Анализ свойств кривых ползучести с произвольной начальной стадией нагружения, порождаемых линейной теорией наследственности


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Выведено уравнение семейства кривых ползучести с произвольной неубывающей программой нагружения на начальной стадии, порождаемых линейным интегральным определяющим соотношением вязкоупругости Больцмана-Вольтерры с произвольной функцией ползучести (релаксации), аналитически изучены их общие качественные свойства и влияние на них длительности и формы начальной стадии нагружения и свойств функций ползучести. Исследованы интервалы монотонности и выпуклости кривых ползучести, их асимптотики, отклонения друг от друга кривых с разными начальными стадиями нагружения до заданного уровня напряжения, условия сходимости к нулю их отклонения от кривых ползучести при мгновенном нагружении с неограниченным увеличением времени (условия затухания памяти) и другие свойства. Получены точные двусторонние оценки для кривых ползучести и их абсолютных отклонений друг от друга и от кривых ползучести при мгновенном нагружении, доказана равномерная сходимость семейств кривых ползучести с фиксированной формой начальной стадии нагружения к кривой ползучести при мгновенном нагружении, когда длительность начальной стадии стремится к нулю. Установленные общие свойства кривых ползучести, порождаемых линейной теории наследственности, проиллюстрированы на примерах кривых ползучести классических реологических моделей (Максвелла, Фойгта, Кельвина), трехзвенных сингулярных моделей и «фрактальных» моделей с оператором дробного дифференцирования. Проанализированы специфические особенности поведения кривых ползучести регулярных и нерегулярных моделей, а также гибридных моделей, чьи функции ползучести склеены из нескольких функций. Проведенный анализ позволяет точнее очертить арсенал возможностей и область применимости линейной теории наследственности, выявить индикаторы ее (не)применимости, удобные для экспериментальной проверки, получить новые универсальные двусторонние оценки для функции ползучести через кривые ползучести с начальной стадией нагружения, регистрируемые в испытаниях материалов, и усовершенствовать методики выбора, идентификации, настройки и верификации линейных моделей.

Об авторах

Андрей Владимирович Хохлов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Email: andrey-khokhlov@ya.ru
кандидат технических наук; старший научный сотрудник; лаб. упругости и пластичности; Научно-исследовательский институт механики Россия, 119192, Москва, Мичуринский проспект, 1

Список литературы

  1. Колтунов М. А. Определение характеристик упруго-вязких сред по данным квазистатических опытов // Механика полимеров, 1967. № 5. С. 803-811.
  2. Zapas L. J., Phillips J. C. Simple shearing flows in polyisobutylene solutions // J. Res. Nat. Bur. Stds. A, 1971. vol. 75, no. 1. pp. 33-41, Retrieved from https://archive.org/details/jresv75An1p33 (August 11, 2017).
  3. Findley W. N., Lai J. S., Onaran K. Creep And Relaxation Of Nonlinear Viscoelastic Materials. Amsterdam: North Holland, 1976. xii+368 pp.
  4. Уржумцев Ю. С., Майборода В. П. Технические средства и методы определения прочностных характеристик конструкций из полимеров. М.: Машиностроение, 1984. 168 с.
  5. Tschoegl N. W. The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior. Berlin: Springer, 1989. xxv+769 pp.
  6. Drozdov A. D. Mechanics of viscoelastic solids. New York: Wiley, 1998. 484 pp.
  7. Lee S., Knauss W. G. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests // Mech. Time-Depend. Mater., 2000. vol. 4, no. 1. pp. 1-7. doi: 10.1023/A:1009827622426.
  8. Адамов А. А., Матвеенко В. П., Труфанов Н. А., Шардаков И. Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с.
  9. Lu H., Wang B., Ma J., Huang G., Viswanathan H. Measurement of Creep Compliance of Solid Polymers by Nanoindentation // Mech. Time-Depend. Mater., 2003. vol. 7, no. 3-4. pp. 189-207. doi: 10.1023/B:MTDM.0000007217.07156.9b.
