\mathrm{,}+⟩\mathrm{,}$ $|-,-⟩$ матрица плотности подсистемы кубитов в случае их начального состояния (2) принимает вид

${\rho }_{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& V\left(t\right)& H\left(t\right)& 0\\ 0& H{\left(t\right)}^{*}& W\left(t\right)& 0\\ 0& 0& 0& R\left(t\right)\end{array}\right).$ (9)

Матричные элементы (9) есть

$V\left(t\right)=\left|C_4\right(t){|}^2,W(t)=|C_3\left(t\right){|}^2,$

$R\left(t\right)=\left|C_1\right(t){|}^2+|C_2\left(t\right){|}^2,H\left(t\right)=C_4\left(t\right)C_3{\left(t\right)}^{*}.$

Частично транспонированная по переменным одного кубита по отношению к (9) двухкубитная матрица плотности есть

${\rho }_{Q_1{Q}_2}^{T_1}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& H{\left(t\right)}^{*}\\ 0& V\left(t\right)& 0& 0\\ 0& 0& W\left(t\right)& 0\\ H\left(t\right)& 0& 0& R\left(t\right)\end{array}\right).$ (10)

Матрица (10) имеет всего одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате отрицательность для рассматриваемого начального состояния кубитов может быть представлена в виде

$\epsilon \left(t\right)=\sqrt{{\left(U\right(t)-R(t\left)\right)}^2+4\left|H\right(t){|}^2}-U\left(t\right)-R\left(t\right).$ (11)

Для начального состояния кубитов (3) редуцированная двухкубитная матрица плотности имеет вид

${\rho }_{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{U}_1\left(t\right)& 0& 0& H_1\left(t\right)\\ 0& V_1\left(t\right)& H_2\left(t\right)& 0\\ 0& H_2{\left(t\right)}^{*}& W_1\left(t\right)& 0\\ H_1{\left(t\right)}^{*}& 0& 0& R_1\left(t\right)\end{array}\right),$ (12)

где

$U_1\left(t\right)=\left|C_1^{\left(1\right)}\right(t){|}^2,H_1(t)=C_1^{\left(1\right)}(t\left)C_5^{\left(1\right)*}\right(t),$

$H_2\left(t\right)=C_2^{\left(1\right)}\left(t\right)C_3^{\left(1\right)*}\left(t\right),$

$V_1\left(t\right)=\left|C_2^{\left(1\right)}\right(t){|}^2,W_1(t)=|C_3^{\left(1\right)}\left(t\right){|}^2,$

$R_1\left(t\right)=\left|C_4^{\left(1\right)}\right(t){|}^2+|C_5^{\left(1\right)}\left(t\right){|}^2.$

Соответствующая (12) частично транспонированная по переменным одного кубита матрица есть

${\rho }_{Q_1{Q}_2}^{T_1}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{U}_1\left(t\right)& 0& 0& H_2{\left(t\right)}^{*}\\ 0& V_1\left(t\right)& H_1{\left(t\right)}^{*}& 0\\ 0& H_1\left(t\right)& W_1\left(t\right)& 0\\ H_2\left(t\right)& 0& 0& R_1\left(t\right)\end{array}\right).$ (13)

Матрица (13) имеет два собственных значения, которые могут принимать отрицательные значения. В результате для начального состояния (3) отрицательность принимает вид

$\epsilon \left(t\right)=\sqrt{{\left(U_1\right(t)-R_1(t\left)\right)}^2+4\left|H_2\right(t){|}^2}-U_1\left(t\right)-R_1\left(t\right)+$

$+\sqrt{{\left(V_1\right(t)-W_1(t\left)\right)}^2+4\left|H_1\right(t){|}^2}-V_1\left(t\right)-W_1\left(t\right).$ (14)

Результаты численных расчетов временной зависимости отрицательностей (11) и (14) для различных значений параметров модели представлены на рис. 1–2.

Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени для начального состояния кубитов (2) при $\theta =\pi /4$ и ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (а); ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (б), ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (в) и ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (г). Безразмерная константа диполь-дипольного взаимодействия $\alpha =0$ (сплошная линия), $\alpha =3$ (штриховая линия) и (точечная линия) $\alpha =10$

Fig. 1. Negativity vs scaled time for initial qubits state (2) with $\theta =\pi /4$ and ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (a); ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (b), ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (c) and ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (d). Scaled dipole-dipole coupling $\alpha =0$ (solid), $\alpha =3$ (dashed) and $\alpha =10$ (dotted)

Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t(\gamma \equiv {\gamma }_a)$ для начального состояния кубитов (3) при $\theta =\pi /4$ и ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (а); ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (б), ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (в) и ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (г). Безразмерная константа диполь-дипольного взаимодействия $\alpha =0$ (сплошная линия), $\alpha =3$ (штриховая линия) и $\alpha =10$ (точечная линия)

Fig. 2. Negativity vs scaled time $\gamma t(\gamma \equiv {\gamma }_a)$ for initial qubits state (3) with $\theta =\pi /4$ and ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (a); ${\delta }_a={\delta }_b=\mathrm{0,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (b), ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b={\gamma }_a$ (c) and ${\delta }_b={\delta }_a=\mathrm{10,}$ ${\gamma }_b=5{\gamma }_a$ (d). Scaled dipole-dipole coupling $\alpha =0$ (solid), $\alpha =3$ (dashed) and $\alpha =10$ (dotted)

