Двойственные задачи плоских ползущих течений степенной несжимаемой среды


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Для уравнений равновесия и совместности, описывающих ползущие плоские течения несжимаемой среды со степенной реологией, рассмотрен класс решений в форме произведения произвольной степени радиальной координаты на произвольную функцию угловой координаты полярной системы координат, покрывающей плоскость. Данный класс решений представляет асимптотику полей вблизи особой точки области, занятой рассматриваемой средой. Показана трансформация друг в друга точечными преобразованиями двух задач для плоскости с клиновидным вырезом, в одной из которых на границах выреза исчезают компоненты вектора поверхностных сил, а в другой - компоненты вектора скоростей. В ходе таких преобразований уравнения равновесия и совместности системы полевых уравнений переходят друг в друга, граничные условия одной задачи переходят в граничные условия другой задачи, а показатель степени реологического уравнения обращается. Для указанных двойственных нелинейных задач на собственные значения были изучены собственные решения и асимптотика полей вблизи вершины выреза в зависимости от показателя степени реологического уравнения и угла раствора выреза. При этом исследовалась ветвь собственных значений, связанная с собственным числом Хатчинсона-Райса-Розенгрена, известным по задаче о распределении напряжений в плоскости с разрезом для степенной среды. Двойственная задача дает распределение скоростей перемещений при течении степенной среды вблизи вершины жесткого клина. Найдены аналитические выражения для еще двух собственных чисел и установлено, что каждое из этих чисел отвечает за определенную простую структуру полей скоростей перемещений или напряжений в каждой из двойственных задач. Одно из этих собственных значений соответствует радиальному характеру течения среды и было обнаружено В. В. Соколовским, а в двойственной задаче отсутствует окружная компонента напряжений. Другое собственное значение соответствует одной ненулевой радиальной компоненте напряжений, а в двойственной задаче поле скоростей тривиально.

Об авторах

Дмитрий Сергеевич Петухов

Институт механики сплошных сред УрО РАН

Email: petuhovds@mail.ru
аспирант, лаб. нелинейной механики деформируемого твердого тела. Россия, 614013, Пермь, ул. Акад. Королёва, 1

Илья Эрнстович Келлер

Институт механики сплошных сред УрО РАН

Email: kie@icmm.ru
(д.ф.-м.н., доц.; kie@icmm.ru; автор, ведущий переписку), научный сотрудник, лаб. нелинейной механики деформируемого твердого тела Россия, 614013, Пермь, ул. Акад. Королёва, 1

Список литературы

  1. Соколовский В. В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками // ПММ, 1950. Т. 14, № 1. С. 75-92.
  2. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш. шк., 1969. 608 с.
  3. Малинин Н. Н. Технологические задачи пластичности и ползучести. М.: Высш. шк., 1979. 119 с.
  4. Rice J. R., Rosengren G. F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material // J. Mech. Phys. Solids, 1968. vol. 16, no. 1. pp. 1-12. doi: 10.1016/0022-5096(68)90013-6.
  5. Hutchinson J. W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // J. Mech. Phys. Solids, 1968. vol. 16, no. 1. pp. 13-31. doi: 10.1016/0022-5096(68)90014-8.
  6. Hutchinson J. W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // J. Mech. Phys. Solids, 1968. vol. 16, no. 5. pp. 337-342. doi: 10.1016/0022-5096(68)90021-5.
  7. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физ.-мат. лит., 1962. 432 с.
  8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  9. Головин С. В., Чесноков А. А. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирск. ун-т, 2008. 113 с.
  10. Bluman G. W., Cheviakov A. F., Anco S. C. Applications of symmetry methods to partial differential equations / Applied Mathematical Sciences. vol. 168. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2010. 414 pp. doi: 10.1007/978-0-387-68028-6.
  11. Shih C. F. Elastic-plastic analysis of combined mode crack problems: Ph. D. Thesis. Cambridge, M.A.: Harvard University, 1973.
  12. Shlyannikov V. N. Elastic-plastic mixed-mode fracture criteria and parameters / Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. vol. 7. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. 234 pp. doi: 10.1007/978-3-540-45836-4.
  13. Астафьев В. И., Крутов А. Н. Распределение напряжений вблизи вершины наклонной трещины в нелинейной механике разрушения // Изв. РАН. МТТ, 2001. № 5. С. 125-133.
  14. Степанова Л. В., Яковлева Е. М. О смешанном нагружении элементов конструкции с дефектом // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 2. С. 358-381. doi: 10.14498/vsgtu1432.
  15. Душин В. Р. Инвариантные решения уравнений движения «степенных» жидкостей // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика, механика, 1988. № 2. С. 91-95.
  16. Келлер И. Э. Интегрируемость уравнений равновесия и совместности вязкопластической среды с отрицательной чувствительностью к скорости деформации // Докл. РАН, 2013. Т. 451, № 6. С. 643-646.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Самарский государственный технический университет, 2016

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».