Анализ свойств кривых ползучести с произвольной начальной стадией нагружения, порождаемых линейной теорией наследственности


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Выведено уравнение семейства кривых ползучести с произвольной неубывающей программой нагружения на начальной стадии, порождаемых линейным интегральным определяющим соотношением вязкоупругости Больцмана-Вольтерры с произвольной функцией ползучести (релаксации), аналитически изучены их общие качественные свойства и влияние на них длительности и формы начальной стадии нагружения и свойств функций ползучести. Исследованы интервалы монотонности и выпуклости кривых ползучести, их асимптотики, отклонения друг от друга кривых с разными начальными стадиями нагружения до заданного уровня напряжения, условия сходимости к нулю их отклонения от кривых ползучести при мгновенном нагружении с неограниченным увеличением времени (условия затухания памяти) и другие свойства. Получены точные двусторонние оценки для кривых ползучести и их абсолютных отклонений друг от друга и от кривых ползучести при мгновенном нагружении, доказана равномерная сходимость семейств кривых ползучести с фиксированной формой начальной стадии нагружения к кривой ползучести при мгновенном нагружении, когда длительность начальной стадии стремится к нулю. Установленные общие свойства кривых ползучести, порождаемых линейной теории наследственности, проиллюстрированы на примерах кривых ползучести классических реологических моделей (Максвелла, Фойгта, Кельвина), трехзвенных сингулярных моделей и «фрактальных» моделей с оператором дробного дифференцирования. Проанализированы специфические особенности поведения кривых ползучести регулярных и нерегулярных моделей, а также гибридных моделей, чьи функции ползучести склеены из нескольких функций. Проведенный анализ позволяет точнее очертить арсенал возможностей и область применимости линейной теории наследственности, выявить индикаторы ее (не)применимости, удобные для экспериментальной проверки, получить новые универсальные двусторонние оценки для функции ползучести через кривые ползучести с начальной стадией нагружения, регистрируемые в испытаниях материалов, и усовершенствовать методики выбора, идентификации, настройки и верификации линейных моделей.

Об авторах

Андрей Владимирович Хохлов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Email: andrey-khokhlov@ya.ru
кандидат технических наук; старший научный сотрудник; лаб. упругости и пластичности; Научно-исследовательский институт механики Россия, 119192, Москва, Мичуринский проспект, 1

Список литературы

  1. Колтунов М. А. Определение характеристик упруго-вязких сред по данным квазистатических опытов // Механика полимеров, 1967. № 5. С. 803-811.
  2. Zapas L. J., Phillips J. C. Simple shearing flows in polyisobutylene solutions // J. Res. Nat. Bur. Stds. A, 1971. vol. 75, no. 1. pp. 33-41, Retrieved from https://archive.org/details/jresv75An1p33 (August 11, 2017).
  3. Findley W. N., Lai J. S., Onaran K. Creep And Relaxation Of Nonlinear Viscoelastic Materials. Amsterdam: North Holland, 1976. xii+368 pp.
  4. Уржумцев Ю. С., Майборода В. П. Технические средства и методы определения прочностных характеристик конструкций из полимеров. М.: Машиностроение, 1984. 168 с.
  5. Tschoegl N. W. The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior. Berlin: Springer, 1989. xxv+769 pp.
  6. Drozdov A. D. Mechanics of viscoelastic solids. New York: Wiley, 1998. 484 pp.
  7. Lee S., Knauss W. G. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests // Mech. Time-Depend. Mater., 2000. vol. 4, no. 1. pp. 1-7. doi: 10.1023/A:1009827622426.
  8. Адамов А. А., Матвеенко В. П., Труфанов Н. А., Шардаков И. Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с.
  9. Lu H., Wang B., Ma J., Huang G., Viswanathan H. Measurement of Creep Compliance of Solid Polymers by Nanoindentation // Mech. Time-Depend. Mater., 2003. vol. 7, no. 3-4. pp. 189-207. doi: 10.1023/B:MTDM.0000007217.07156.9b.