  10. Oyen M. L. Spherical indentation creep following ramp loading // J. Mater. Res., 2005. vol. 20, no. 8. pp. 2094-2100. doi: 10.1557/JMR.2005.0259.
  11. Oyen M.L. Sensitivity of polymer nanoindentation creep properties to experimental variables // Acta Mater., 2007. vol. 55, no. 11. pp. 3633-3639. doi: 10.1016/j.actamat.2006.12.031.
  12. Хохлов А. В. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти // Изв. РАН. МТТ, 2007. № 2. С. 147-166.
  13. Khan F. Loading history effects on the creep and relaxation behavior of thermoplastics // J. Eng. Mater. Technol., 2006. vol. 128, no. 4. pp. 564-571. doi: 10.1115/1.2345448.
  14. Sorvari J., Malinen M., Hämäläinen J. Finite ramp time correction method for non-linear viscoelastic material model // Int. J. Non-Linear Mech., 2006. vol. 41, no. 9. pp. 1050-1056. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2006.10.015.
  15. Sorvari J., Malinen M. On the direct estimation of creep and relaxation functions // Mech. Time-Depend. Mater., 2007. vol. 11, no. 2. pp. 143-157. doi: 10.1007/s11043-007-9038-1.
  16. Duenwald S. E, Vanderby R., Lakes R. S. Constitutive equations for ligament and other soft tissue: evaluation by experiment // Acta Mech., 2009. vol. 205, no. 1-4. pp. 23-33. doi: 10.1007/s00707-009-0161-8.
  17. Lakes R. S. Viscoelastic Materials. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. xvi+462 pp. doi: 10.1017/CBO9780511626722.
  18. Choi S., Cha S. W., Oh B. H. Identification of viscoelastic behavior for early-age concrete based on measured strain and stress histories // Mater. Struct., 2010. vol. 43, no. 8. pp. 1161-1175. doi: 10.1617/s11527-009-9574-z.
  19. Di Paola M, Fiore V., Pinnola F., Valenza A. On the influence of the initial ramp for a correct definition of the parameters of fractional viscoelastic materials // Mech. Mater., 2014. vol. 69, no. 1. pp. 63-70. doi: 10.1016/j.mechmat.2013.09.017.
  20. Fernandes V. A., De Focatiis D. S. The role of deformation history on stress relaxation and stress memory of filled rubber // Polymer Testing, 2014. vol. 40. pp. 124-132. doi: 10.1016/j.polymertesting.2014.08.018.
  21. Zhang H., Lamnawar K., Maazouz A., Maia J. M. Experimental considerations on the step shear strain in polymer melts: sources of error and windows of confidence // Rheol. Acta, 2015. vol. 54, no. 2. pp. 121-138. doi: 10.1007/s00397-014-0814-y.
  22. Jalocha D., Constantinescu A., Neviere R. Revisiting the identification of generalized Maxwell models from experimental results // Int. J. Solids Struct., 2015. vol. 67-68. pp. 169-181. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2015.04.018.
  23. Хохлов А. В. Свойства семейств кривых ползучести для нагружения с постоянной скоростью на начальной стадии, порождаемых линейным соотношением вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности, 2016. Т. 78, № 2. С. 164-176.
  24. Хохлов А. В. Идентификация нелинейной модели упруговязкопластичности типа Максвелла по кривым ползучести с начальной стадией нагружения. Часть 1. Математический фундамент // Деформация и разрушение материалов, 2017. № 9. С. 2-9.
  25. Хохлов А. В. Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики её идентификации // Изв. РАН. МТТ, 2018. № 3. С. 81-104. doi: 10.7868/S0572329918030108.
  26. Работнов Ю. Н. Некоторые вопросы теории ползучести // Вестник МГУ, 1948. № 10. С. 81-91.
  27. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
  28. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
  29. Fung Y. C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. New York: SpringerVerlag, 1993. 568 pp.
  30. Работнов Ю. Н., Паперник Л. Х., Степанычев Е. И. Приложение нелинейной теории наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механика полимеров, 1971. № 1. С. 74-87.
  31. Хохлов А. В. Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017. № 3. С. 93-123. doi: 10.18698/1812-3368-2017-3-93-123.
  32. Хохлов А. В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование, 2016. № 5. С. 187-245. doi: 10.7463/0516.0840650.
  33. Хохлов А. В. Свойства произведения функции ползучести и функции релаксации в линейной вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности, 2014. Т. 76, № 4. С. 343-356, режим доступа: http://ppp.mech.unn.ru/ru/nomera?anum=283 (дата обращения: 11.08.2017).
  34. Хохлов А. В. Общие свойства диаграмм деформирования линейных моделей вязкоупругости при постоянной скорости деформации // Проблемы прочности и пластичности, 2015. Т. 77, № 1. С. 60-74, режим доступа: http://ppp.mech.unn.ru/ru/nomera?anum=296 (дата обращения: 11.08.2017).
  35. Хохлов А. В. Кривые длительной прочности, порождаемые линейной теорией вязкоупругости в сочетании с критериями разрушения, учитывающими историю деформирования // Труды МАИ, 2016. № 91. С. 1-32, режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=75559 (дата обращения: 11.08.2017).
  36. Nutting P. G. A new general law of deformation // J. Frankline Inst., 1921. vol. 191, no. 5. pp. 679-685. doi: 10.1016/S0016-0032(21)90171-6.
  37. Gemant A. On fractional differentials // Phil. Mag., Ser. 7, 1938. vol. 25, no. 168. pp. 540-549. doi: 10.1080/14786443808562036.
  38. Nutting P. A general stress-strain-time formula // J. Frankline Inst., 1943. vol. 235, no. 5. pp. 513-524. doi: 10.1016/S0016-0032(43)91483-8.
  39. Scott-Blair G. W., Coppen F. The classification of rheological properties of industrial materials in the light of power-law relations between stress, strain, and time // J. Sci. Instrum., 1942. vol. 19, no. 6. pp. 88-93. doi: 10.1088/0950-7671/19/6/303.
  40. Scott-Blair G. W.,Caffyn J. Significance of power-law relations in rheology // Nature, 1945. vol. 155. pp. 171-172. doi: 10.1038/155171c0.
  41. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  42. Слонимский Г. Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел // Докл. АН СССР, 1961. Т. 140, № 2. С. 343-346.
  43. Мешков С. И. Интегральное представление дробно-экспоненциальных функций и их применение к динамическим задачам линейной вязко-упругости // ПМТФ, 1970. Т. 91, № 1. С. 103-110, режим доступа: http://www.sibran.ru/journals/issue.php?ID=157447&ARTICLE_ID=157473 (дата обращения: 11.08.2017).
  44. Meshkov S. I., Pachevskaya G. N., Postnikov V. S., Rossikhin U. A. Integral representations of εγ -functions and their application to problems in linear viscoelasticity // Int. J. Eng. Sci., 1971. vol. 9, no. 4. pp. 387-398. doi: 10.1016/0020-7225(71)90059-0.
  45. Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // Riv. Nuovo Cimento, 1971. vol. 1, no. 2. pp. 161-198. doi: 10.1007/BF02820620.
  46. Koeller R. Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity // J. Appl. Mech., 1984. vol. 51, no. 2. pp. 299-307. doi: 10.1115/1.3167616.
  47. Koeller R. Polynomial operators, Stieltjes convolution, and fractional calculus in hereditary mechanics // Acta Mech., 1986. vol. 58, no. 3-4. pp. 251-264. doi: 10.1007/BF01176603.
  48. Bagley R. L., Torvik P. J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior // J. Rheology, 1986. vol. 30, no. 1. pp. 133-155. doi: 10.1122/1.549887.
  49. Bagley R. L. Power law and fractional calculus model of viscoelasticity // AIAA J., 1989. vol. 27, no. 10. pp. 1412-1417. doi: 10.2514/3.10279.
  50. Friedrich Chr. Mechanical stress relaxation in polymers: fractional integral model versus fractional differential model // J. Non-Newtonian Fluid Mech., 1993. vol. 46, no. 2-3. pp. 307-314. doi: 10.1016/0377-0257(93)85052-C.
