Современная трактовка принципа и полуобратного метода Сен-Венана

Актуальность. Постепенное развитие взглядов на сформулированные Сен-Венаном принципы и методы, лежащие в основе механики деформируемого тела, рост той ветви математического анализа, которая применяется при вычислениях, и накопление практических правил, получаемых путем истолкования математических результатов, приводят к тому, что существующие принципы заменяются новыми, более общими, число их уменьшается и данная область приводится во все более тесную связь с другими отделами науки и техники. Большинство дифференциальных уравнений механики обладает решениями, в которых наблюдаются разрывы, быстрые переходы, неоднородности или другие неправильности, возникающие из приближенного описания. Большой интерес представляет обобщенная формулировка принципа Сен-Венана для затухания заданных на малом участке перемещений для объяснения полученных приближенных решений. С другой стороны, необходимо построение решений уравнений с сохранением порядка дифференциального уравнения в сочетании с выполнением всех граничных условий. Таким образом, были определены следующие цели исследования : 1) дополнить известный принцип Сен-Венана для случая заданных на малом участке тела перемещений; 2) построить на основе полуобратного метода модернизированный метод, дополняющий полученные классическим полуобратным методом решения быстро меняющимися затухающими решениями; 3) обосновать асимптотическую сходимость решений и уточнить классические теории для более полного понимания самой классической теории. Для достижения поставленных целей использовались такие методы , как: 1) строгое математическое выделение затухающей и незатухающей компонент решения из уравнений плоской задачи теории упругости методами теории функций комплексного переменного; 2) построение асимптотического решения без каких-либо гипотез и выполнение всех граничных условий; 3) оценка сходимости решения. Результаты. Предложена формулировка обобщенного принципа Сен-Венана для заданных на малом участке тела перемещений. Найден метод построения асимптотических аналитических решений уравнений теории упругости, позволяющий выполнить все граничные условия.