  10. Oyen M. L. Spherical indentation creep following ramp loading // J. Mater. Res., 2005. vol. 20, no. 8. pp. 2094-2100. doi: 10.1557/JMR.2005.0259.
  11. Oyen M.L. Sensitivity of polymer nanoindentation creep properties to experimental variables // Acta Mater., 2007. vol. 55, no. 11. pp. 3633-3639. doi: 10.1016/j.actamat.2006.12.031.
  12. Хохлов А. В. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти // Изв. РАН. МТТ, 2007. № 2. С. 147-166.
  13. Khan F. Loading history effects on the creep and relaxation behavior of thermoplastics // J. Eng. Mater. Technol., 2006. vol. 128, no. 4. pp. 564-571. doi: 10.1115/1.2345448.
  14. Sorvari J., Malinen M., Hämäläinen J. Finite ramp time correction method for non-linear viscoelastic material model // Int. J. Non-Linear Mech., 2006. vol. 41, no. 9. pp. 1050-1056. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2006.10.015.
  15. Sorvari J., Malinen M. On the direct estimation of creep and relaxation functions // Mech. Time-Depend. Mater., 2007. vol. 11, no. 2. pp. 143-157. doi: 10.1007/s11043-007-9038-1.
  16. Duenwald S. E, Vanderby R., Lakes R. S. Constitutive equations for ligament and other soft tissue: evaluation by experiment // Acta Mech., 2009. vol. 205, no. 1-4. pp. 23-33. doi: 10.1007/s00707-009-0161-8.
  17. Lakes R. S. Viscoelastic Materials. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. xvi+462 pp. doi: 10.1017/CBO9780511626722.
  18. Choi S., Cha S. W., Oh B. H. Identification of viscoelastic behavior for early-age concrete based on measured strain and stress histories // Mater. Struct., 2010. vol. 43, no. 8. pp. 1161-1175. doi: 10.1617/s11527-009-9574-z.
  19. Di Paola M, Fiore V., Pinnola F., Valenza A. On the influence of the initial ramp for a correct definition of the parameters of fractional viscoelastic materials // Mech. Mater., 2014. vol. 69, no. 1. pp. 63-70. doi: 10.1016/j.mechmat.2013.09.017.
  20. Fernandes V. A., De Focatiis D. S. The role of deformation history on stress relaxation and stress memory of filled rubber // Polymer Testing, 2014. vol. 40. pp. 124-132. doi: 10.1016/j.polymertesting.2014.08.018.
  21. Zhang H., Lamnawar K., Maazouz A., Maia J. M. Experimental considerations on the step shear strain in polymer melts: sources of error and windows of confidence // Rheol. Acta, 2015. vol. 54, no. 2. pp. 121-138. doi: 10.1007/s00397-014-0814-y.
  22. Jalocha D., Constantinescu A., Neviere R. Revisiting the identification of generalized Maxwell models from experimental results // Int. J. Solids Struct., 2015. vol. 67-68. pp. 169-181. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2015.04.018.
  23. Хохлов А. В. Свойства семейств кривых ползучести для нагружения с постоянной скоростью на начальной стадии, порождаемых линейным соотношением вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности, 2016. Т. 78, № 2. С. 164-176.
  24. Хохлов А. В. Идентификация нелинейной модели упруговязкопластичности типа Максвелла по кривым ползучести с начальной стадией нагружения. Часть 1. Математический фундамент // Деформация и разрушение материалов, 2017. № 9. С. 2-9.
  25. Хохлов А. В. Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики её идентификации // Изв. РАН. МТТ, 2018. № 3. С. 81-104. doi: 10.7868/S0572329918030108.
  26. Работнов Ю. Н. Некоторые вопросы теории ползучести // Вестник МГУ, 1948. № 10. С. 81-91.
  27. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
  28. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
  29. Fung Y. C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. New York: SpringerVerlag, 1993. 568 pp.
  30. Работнов Ю. Н., Паперник Л. Х., Степанычев Е. И. Приложение нелинейной теории наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механика полимеров, 1971. № 1. С. 74-87.
  31. Хохлов А. В. Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017. № 3. С. 93-123. doi: 10.18698/1812-3368-2017-3-93-123.
  32. Хохлов А. В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование, 2016. № 5. С. 187-245. doi: 10.7463/0516.0840650.
  33. Хохлов А. В. Свойства произведения функции ползучести и функции релаксации в линейной вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности, 2014. Т. 76, № 4. С. 343-356, режим доступа: http://ppp.mech.unn.ru/ru/nomera?anum=283 (дата обращения: 11.08.2017).
  34. Хохлов А. В. Общие свойства диаграмм деформирования линейных моделей вязкоупругости при постоянной скорости деформации // Проблемы прочности и пластичности, 2015. Т. 77, № 1. С. 60-74, режим доступа: http://ppp.mech.unn.ru/ru/nomera?anum=296 (дата обращения: 11.08.2017).
  35. Хохлов А. В. Кривые длительной прочности, порождаемые линейной теорией вязкоупругости в сочетании с критериями разрушения, учитывающими историю деформирования // Труды МАИ, 2016. № 91. С. 1-32, режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=75559 (дата обращения: 11.08.2017).
  36. Nutting P. G. A new general law of deformation // J. Frankline Inst., 1921. vol. 191, no. 5. pp. 679-685. doi: 10.1016/S0016-0032(21)90171-6.
  37. Gemant A. On fractional differentials // Phil. Mag., Ser. 7, 1938. vol. 25, no. 168. pp. 540-549. doi: 10.1080/14786443808562036.
  38. Nutting P. A general stress-strain-time formula // J. Frankline Inst., 1943. vol. 235, no. 5. pp. 513-524. doi: 10.1016/S0016-0032(43)91483-8.
  39. Scott-Blair G. W., Coppen F. The classification of rheological properties of industrial materials in the light of power-law relations between stress, strain, and time // J. Sci. Instrum., 1942. vol. 19, no. 6. pp. 88-93. doi: 10.1088/0950-7671/19/6/303.
  40. Scott-Blair G. W.,Caffyn J. Significance of power-law relations in rheology // Nature, 1945. vol. 155. pp. 171-172. doi: 10.1038/155171c0.
  41. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  42. Слонимский Г. Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел // Докл. АН СССР, 1961. Т. 140, № 2. С. 343-346.
  43. Мешков С. И. Интегральное представление дробно-экспоненциальных функций и их применение к динамическим задачам линейной вязко-упругости // ПМТФ, 1970. Т. 91, № 1. С. 103-110, режим доступа: http://www.sibran.ru/journals/issue.php?ID=157447&ARTICLE_ID=157473 (дата обращения: 11.08.2017).
  44. Meshkov S. I., Pachevskaya G. N., Postnikov V. S., Rossikhin U. A. Integral representations of εγ -functions and their application to problems in linear viscoelasticity // Int. J. Eng. Sci., 1971. vol. 9, no. 4. pp. 387-398. doi: 10.1016/0020-7225(71)90059-0.
  45. Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // Riv. Nuovo Cimento, 1971. vol. 1, no. 2. pp. 161-198. doi: 10.1007/BF02820620.
  46. Koeller R. Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity // J. Appl. Mech., 1984. vol. 51, no. 2. pp. 299-307. doi: 10.1115/1.3167616.
  47. Koeller R. Polynomial operators, Stieltjes convolution, and fractional calculus in hereditary mechanics // Acta Mech., 1986. vol. 58, no. 3-4. pp. 251-264. doi: 10.1007/BF01176603.
  48. Bagley R. L., Torvik P. J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior // J. Rheology, 1986. vol. 30, no. 1. pp. 133-155. doi: 10.1122/1.549887.
  49. Bagley R. L. Power law and fractional calculus model of viscoelasticity // AIAA J., 1989. vol. 27, no. 10. pp. 1412-1417. doi: 10.2514/3.10279.
  50. Friedrich Chr. Mechanical stress relaxation in polymers: fractional integral model versus fractional differential model // J. Non-Newtonian Fluid Mech., 1993. vol. 46, no. 2-3. pp. 307-314. doi: 10.1016/0377-0257(93)85052-C.
