Email this article Fundamental solution of the model equation of anomalous diffusion of fractional order
- Authors: Khushtova F.G1
-
Affiliations:
- Institution of Applied Mathematics and Automation
- Issue: Vol 19, No 4 (2015)
- Pages: 722-735
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/1991-8615/article/view/20474
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1445
- ID: 20474
Cite item
Full Text
Abstract
Fundamental solution of the model equation of anomalous diffusion with Riemann-Liouville operator is constructed. Using the properties of the integral transformation with Wright function in kernel, we give estimates for the fundamental solution. When the considered equation transformes into the diffusion equation of fractional order, constructed fundamental solution goes into the corresponding fundamental solution of the diffusion equation of fractional order. General solution of the model equation of anomalous diffusion of fractional order is constructed.
Full Text
##article.viewOnOriginalSite##About the authors
Fatima G Khushtova
Institution of Applied Mathematics and Automation
Email: khushtova@yandex.ru
Research Fellow, Dept. CAD of Mixed Systems and Management 89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation
References
- Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
- Псху А. B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
- Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. М.: Наука, 1985. 105 с.
- Pagani C. On the parabolic equation $text{sgn}(x)|x|^{p}u_y-u_{xx}=0$ and a related one // Annali di Matematica Pura ed Applicata, Series 4, 1974. vol. 99, no. 1. pp. 333-339. doi: 10.1007/BF02413730.
- Kępiński M. S. Integration der Differentialgleichung $frac{partial^2 j }{partial xi^2}-frac{1}{xi} frac{partial j }{partial t}=0$ / Krakau Anz., 1905. pp. 198-205.
- Arena O. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications in Partial Differential Equations, 1978. vol. 11, no. 3. pp. 1007-1040. doi: 10.1080/03605307808820084.
- Mainardi F. The time fractional diffusion-wave equation // Radiophysics and Quantum Electronics, 1995. vol. 38, no. 1-2. pp. 13-24. doi: 10.1007/bf01051854.
- Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Applied Mathematics Letters, 1996. vol. 9, no. 6. pp. 23-28. doi: 10.1016/0893-9659(96)00089-4.
- Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН. Сер. матем., 2009. Т. 73, № 2. С. 141-182. doi: 10.4213/im2429.
- Ворошилов А. А., Килбас А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Доклады Академии наук, 2006. Т. 406, № 1. С. 12-16.
- Геккиева С. Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2000. Т. 5, № 1. С. 16-19.
- Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 8. С. 1359-1368.
- Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.
- Metzler R., Glöckle W. G., Nonnenmacher T. F. Fractional model equation for anomalous diffusion // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 1994. vol. 211, no. 1. pp. 13-24. doi: 10.1016/0378-4371(94)90064-7.
- Giona M., Roman H. E. Fractional diffusion equation on fractals: one-dimensional case and asymptotic behavior // Phys. A: Math. Gen., 1992. vol. 25, no. 8. pp. 2093-2105. doi: 10.1088/0305-4470/25/8/023.
- Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports, 2000. vol. 339, no. 1. pp. 1-77. doi: 10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
- Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics // Phys. A: Math. Gen., 2004. vol. 37, no. 31. pp. R161-R208. doi: 10.1088/0305-4470/37/31/r01.
- Учайкин В. В. Анизотропия космических лучей в дробно-дифференциальных моделях аномальной диффузии // ЖЭТФ, 2013. Т. 143, № 6. С. 1039-1047. doi: 10.7868/ S0044451013060037.
- Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers / Nonlinear Physical Science. vol. I: Background and Theory. Berlin: Springer, 2013. xii+385 pp. doi: 10.1007/978-3-642-33911-0.
- Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. 248 с.
- Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. II. / Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Co., 1953. xvii+396 pp.
- Wright E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc., 1933. vol. s1-8, no. 1. pp. 71-79. doi: 10.1112/jlms/s1-8.1.71.
- Gorenflo R., Luchko Y., Mainardi F. Analytical properties and applications of the Wright function // Fractional Calculus and Applied Analysis, 1999. vol. 2, no. 4. pp. 383-414, arXiv: math-ph/0701069.
Supplementary files
