An approximate group classification of a perturbed subdiffusion equation


Cite item

Full Text

Abstract

A problem of the Lie point approximate symmetry group classification of a perturbed subdiffusion equation with a small parameter is solved. The classification is performed with respect to anomalous diffusion coefficient which is considered as a function of an independent variable. The perturbed subdiffusion equation is derived from a fractional subdiffusion equation with the Riemann-Liouville time-fractional derivative under an assumption that the order of fractional differentiation is close to unity. As it is follow from the classification results, the perturbed subdiffusion equation admits a more general Lie point symmetry group than the initial fractional subdiffusion equation. The obtained results permit to construct approximate invariant solutions for the perturbed subdiffusion equation corresponding to different functions of the anomalous diffusion coefficient. These solutions will also be the approximate solutions of the initial fractional subdiffusion equation.

About the authors

Stanislav Yu Lukashchuk

Ufa State Aviation Technical University

Email: lsu@ugatu.su
(Cand. Phys. & Math. Sci.; lsu@ugatu.su), Associate Professor, Dept. of High Performance Computing Technologies and Systems 12, K. Marx st., Ufa, 450000, Russian Federation

References

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo Y. Y. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204 / ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  3. Нахушев А. М. Дробное исчисление его применение. М.: Физматлит, 2009. 272 с.
  4. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  5. Mainardy F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Singapore: World Scientific, 2010. xx+367 pp. doi: 10.1142/9781848163300.
  6. Головизнин В. М., Кондратенко П. С., Матвеев Л. В., Короткин И. А., Драников И. Л. Аномальная диффузия радионуклидов в сильно-неоднородных геологических формациях. М.: Наука, 2010. 342 с.
  7. Tarasov V. E. Fractional dynamics: Application of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media / Nonlinear Physical Science. Heidelberg: Springer, 2011. xv+495 pp. doi: 10.1007/978-3-642-14003-7.
  8. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J. Fractional calculus: Models and numerical methods / Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos. vol. 3. Singapore: World Scientific, 2012. 400 pp. doi: 10.1142/9789814355216.
  9. Uchaikin V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: Anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems. Singapore: World Scientific, 2013. 276 pp. doi: 10.1142/8185.
  10. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  11. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
  12. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ, 2007. Т. 9, № 32(21). С. 125-135.
  13. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta, 2009. vol. 2009, no. T136, 014016. doi: 10.1088/0031-8949/2009/t136/014016.
  14. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимск. матем. Журн., 2012. Т. 4, № 4. С. 54-68.
  15. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Phys. A, 2006. vol. 368, no. 2. pp. 399-415. doi: 10.1016/j.physa.2005.12.015.
  16. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Phys. A, 2008. vol. 387, no. 8-9. pp. 1807-1817. doi: 10.1016/j.physa.2007.11.046.
  17. Tofighi A. An Especial Fractional Oscillator // International Journal of Statistical Mechanics, 2013. vol. 2013, 175273. 5 pp. doi: 10.1155/2013/175273.
  18. Nayfeh A. H. Perturbation Methods. Mörlenbach: Willey, 2000. xii+495 pp. doi: 10.1002/9783527617609.
  19. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии // Матем. сб., 1988. Т. 136(178), № 4(8). С. 435-450.
  20. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Методы возмущений в групповом анализе / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., Т. 20. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 85-147.
  21. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные группы преобразований // Дифференц. уравнения, 1993. Т. 29, № 10. С. 1712-1732.
  22. Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep., 2000. vol. 339, no. 1. pp. 1-77. doi: 10.1016/s0370-1573(00)-00070-3.
  23. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН, 2003. Т. 173, № 8. С. 847-876. doi: 10.3367/UFNr.0173.200308c.0847.
  24. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  25. Luchko Yu. Anomalous diffusion: models, their analysis, and interpretation / Advances in Applied Analysis. Trends in Mathematics; eds. S. Rogosin, A. Koroleva. Basel: Birkhäuser, 2012. pp. 115-145. doi: 10.1007/978-3-0348-0417-2_3.
  26. Хуштова Ф. Г. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки, 2015. Т. 19, № 4. С. 722-735. doi: 10.14498/vsgtu1445.
  27. Bologna M., Tsallis C., Grigolini P. Anomalous diffusion associated with nonlinear fractional derivative Fokker-Planck-like equation: Exact time-dependent solutions // Phys. Rev. E, 2000. vol. 62, no. 2. pp. 2213-2218. doi: 10.1103/physreve.62.2213.
  28. Lenzi E. K., Lenzi M. K., Evangelista L. R., Malacarne L. C., Mendes R. S. Solutions for a fractional nonlinear diffusion equation with external force and absorbent term // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009. vol. 2009, no. 2, P02048. doi: 10.1088/1742-5468/2009/02/p02048.
  29. Bonforte M., Vázquez J. L. Fractional nonlinear degenerate diffusion equations on bounded domains part I. Existence, uniqueness and upper bounds // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2016. vol. 131. pp. 363-398. doi: 10.1016/j.na.2015.10.005.
  30. Lukashchuk S. Yu., Makunin A. V. Group classification of nonlinear time-fractional diffusion equation with a source term // Applied Mathematics and Computation, 2015. vol. 257. pp. 335-343. doi: 10.1016/j.amc.2014.11.087.
  31. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / eds. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1984. xiv+1046 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).