Асимптотики оптимального инвестиционного поведения в модели риска с двусторонними скачками

Исследуется проблема оптимального управления инвестициями для страховой компании, имеющей два направления бизнеса: страхование пожизненной ренты и рисковое страхование (не связанное со страхованием жизни). Компания может инвестировать свой излишек в безрисковый актив и рисковый актив с динамикой цен, заданной геометрическим броуновским движением. Целью оптимизации является максимизация вероятности неразорения по суммарному портфелю на бесконечном интервале времени. При отсутствии инвестиций излишек портфеля описывается стохастическим процессом, включающим двусторонние скачки и непрерывный детерминированный снос. Скачки вниз соответствуют размерам требований по рисковому страхованию, а скачки вверх интерпретируются как случайные доходы, возникающие в конечные моменты реализации договоров пожизненной ренты (т.е. в моменты смерти страхователей) в результате высвобождения неизрасходованных средств. Непрерывный снос определяется разностью между премиями по договорам рискового страхования и аннуитетными платежами. Решение задачи оптимизации, которое дает максимальную вероятность неразорения, а также оптимальную стратегию, связано с классическим решением соответствующего уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана (HJB), если это решение существует. В рассматриваемой модели риска HJB включает интегральные операторы двух типов: вольтерровские и невольтерровские. Наличие последних делает асимптотический анализ решения достаточно сложным. Однако для случая малых скачков (когда скачки имеют показательное распределение) получены асимптотические представления решений как для малых, так и для больших значений начального резерва.

страхование, двусторонние скачки, инвестиции, рисковый актив, вероятность неразорения, уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана