Mathematical modeling of hereditary elastically deformable body on the basis of structural models and fractional integrodifferentiation Riemann-Liouville apparatus


Cite item

Full Text

Abstract

The standard one-dimensional generalized model of a viscoelastic body and some of its special cases-Voigt, Maxwell, Kelvin and Zener models are considered. Based on the V. Volterra hypothesis of hereditary elastically deformable solid body and the method of structural modeling the fractional analogues of classical rheological models listed above are introduced. It is shown that if an initial V. Volterra constitutive relation uses the Abel-type kernel, the fractional derivatives arising in constitutive relations will be the Rieman-Liouville derivatives on the interval. It is noted that in many works deal with mathematical models of hereditary elastic bodies, the authors use some fractional derivatives, convenient for the integral transforms, for example, the Riemann-Liouville derivatives on the whole real number line or Caputo derivatives. The explicit solutions of initial value problems for the model fractional differential equations are not given. The correctness of the Cauchy problem is shown for some linear combinations of functions of stress and strain for constitutive relations in differential form with Riemann- Liouville fractional derivatives. Explicit solutions of the problem of creep at constant stress in steps of loading and unloading are found. The continuous dependence of the solutions on the model fractional parameter is proved, in the sense that these solutions transform into a well-known solutions for classical rheological models when α → 1. We note the persistence of instantaneous elastic deformation in the loading and unloading process for fractional Maxwell, Kelvin and Zener models. The theorems on the existence and asymptotic properties of the solutions of creep problem are presented and proved. The computer system identifying the parameters of the fractional mathematical model of the viscoelastic body is developed, the accuracy of the approximations for experimental data and visualization solutions of creep problems is evaluated. Test data with constant tensile stresses of polyvinyl chloride tube were used for experimental verification of the proposed models. The results of the calculated data based on the fractional analog of Voigt model are presented. There is a satisfactory agreement between the calculated and experimental data.

About the authors

Eugeniy N Ogorodnikov

Samara State Technical University

Email: eugen.ogo@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; eugen.ogo@gmail.com; Corresponding Author), Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; radch@samgtu.ru), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Luiza G Ungarova

Samara State Technical University

Email: algluiza@gmail.com
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

  1. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
  2. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
  3. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
  4. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. М: Наука., 1977. 384 с.
  5. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  6. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  7. Uchaikin V. V. Heredity and Nonlocality / Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. vol. 1, Background and Theory. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2013. pp. 3-58. doi: 10.1007/978-3-642-33911-0_1; doi: 10.1007/978-3-642-33911-0.
  8. Volterra V. Sulle equazioni integro-differenziali della teoria dell’elasticità // Rend. Acc. Naz. Lincei, 1909. vol. 18. pp. 295-301.
  9. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
  10. Boltzmann L. Theorie der elastischen Nachwirkung (Theory of elastic after effects) // Wien. Ber., 1874. vol. 70. pp. 275-306; Boltzman L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung (On the elastic after effect) // Pogg. Ann. (2), 1878. vol. 5. pp. 430-432; Boltzman L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung / Wissenschaftliche Abhandlungen. vol. 2 / Cambridge Library Collection; ed. Friedrich Hasenöhrl. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. pp. 318-320. doi: 10.1017/CBO9781139381437.015.
  11. Duffing G. Elastizität und Reibung beim Riementrieb (Elasticity and friction of the belt drive) // Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A, 1931. vol. 2, no. 3. pp. 99-104. doi: 10.1007/BF02578795.
  12. Gemant A. A Method of Analyzing Experimental Results Obtained from Elasto-Viscous Bodies // J. Appl. Phys., 1936. vol. 7. pp. 311-317. doi: 10.1063/1.1745400.
  13. Бронский А. П. Явление последействия в твёрдом теле // ПММ, 1941. Т. 5, № 1. С. 31-56.
  14. Слонимский Г. Л. О законах деформации реальных материалов // ЖТФ, 1939. Т. 9, № 20. С. 1791-1799.
  15. Ишлинский А. Ю. Об уравнениях пространственного деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР, ОТН, 1945. № 3. С. 250-260.
  16. Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.: Гостехиздат, 1949. 248 с.
  17. Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ, 1948. Т. 12, № 1. С. 53-62.
  18. Булгаков И. И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. 288 с.
  19. Podlubny I. Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / Mathematics in Science and Engineering. vol. 198. San Diego: Academic Press, 1999. xxiv+340 pp.
  20. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204. Amsterdam: Elsevier, 2006. xx+523 pp.
  21. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Hackensack, NJ: World Scientific, 2010, xx+347 pp. doi: 10.1142/9781848163300.
  22. Самко С. Г. Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  23. Gemant A. On fractional differentials // Philos. Mag., VII. Ser., 1938. vol. 25. pp. 540-549.
  24. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 276-279. doi: 10.14498/vsgtu685.
  25. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
  26. Огородников Е. Н. Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 1(22). С. 255-268. doi: 10.14498/vsgtu932.
  27. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О некоторых свойствах операторов с функциями типа Миттаг-Леффлера в ядрах / Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.).Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 181-188.
  28. Абусаитова Л. Г., Огородников Е. Н. О некоторых специальных функциях, связанных с функцией Миттаг-Леффлера, их свойствах и применении / Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы X Школы молодых ученых. Нальчик: КБНЦ РАН, 2012. С. 13-15.
  29. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional Calculus. Integral and Differential Equations of Fractional Order / Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics / CISM Courses and Lectures, 378. Wien: Springer, 1997. pp. 223-276. doi: 10.1007/978-3-7091-2664-6_5.
  30. Koeller R. C. Applications of Fractional Calculus to the Theory of Viscoelasticity // J. Appl. Mech., 1984. vol. 51, no. 2. pp. 299-307. doi: 10.1115/1.3167616.
  31. Carpinteri A., Cornetti P., Sapora A. Nonlocal elasticity: an approach based on fractional calculus // Meccanica, 2014. vol. 49, no. 11. pp. 2551-2569. doi: 10.1007/s11012-014-0044-5.
  32. Bagley R. L., Torvic P. J. A Theoretical Basis for the Application of Fractional Calculus to Viscoelasticity // J. Rheol., 1983. vol. 27, no. 3. pp. 201-210. doi: 10.1122/1.549724.
  33. Bagley R. L., Torvic P. J. Fractional calculus - A different approach to the analysis of viscoelastically damped structures // AIAA Journal, 1984. vol. 21, no. 5. pp. 741-748. doi: 10.2514/3.8142.
  34. Lewandowski R., Chorazyczewski B. Identification of the parameters of the Kelvin-Voigt and the Maxwell fractional models, used to modeling of viscoelastic dampers // Computers and Structures, 2009. vol. 88, no. 1-2. pp. 1-17. doi: 10.1016/j.compstruc.2009.09.001.
  35. Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // La Rivista del Nuovo Cimento, 1971. vol. 1, no. 2. pp. 161-198. doi: 10.1007/bf02820620.
  36. Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mechanism // Pure and Applied Geophysics, 1971. vol. 91, no. 1. pp. 134-147. doi: 10.1007/bf00879562.
  37. Scott Blair G. W. The role of psychophysics in rheology // Journal of Colloid Science, 1947. vol. 2, no. 1. pp. 21-32. doi: 10.1016/0095-8522(47)90007-x.
  38. Scott Blair G. W. A survey of general and applied rheology. London: Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd., 1949. xvi+314 pp.
  39. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  40. Barrett J. H. Differential equations of non-integer order // Canad. J. Math., 1954. vol. 6. pp. 529-541. doi: 10.4153/cjm-1954-058-2.
  41. Огородников Е. Н., Абусаитова Л. Г. Определяющие соотношения и начальные задачи для вязкоупругих сред с дробными операторами Римана-Лиувилля / Материалы VIII Всероссийской конференции по механике деформируемого твёрдого тела, Ч. 2. Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2014. С. 105-107.
  42. Абусаитова Л. Г., Огородников Е. Н. Математическое моделирование вязкоупругих сред с памятью и задача параметрической идентификации дробных реологических моделей / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 40-41.
  43. Унгарова Л. Г. Явные решения задачи о ползучести для некоторых нелинейных реологических моделей наследственно-упругого тела / ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник докладов. Казань, 2015. С. 3843-3845.
  44. Радченко В. П., Голудин Е. П. Феноменологическая стохастическая модель изотермической ползучести поливинилхлоридного пластиката // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 1(16). С. 45-52. doi: 10.14498/vsgtu571.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».