Динамическое восстановление коэффициентов сплошной среды при моделировании нестационарных процессов
- Авторы: Жуков П.И.1
-
Учреждения:
- Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) НИТУ «МИСИС»
- Выпуск: № 114 (2025)
- Страницы: 41-64
- Раздел: Системный анализ
- URL: https://journal-vniispk.ru/1819-2440/article/view/291933
- ID: 291933
Цитировать
Полный текст
Аннотация
При моделировании нестационарных процессов в сплошных средах при помощи параболических дифференциальных уравнений часто встречаются ситуации, когда коэффициент, обеспечивающий связь левой и правой части уравнения, описывается как некоторая функция от множества переменных, включая состояния исследуемой среды. Восстановление данной зависимости, как правило, требует решения обратных коэффициентных задач, основанных на известных состояниях среды. На практике это означает, что обратная задача решается, опираясь, помимо прочего, на некоторую невязку между модельными данными и известными наблюдениям. Тем не менее нередки случаи, когда таких наблюдений критически мало во времени, например измерения состояния среды происходят с определенным очень большим временным шагом или вообще только в конце нестационарного процесса. Тогда в ретроспективных наблюдениях присутствуют моменты времени, когда состояние среды неизвестно, ввиду чего для них нельзя определить градиент ошибки и с приемлемой точностью восстановить искомую функциональную зависимость. В данной работе предлагается альтернативный взгляд на проблему восстановления коэффициентов сплошной среды для ситуаций, когда известных состояний среды значительно меньше, чем неизвестных. Непрерывный нестационарный процесс был рассмотрен, как дискретный, развивающийся во времени, и была предложена рекуррентная функция смены дискретных состояний. На основе данной функции был предложен численный метод интерполяции градиента ошибки между ожидаемым и фактическим состояниями среды внутри двух любых известными состояний. Был продемонстрирован процесс восстановления дискретных значений коэффициентов в отдельные моменты времени при помощи метода стохастического градиентного спуска на основе численной модели обобщенного параболического уравнения с произвольным внешним воздействием на границе.
Об авторах
Пётр Игоревич Жуков
Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) НИТУ «МИСИС»
Email: rockwell@control-mail.ru
Старый Оскол
Список литературы
- АЛИФАНОВ О.М. Обратные задачи теплообмена. – М: Машиностроение, 1988. – 280 с.
- БРИЗИЦКИЙ Р.В., САРИЦКАЯ Ж.Ю. Краевые и экс-тремальные задачи для уравнения реакции-диффузии конвекции с переменными коэффициентами // Марчу-ковские научные чтения. – 2022. – Т. 1. – С. 102–103.
- ВАТУЛЬЯН А.О Обратные задачи в механике деформи-руемого твердого тела. – М: Litres, 2022. – 223 с.
- ДИМИТРИЕНКО Ю.И., БОГДАНОВ И.О., ЮРИН Ю.В. и др. Конечно-элементное моделирование нестационар-ной термоустойчивости композитных конструкций // Математическое моделирование и численные методы. – 2024. – №1 (41). – С. 38–54.
- ДМИТРИЕВ В.И. Обратные задачи геофизики. – М: МАКС Пресс, 2012. – 340 с.
- КАБАНИХИН С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: ФГУП «Издательство СО РАН», 2018. – 512 с.
- КАЗАКОВ А.Л., НЕФЕДОВА О.А., СПЕВАК Л.Ф. Реше-ние двумерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности при краевом режиме, заданном на подвижном многообразии // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2024. – Т. 64, №2. – С. 283–303.
- КАРТАШОВ Э. М. Теплопроводность при переменном во времени относительном коэффициенте теплообмена // Известия Российской академии наук. Энергетика. – 2015. – № 2. – С. 138–149.
- КОЖАНОВ А.И., ТЕЛЕШЕВА Л.А. Обратные задачи восстановления параметров в параболическом и гипер-болическом уравнениях // Математические заметки СВФУ. – 2022. – Т. 29, №3. – С. 57–69.
- КОЗЛОВ А.И., КОКУРИН М.Ю. Об интегральных урав-нениях типа М.М. Лаврентьева в коэффициентных об-ратных задачах для волновых уравнений // Журнал вы-числительной математики и математической физики. – 2021. – Т. 61, №9. – С. 1492–1507.
- ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., ВАСИЛЬЕВ В.Г. О постановке не-которых некорректных задач математической физики // Сибирский математический журнал. – 1966. – Т. 7, №3. – С. 559–576.
- ЛЮБИМОВА Т.П., РУШИНСКАЯ К.С., ЗУБОВА Н.А. Влияние переменного коэффициента термодиффузии на конвекцию бинарной смеси в прямоугольных полостях // Вычислительная механика сплошных сред. – 2021. – Т. 14, №2. – С. 233–244.
- МАРЧУК Г.И. О постановке некоторых обратных задач // Доклады Академии наук. – 1964. – Т. 156, №3. – С. 503–506.
- МАТУС П.П., ТУЕН В.Т.К. Трехслойные компактные разностные схемы для параболического уравнения // Труды Института математики НАН Беларуси. – 2024. – Т. 32, №1. – С. 110–120.
- ПАВЛОВ К.И., ПОПОВА Т.М. Численное решение зада-чи неоднородной диффузии // ТОГУ-СТАРТ: Фундамен-тальные и прикладные исследования молодых. – 2020. – С. 74–79.
- САМАРСКИЙ А.А. Теория разностных схем. – М: Изд-во «Наука», – 1989. – 656 с.
- САМАРСКИЙ А.А., ВАБИЩЕВИЧ П.Н. Численные ме-тоды решения обратных задач математической физи-ки. – М.: URSS: Изд-во ЛКИ, 2015. – 478 с.
- ТИХОНОВ А.Н., ЛЕОНОВ А.С., ЯГОЛА А.Г. Нелиней-ные некорректные задачи. – М.: ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М», 2017. – 306 с.
- ЯНЕНКО Н.Н. Метод дробных шагов решения много-мерных задач математической физики. – Новоси-бирск: Изд-во «Наука», 1967. – 197 с.
- ELANGO S., TAMILSELVAN A., VADIVEL R. et al. Finite difference scheme for singularly perturbed reaction diffusion problem of partial delay differential equation with nonlocal boundary condition // Advances in Difference Equations. – 2021. – Vol. 2021. – P. 1–20.
- ENGL H.W., GROETSCH C.W. Inverse and ill-posed prob-lems. – Elsevier, 2014. – Vol. 4.
- GRIMMER B. Provably faster gradient descent via long steps // SIAM Journal on Optimization. – 2024. – Vol. 34, No. 3. – P. 2588–2608.
- HANKE M. On the shape derivative of polygonal inclusions in the conductivity problem // arXiv preprint. – arXiv:2402.02793. – 2024.
- HODSON T. O. Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE): When to use them or not // Geoscien-tific Model Development Discussions. – 2022. – Vol. 2022. – P. 1–10.
- KINGMA D.P. Adam: A method for stochastic optimization // arXiv preprint. – arXiv:1412.6980. – 2014.
- KIRSCH A., KIRSCH A. Nonlinear Inverse Problems // An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Prob-lems. – 2021. – P. 119–168.
- KOROCHE K.A. Numerical solution for one dimensional linear types of parabolic partial differential equation and application to heat equation // Mathematics and Computer Science. – 2020. – Vol. 5, No. 4. – P. 76–85.
- QUITTNER P. An optimal Liouville theorem for the linear heat equation with a nonlinear boundary condition // Jour-nal of Dynamics and Differential Equations. – 2024. – Vol. 36, No. Suppl 1. – P. 53–63.
- SYMES W.W., CHEN H., MINKOFF S.E. Solution of an acoustic transmission inverse problem by extended inversion // Inverse Problems. – 2022. – Vol. 38, No. 11. – P. 115003.
- YAMAMOTO M. et al. Inverse coefficient problem for one-dimensional evolution equation vanishing initial condition // arXiv preprint. – arXiv:2409.20321. – 2024.
- ZHAN H., FENG Z. Optimal partial boundary condition for degenerate parabolic equations // Journal of Differential Equations. – 2021. – Vol. 284. – P. 156–182.
Дополнительные файлы