  51. Podlubny I. Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / Mathematics in Science and Engineering. vol. 198 San Diego: Academic Press, 1999. xxiv+340 pp. doi: 10.1016/s0076-5392(99)x8001-5.
  52. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204. Amsterdam: Elsevier, 2006. xx+523 pp. doi: 10.1016/s0304-0208(06)x8001-5.
  53. Rossikhin Yu., Shitikova M. Comparative analysis of viscoelastic models involving fractional derivatives of different orders // Fract. Calc. Appl. Anal, 2007. vol. 10, no. 2. pp. 111-121, Retrieved from https://eudml.org/doc/11320 (August 11, 2017).
  54. Rossikhin Yu., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results // Appl. Mech. Rev, 2010. vol. 63, no. 1, 010801. 52 pp. doi: 10.1115/1.4000563.
  55. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Hackensack: World Scientific, 2010. xx+347 pp. doi: 10.1142/9781848163300.
  56. Sasso M., Palmieri G., Amodio G. Application of fractional derivative models in linear viscoelastic problems // Mech. Time-Depend. Mater., 2011. vol. 15, no. 4. pp. 367-387. doi: 10.1007/s11043-011-9153-x.
  57. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 1 (22). С. 255-268. doi: 10.14498/vsgtu932.
  58. Katicha S. W., Apeagyei A. K., Flintsch G. W, Loulizi A. Universal linear viscoelastic approximation property of fractional viscoelastic models with application to asphalt concrete // Mech. Time-Depend. Mater., 2014. vol. 18, no. 3. pp. 555-571. doi: 10.1007/s11043-014-9241-9.
  59. Pirrotta A., Cutrona S., Di Lorenzo S. Fractional visco-elastic Timoshenko beam from elastic Euler-Bernoulli beam // Acta Mech., 2015. vol. 226, no. 1. pp. 179-189. doi: 10.1007/s00707-014-1144-y.
  60. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Унгарова Л. Г. Математическое моделирование наследственно упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 1. С. 167-194. doi: 10.14498/vsgtu1456.
  61. Christensen R. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York: Academic Press, 1982. xii+364 pp. doi: 10.1016/b978-0-12-174252-2.x5001-7.
  62. Drozdov A. D. Modelling an anomalous stress relaxation in glassy polymers (the Kitagawa effect) // Math. Comput. Model, 1998. vol. 27, no. 12. pp. 45-67. doi: 10.1016/S0895-7177(98)00072-7.
  63. Löwe H., Müller P., Zippelius A. Dynamics of gelling liquids: A short survey (Review) //J. Phys. Cond. Matter, 2005. vol. 17, no. 20. pp. S1659-S1680. doi: 10.1088/0953-8984/17/20/002.
  64. Ghauri I. M., Afzal N., Anwar M., Siddique S. A. Anomalous stress relaxation behavior of polycrystalline aluminum at low temperature // Int. J. Mod. Phys. B, 2007. vol. 21, no. 10. pp. 1745-1754. doi: 10.1142/S0217979207036977.
  65. Drozdov A. D. Time-dependent response of polypropylene after strain reversal // Int. J. Solids Struct., 2010. vol. 47, no. 24. pp. 3221-3233. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2010.08.001.
  66. Khan F., Yeakle C. Experimental investigation and modeling of non-monotonic creep behavior in polymers // Int. J. Plasticity, 2011. vol. 27, no. 4. pp. 512-521. doi: 10.1016/j.ijplas.2010.06.007.
  67. Khan F., Yeakle C., Gomaa S. Characterization of the mechanical properties of a new grade of ultra high molecular weight polyethylene and modeling with the viscoplasticity based on overstress // J. Mech. Behav. Biomed. Mater., 2012. vol. 6, no. 2. pp. 174-180. doi: 10.1016/j.jmbbm.2011.10.009.
  68. Drozdov A. D., Dusunceli N. Unusual mechanical response of carbon black-filled thermoplastic elastomers // Mech. Mater., 2014. vol. 69, no. 1. pp. 116-131. doi: 10.1016/j.mechmat.2013.09.019.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).