3. Результаты и обсуждения

Результаты расчетов временной зависимости отрицательности для начального состояния кубитов (2) приведены на рис. 1, а для начального состояния кубитов (3) – на рис. 2. Значениям безразмерной константы диполь-дипольного взаимодействия кубитов соответствуют кривые: $\alpha =0$ (сплошные линии), $\alpha =3$ (штриховые линии) и $\alpha =10$ (точечные линии). На рис. 1, а и б представлена отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для модели с резонансым взаимодействием кубитов и поля в случае начального состояния кубитов вида (2). Из рис. 1, а видно, что для случая, когда константы взаимодействия кубитов с полем резонатора одинаковы, включение диполь-дипольного взаимодействия приводит к существенному уменьшению амплитуд осцилляций Раби отрицательности и, соответственно, к стабилизации начального перепутывания кубитов. На рис. 1, б представлены аналогичные зависимости для модели с различными константами кубит-фотонного взаимодействия. Из рисунка видно, что в рассматриваемом случае влияние диполь-дипольного взаимодействия на степень перепутывания кубитов намного уменьшается, так что существенной стабилизации начального перепутывания кубитов удается достичь лишь при значительно больших интенсивностях прямого взаимодействия кубитов. На рис. 1, в и г представлена отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для нерезонансного взаимодействия кубитов и поля и начального состояния кубитов (2). Рис. 1, в соответствует одинаковым константам кубит-фотонного взаимодейвия, а рис. 1, г – различным. Из рисунков хорошо видно, что включение прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов для случая нерезонансного взаимодействия кубитов и поля приводит к обратному эффекту, т. е. к увеличению амплитуд осцилляций отрицательности и, соответственно, к невозможности реализовать в системе долгоживущие стабильные перепутанные состояния кубитов.

На рис. 2, а и г представлена отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для модели с резонансым взаимодействием кубитов и поля и начального состояния кубитов (3). Для кубитов с одинаковыми константами кубит-полевой связи (рис. 2, а) включение диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению периода осцилляций отрицательности, но не влияет на максимальную степень перепутывания кубитов, возникающую в процессе их эволюции. Для кубитов с разными константами кубит-полевой связи (рис. 2, б) ситуация принципиально иная. Включение прямого взаимодействия кубитов увеличивает максимальную степень их перепутывания в процессе эволюции. На рис. 2, в и г представлена отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для модели с нерезонансным взаимодействием кубитов и поля и начального состояния кубитов (3). В рассматриваемом случае влияние прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов на степень их перепутывания аналогично влиянию указанного параметра для начального состояния кубитов вида (3).

Заключение

В данной работе в рамках двойной модели Джейнса – Каммингса рассмотрена динамика перепутывания двух дипольно связанных сверхпроводящих кубитов с различными значениями констант кубит-фотонной связи и расстроек частот переходов в кубитах и частот резонаторных полей. В качестве критерия степени перепутывания кубитов выбрана отрицательность, а в качестве начальных состояний кубитов ‒ максимально перепутанные двухкубитные состояния. Начальные состояния полей резонаторов ‒ вакуумные поля. Исследована зависимость максимальной степени перепутывания кубитов от интенсивности диполь-дипольного взаимодействия, а также расстроек и соотношения констант кубит-фотонных связей. Результаты расчетов выявили, что эти параметры оказывают существенное влияние на периоды и амплитуды осцилляций Раби отрицательности. Показано, что начальные состояния кубитов вида (2) в случае резонансного взаимодействия кубитов с полями резонаторов могут рассматриваться при наличии интенсивного диполь-дипольного взаимодействия в качестве долгоживущих стабильных перепутанных состояний для любых соотношений констант кубит-фотонной связи. В нерезонансном случае такие состояния могут быть реализованы только для системы с одинаковыми константами кубит-полевого взаимодействия. При этом начальные состояния кубитов вида (3) при наличии интенсивного диполь-дипольного взаимодействия могут быть долгоживущими стабильными состояниями только в случае резонансного взаимодействия кубитов с полями резонаторов и одинаковыми константами кубит-фотонного взаимодействия.

作者简介

Evgenii Bashkirov

编辑信件的主要联系方式.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0003-2569-1322

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics. In 1978 he graduated from the Faculty of Physics of the Kuibyshev State University and in 1984 – postgraduate studies at the Moscow State University. Author of more than 360 scientific papers.

Research interests: quantum optics and quantum radiophysics, quantum informatics, theory of nonequilibrium phenomena.

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Negativity vs scaled time for initial qubits state (2) with and (a); (b), (c) and (d). Scaled dipole-dipole coupling (solid), (dashed) and (dotted)

下载 (499KB)

索引源数据

3. Fig. 2. Negativity vs scaled time for initial qubits state (3) with and (a); (b), (c) and (d). Scaled dipole-dipole coupling (solid), (dashed) and (dotted)

下载 (521KB)

索引源数据