On a q-analogue of the Sturm–Liouville operator with discontinuity conditions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

n this paper, a q-analogue of the Sturm–Liouville problem with discontinuity condition on a finite interval is studied. It is proved that the q-Sturm–Liouville problem with discontinuity conditions is self-adjoint in Lq2(0,π). The completeness theorem and the sampling theorem are proved.

About the authors

Döne Karahan

Harran Üniversitesi

Author for correspondence.
Email: dkarahan@harran.edu.tr
ORCID iD: 0000-0001-6644-5596
Scopus Author ID: 57136741400
ResearcherId: ABF-5888-2020
http://www.mathnet.ru/person114470

Mathematics Department, Science and Letter Faculty

Sanliurfa, Turkey

References

  1. Jackson F. H. q-Difference equations, Am. J. Math., 1910, vol. 32, no. 4, pp. 305–314. DOI: https://doi.org/10.2307/2370183.
  2. Annaby M. H., Mansour Z. S. Fractional q-difference equations, In: q-Fractional Calculus and Equations, Lecture Notes in Mathematics, 2056. Berlin, Heidelberg, Springer, 2012, pp. 223–270. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-30898-7_8.
  3. Annaby M. H., Mansour Z. S. Basic Sturm–Liouville problems, J. Phys. A: Math. Gen., 2005, vol. 38, no. 17, pp. 3775–3797. DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/17/005.
  4. Tuna H., Eryilmaz A. Completeness of the system of root functions of q-analogue of Sturm–Liouville operators, Math. Commun., 2014, vol. 19, no. 1, pp. 65–73.
  5. Bustoz J., Suslov S. Basic analogues of Fourier series on a q-quadratic grid, Math. Appl. Anal., 1998, vol. 5, no. 1, pp. 1–38. DOI: https://doi.org/10.4310/MAA.1998.v5.n1.a1.
  6. Annaby M. H. q-Type sampling theorems, Result. Math., 2003, vol. 44, no. 3–4, pp. 214–225. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03322983.
  7. Abreu L. D. A q-sampling theorem related to the q-Hankel transform, Proc. Amer. Math. Soc., 2005, vol. 133, no. 4, pp. 1197–1203. DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07589-6.
  8. Ismail M. E., Zayed A. I. A q-analogue of the Whittaker–Shannon–Kotel’nikov sampling theorem, Proc. Am. Math. Soc., 2003, vol. 131, no. 12, pp. 3711–3719. DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-03-07208-3.
  9. Abreu L. D Sampling theory associated with q-difference equations of the Sturm–Liouville type, J. Phys. A: Math. Gen., 2005, vol. 38, no. 48, pp. 10311–10319. DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/48/005.
  10. Annaby M. H., Mansour Z. S. Asymptotic formulae for eigenvalues and eigenfunctions of q-analogue of Sturm–Liouville problems, Math. Nachr., 2011, vol. 284, no. 4, pp. 443–470. DOI: https://doi.org/10.1002/mana.200810037.
  11. Allahverdiev B. P., Tuna H. Qualitative spectral analysis of singular q-analogue of Sturm–Liouville operators, Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 2020, vol. 43, no. 2, pp. 1391–1402. DOI: https://doi.org/10.1007/s40840-019-00747-3.
  12. Allahverdiev B. P., Tuna H. Eigenfunction expansion in the singular case for q-analogue of Sturm–Liouville operators, Casp. J. Math. Sci., 2019, vol. 8, no. 2, pp. 91-102. DOI: https://doi.org/10.22080/CJMS.2018.13943.1339.
  13. Allahverdiev B. P., Tuna H. Limit-point criteria for q-analogue of Sturm–Liouville equations, Quest. Math., 2019, vol. 42, no. 10, pp. 1291–1299. DOI: https://doi.org/10.2989/16073606.2018.1514541.
  14. Allahverdiev B. P., Tuna H. An expansion theorem for q-analogue of Sturm–Liouville operators on the whole line, Turk. J. Math., 2018, vol. 42, no. 3, pp. 1060–1071. DOI: https://doi.org/10.3906/mat-1705-22.
  15. Allahverdiev B. P., Tuna H. Properties of the resolvent of singular q-Dirac operators, Elec. J. Diff. Eq., 2020, vol. 2020, no. 3, pp. 1–13.
  16. Karahan D., Mamedov Kh. R. On a q-boundary value problem with discontinuity conditions, Vestn. Yuzhno-Ural. Gos. Un-ta. Ser. Matem. Mekh. Fiz., 2021, vol. 13, no. 4, pp. 5–12. EDN: EVNNPJ. DOI: https://doi.org/10.14529/mmph210401.
  17. Huseynov H. M., Dostuyev F. Z. On determination of Sturm–Liouville operator with discontinuity conditions with respect to spectral data, Proc. Inst. Math. Mech., Natl. Acad. Sci. Azerb., 2016, vol. 42, no. 2, pp. 143–153.
  18. Gasper G., Rahman M. Basic Hypergeometric Series, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 35. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1990, xx+287 pp.
  19. Kramer H. P. A generalized sampling theory, J. Math. Phys., 1959, vol. 38, pp. 68–72.
  20. Yurko V. A. Introduction to the Theory of Inverse Spectral Problems. Moscow, Fizmatlit, 2007, 384 pp. (In Russian)
  21. Chung K.-S., Chung W.-S., Nam S.-T., Kang H.-J. New q-derivative and q-logarithm, Int. J. Theor. Phys., 1994, vol. 33, no. 10, pp. 2019–2029. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00675167.
  22. Floreanini R., Vinet L. A model for the continuous q-ultraspherical polynomials, J. Math. Phys., 1995, vol. 36, no. 7, pp. 3800–3813. DOI: https://doi.org/10.1063/1.530998.
  23. Floreanini R., Vinet L. More on the q-oscillator algebra and q-orthogonal polynomials, J. Phys. A: Math. Gen., 1995, vol. 28, no. 10, pp. L287–293. DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/28/10/002.
  24. Al-Mdallal Q. M. On the numerical solution of fractional Sturm–Liouville problems, Int. J. Comp. Math., 2010, vol. 87, no. 12, pp. 2837–2845. DOI: https://doi.org/10.1080/00207160802562549.
  25. Al-Mdallal Q. M. An efficient method for solving fractional Sturm–Liouville problems, Chaos, Solitons and Fractals, 2009, vol. 40, no. 1, pp. 183–189. DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2007.07.041.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».