  51. Podlubny I. Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / Mathematics in Science and Engineering. vol. 198 San Diego: Academic Press, 1999. xxiv+340 pp. doi: 10.1016/s0076-5392(99)x8001-5.
  52. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204. Amsterdam: Elsevier, 2006. xx+523 pp. doi: 10.1016/s0304-0208(06)x8001-5.
  53. Rossikhin Yu., Shitikova M. Comparative analysis of viscoelastic models involving fractional derivatives of different orders // Fract. Calc. Appl. Anal, 2007. vol. 10, no. 2. pp. 111-121, Retrieved from https://eudml.org/doc/11320 (August 11, 2017).
  54. Rossikhin Yu., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results // Appl. Mech. Rev, 2010. vol. 63, no. 1, 010801. 52 pp. doi: 10.1115/1.4000563.
  55. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Hackensack: World Scientific, 2010. xx+347 pp. doi: 10.1142/9781848163300.
  56. Sasso M., Palmieri G., Amodio G. Application of fractional derivative models in linear viscoelastic problems // Mech. Time-Depend. Mater., 2011. vol. 15, no. 4. pp. 367-387. doi: 10.1007/s11043-011-9153-x.
  57. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 1 (22). С. 255-268. doi: 10.14498/vsgtu932.
  58. Katicha S. W., Apeagyei A. K., Flintsch G. W, Loulizi A. Universal linear viscoelastic approximation property of fractional viscoelastic models with application to asphalt concrete // Mech. Time-Depend. Mater., 2014. vol. 18, no. 3. pp. 555-571. doi: 10.1007/s11043-014-9241-9.
  59. Pirrotta A., Cutrona S., Di Lorenzo S. Fractional visco-elastic Timoshenko beam from elastic Euler-Bernoulli beam // Acta Mech., 2015. vol. 226, no. 1. pp. 179-189. doi: 10.1007/s00707-014-1144-y.
  60. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Унгарова Л. Г. Математическое моделирование наследственно упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 1. С. 167-194. doi: 10.14498/vsgtu1456.
  61. Christensen R. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York: Academic Press, 1982. xii+364 pp. doi: 10.1016/b978-0-12-174252-2.x5001-7.
  62. Drozdov A. D. Modelling an anomalous stress relaxation in glassy polymers (the Kitagawa effect) // Math. Comput. Model, 1998. vol. 27, no. 12. pp. 45-67. doi: 10.1016/S0895-7177(98)00072-7.
  63. Löwe H., Müller P., Zippelius A. Dynamics of gelling liquids: A short survey (Review) //J. Phys. Cond. Matter, 2005. vol. 17, no. 20. pp. S1659-S1680. doi: 10.1088/0953-8984/17/20/002.
  64. Ghauri I. M., Afzal N., Anwar M., Siddique S. A. Anomalous stress relaxation behavior of polycrystalline aluminum at low temperature // Int. J. Mod. Phys. B, 2007. vol. 21, no. 10. pp. 1745-1754. doi: 10.1142/S0217979207036977.
  65. Drozdov A. D. Time-dependent response of polypropylene after strain reversal // Int. J. Solids Struct., 2010. vol. 47, no. 24. pp. 3221-3233. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2010.08.001.
  66. Khan F., Yeakle C. Experimental investigation and modeling of non-monotonic creep behavior in polymers // Int. J. Plasticity, 2011. vol. 27, no. 4. pp. 512-521. doi: 10.1016/j.ijplas.2010.06.007.
  67. Khan F., Yeakle C., Gomaa S. Characterization of the mechanical properties of a new grade of ultra high molecular weight polyethylene and modeling with the viscoplasticity based on overstress // J. Mech. Behav. Biomed. Mater., 2012. vol. 6, no. 2. pp. 174-180. doi: 10.1016/j.jmbbm.2011.10.009.
  68. Drozdov A. D., Dusunceli N. Unusual mechanical response of carbon black-filled thermoplastic elastomers // Mech. Mater., 2014. vol. 69, no. 1. pp. 116-131. doi: 10.1016/j.mechmat.2013.09.019.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».