A boundary value problem for a third order hyperbolic equation with degeneration of order inside the domain


Cite item

Full Text

Abstract

In this paper we study the boundary value problem for a degenerating third order equation of hyperbolic type in a mixed domain. The equation under consideration in the positive part of the domain coincides with the Hallaire equation, which is a pseudoparabolic type equation. Moreover, in the negative part of the domain it coincides with a degenerating hyperbolic equation of the first kind, the particular case of the Bitsadze-Lykov equation. The existence and uniqueness theorem for the solution is proved. The uniqueness of the solution to the problem is proved with the Tricomi method. Using the functional relationships of the positive and negative parts of the domain on the degeneration line, we arrive at the convolution type Volterra integral equation of the 2nd kind with respect to the desired solution by a derivative trace. With the Laplace transform method, we obtain the solution of the integral equation in its explicit form. At last, the solution to the problem under study is written out explicitly as the solution of the second boundary-value problem in the positive part of the domain for the Hallaire equation and as the solution to the Cauchy problem in the negative part of the domain for a degenerate hyperbolic equation of the first kind.

About the authors

Ruzanna Kh Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS

Email: makaova.ruzanna@mail.ru
http://orcid.org/0000-0003-4095-2332 Junior Researcher; Dept. of Mixed Type Equations 89 a, Shortanova st., Nal’chik, 360000, Russian Federation

References

  1. Hallaire M. Potential efficace de l’eau dans le sol en régime de dessèchement / Assemblée générale de Berkeley=General Assembly of Berkeley, Publ. no. 62 (August 1963). Gentbrugge, 1963. pp. 114-122, http://hydrologie.org/redbooks/a062/iahs_062_0114.pdf.
  2. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 158 с.
  3. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal., 1970. vol. 1, no. 1. pp. 1-26. doi: 10.1137/0501001.
  4. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
  5. Нахушев А. М. Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14, № 1. С. 51-57.
  6. Баренблатт Г. И., Желтов И. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ, 1960. Т. 24, № 5. С. 852-864.
  7. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. IInstability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation $u_t = u_{xx} - u_{xtx}$ on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. vol. 19, no. 2. pp. 100-116. doi: 10.1007/BF00282277.
  8. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Differ. Equations, 1972. vol. 12, no. 3. pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  9. Янгарбер В. А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса // ПМТФ, 1967. № 1. С. 91-96.
  10. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.
  11. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.
  12. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 6. С. 763-774.
  13. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  14. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения, 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.
  15. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения Бицадзе-Лыкова // Изв. вузов. Матем., 2010. № 3. С. 28-35.
  16. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  17. Кальменов Т. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7, № 1. С. 178-181.
  18. Кальменов Т. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, № 1. С. 59-68.
  19. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Матем. заметки, 1992. Т. 51, № 3. С. 91-96.
  20. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 37-47. doi: 10.14498/vsgtu1280.
  21. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2016. Т. 18, № 2. С. 19-30.
  22. Балкизов Ж. А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки, 2016. № 1. С. 5-10. doi: 10.18522/0321-3005-2016-1-5-10.
  23. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 680 с.
  24. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности // Уфимск. матем. журн., 2017. Т. 9, № 2. С. 25-39.
  25. Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, № 3. С. 35-38.
  26. Wright E. M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser., 1940. vol. os-11, no. 1. pp. 36-48. doi: 10.1093/qmath/os-11.1.36.
  27. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Матем. сб., 2011. Т. 202, № 4. С. 111-122. doi: 10.4213/sm7645.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).