Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе рассмотрены выражения в вещественных и комплексных алгебрах Клиффорда, называемые свертками или усреднениями. Свертка берется от произвольного элемента алгебры Клиффорда, при этом ведется суммирование по различным элементам фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Рассмотрены четные и нечетные свертки, свертки по рангам и свертки по кватернионным типам. Представлена связь сверток с операциями проецирования на выделенные подпространства алгебры Клиффорда - четное и нечетное подпространство, подпространства фиксированных рангов и подпространства фиксированных кватернионных типов. С помощью метода сверток дано решение различных систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда. Особое внимание уделено двум частным случаям - случаям коммутатора и антикоммутатора. Полученные результаты могут применяться при изучении различных уравнений теории поля - уравнений Янга-Миллса, простейшего полевого уравнения и других.

Об авторах

Дмитрий Сергеевич Широков

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН

Email: dm.shirokov@gmail.com
(к.ф.-м.н.; dm.shirokov@gmail.com), научный сотрудник, лаб. 7 «Обработка биоэлектрической информации» Россия, 127994, Москва, Б. Каретный пер., 19

Список литературы

  1. Clifford W. K. Application of Grassmann's Extensive Algebra // American Journal of Mathematics, 1878. vol. 1, no. 4. pp. 350-358. doi: 10.2307/2369379.
  2. Hamilton W. R. II. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra // Philosophical Magazine Series 3, 1844. vol. 25, no. 163. pp. 489-495. doi: 10.1080/14786444408644923.
  3. Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Leipzig: Verlag von Otto Wigand, 1844. xxxii+282 pp., Internet Archive Identifier: dielinealeausde00grasgoog
  4. Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. xxxii+282 pp. doi: 10.1017/CBO9781139237352
  5. Lipschitz R. Untersuchungen über die Summen von Quadraten. Bonn: Max Cohen und Sohn, 1886. 147 pp.
  6. Chevalley C. Collected works. vol. 2: The algebraic theory of spinors and Clifford algebras / eds. Pierre Cartier and Catherine Chevalley. Berlin: Springer, 1997. xiv+ 214 pp.
  7. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron // Proc. R. Soc. (A), 1928. vol. 117, no. 778. pp. 610-624. doi: 10.1098/rspa.1928.0023
  8. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron / Special Theory of Relativity / The Commonwealth and International Library: Selected Readings in Physics, 1970. pp. 237-256. doi: 10.1016/b978-0-08-006995-1.50017-x.
  9. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematics and Physics. Reidel Publishing Company, 1984. 314 pp.
  10. Марчук Н. Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. Ижевск: РХД, 2009. 304 с.
  11. Dixon J. D. Computing Irreducible Representations of Groups // Math. Comp., 1970. vol. 24, no. 111. pp. 707-712. doi: 10.2307/2004848.
  12. Babai L., Friedl K. Approximate representation theory of finite groups // Foundations of Computer Science, 1991. pp. 733-742. doi: 10.1109/sfcs.1991.185442.
  13. Shirokov D. S. Method of averaging in Clifford algebras, 2015. 15 pp., arXiv: 1412.0246 [math-ph]
  14. Marchuk N. G., Shirokov D. S. New class of gauge invariant solutions of Yang-Mills equations, 2014. 35 pp., arXiv: 1406.6665 [math-ph]
  15. Shirokov D. S. Method of generalized contractions and Pauli’s theorem in Clifford algebras, 2014. 14 pp., arXiv: 1409.8163 [math-ph]
  16. Pauli W. Contributions mathématiques a la théorie des matrices de Dirac // Annales de l'institut Henri Poincar´, 1936. vol. 6, no. 2. pp. 109-136.
  17. Широков Д. С. Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда // Докл. РАН, 2011. Т. 440, № 5. С. 1-4.
  18. Широков Д. С. Теорема Паули при описании n-мерных спиноров в формализме алгебр Клиффорда // ТМФ, 2013. Т. 175, № 1. С. 11-34. doi: 10.4213/tmf8384.
  19. Широков Д. С. Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда для анализа связей между спинорными и ортогональными группами произвольных размерностей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 279-287. doi: 10.14498/vsgtu1176.
  20. Marchuk N. G., Shirokov D. S. Unitary spaces on Clifford algebras // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2008. vol. 18, no. 2. pp. 237-254, arXiv: 0705.1641 [math-ph]. doi: 10.1007/s00006-008-0066-y.
  21. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors / London Mathematical Society Lecture Note Series. vol. 239. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. ix+306 pp.
  22. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors (second edition) / London Mathematical Society Lecture Note Series. vol. 286. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. ix+338 pp. doi: 10.1017/cbo9780511526022
  23. Широков Д. С. Классификация элементов алгебр Клиффорда по кватернионным типам // ДАН, 2009. Т. 427, № 6. С. 758-760.
  24. Shirokov D. S. Quaternion typification of Clifford algebra elements // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012. vol. 22, no. 1. pp. 243-256. doi: 10.1007/s00006-011-0288-2.
  25. Shirokov D. S. Development of the method of quaternion typification of Clifford algebra elements // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012. vol. 22, no. 2. pp. 483-497, arXiv: 0903.3494 [math-ph]. doi: 10.1007/s00006-011-0304-6.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2015

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».