Chaotic regimes of a fractal nonlinear oscillator


Cite item

Full Text

Abstract

In the paper, a fractal nonlinear oscillator was investigated with the aim of identifying its chaotic oscillatory regimes. The measure of chaos for a dynamic system is the maximum Lyapunov exponents. They are considered as a measure of the dispersal of several phase trajectories constructed under different initial conditions. To determine the maximum Lyapunov exponents, algorithms are used which are related either to the study of time series (Benettin’s algorithm) or to the direct solution of an extended dynamical system (Wolff’s algorithm). In this paper, the Wolf algorithm with the Gram-Schmidt orthogonalization procedure was used as the method for constructing Lyapunov’s maximum exponents. This algorithm uses the solution of the extended initial dynamical system in conjunction with the variational equations, and the Gram-Schmidt orthogonalization procedure makes it possible to level out the component of the maximum Lyapunov exponent when computing vectors along phase trajectories. Further, the Wolf algorithm was used to construct the spectra of Lyapunov exponents as a function of the values of the control parameters of the initial dynamical system. It was shown in the paper that certain spectra of Lyapunov exponents contain sets of positive values, which confirms the presence of a chaotic regime, and this is also confirmed by phase trajectories.It was also found that the fractal nonlinear oscillator has not only oscillatory modes, but also rotations. These rotations can be chaotic and regular.

About the authors

Roman I Parovik

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Far East Division, Russian Academy of Sciences; Vitus Bering Kamchatka State Univrsity

Email: parovik@ikir.ru
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Lab. of Modeling of Physical Processes ; Dean; Faculty of Physics and Mathematics 7, Mirnaya st., Paratunka, Kamchatkiy kray, 684034, Russian Federation; 4, Pogranichnaya st., Petropavlovsk-Kamchatskiy, 683032, Russian Federation

References

  1. Ахромеева Т С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. M: Физматлит, 2007. 488 с.
  2. Федоров В. К., Федянин В. В. Особенности режимов детерминированного хаоса преобразователей постоянного напряжения для ветро- и гелиоэлектростанций // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов, 2016. Т. 327, № 3. С. 47-56.
  3. Аливер В. Ю. Хаотические режимы в непрерывных динамических системах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2006. № 1. С. 65-84.
  4. Beninca E, Ballantine B., Ellner S. P., Huisman J. Species fluctuations sustained by a cyclic succession at the edge of chaos // Proc. Natl. Acad. Sci., 2015. vol. 112, no. 20. pp. 6389-6394. doi: 10.1073/pnas.1421968112.
  5. Solé R. V., Valls J. On structural stability and chaos in biological systems // J. Theor. Biol., 1992. vol. 155, no. 1. pp. 87-102. doi: 10.1016/S0022-5193(05)80550-8.
  6. Bodalea I., Oancea V. A. Chaos control for Willamowski-Rössler model of chemical reactions // Chaos, Solitons and Fractals, 2015. vol. 78. pp. 1-9. doi: 10.1016/j.chaos.2015.06.019.
  7. Peters E. E Chaos and order in the capital markets. New York, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, Inc., 1991. 240 pp.
  8. Верисокин А. Ю. Определение показателей Ляпунова на примере модели Селькова в присутствии внешней периодической силы // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета, 2013. № 2(26). С. 18-29.
  9. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985. vol. 16, no. 3. pp. 285-317. doi: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.
  10. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1. pp. 9-21. doi: 10.1007/BF02128236.
  11. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them, Part 2: Numerical application // Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1. pp. 21-30. doi: 10.1007/BF02128237.
  12. Bellman R. Introduction to matrix analysis. New York: McGraw-Hill Book Comp., 1970. xxiii+403 pp.
  13. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  14. Caputo M. Elasticit‘a e dissipazione. Bologna: Zanichelli, 1969. 150 pp.
  15. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма в ЖТФ, 2002. Т. 28, № 1. С. 67-73.
  16. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Soliton & Fractal, 1996. vol. 7, no. 9. pp. 1461-1477. doi: 10.1016/0960-0779(95)00125-5.
  17. Parovik R.I. Mathematical Model of a Wide Class Memory Oscillators // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2018. vol. 11, no. 2. pp. 108-122. doi: 10.14529/mmp180209.
  18. Босс В. Лекции по математике. Дифференциальные уравнения. Т. 2. М.: Либроком, 2014. 208 с.
  19. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 135 с.
  20. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications // Acta Math., 1912. vol. 35, no. 1. pp. 295-356. doi: 10.1007/BF02418820.
  21. Паровик Р. И. Существование и единственность задачи Коши для фрактального нелинейного уравнения осциллятора // Узб. мат. ж., 2017. № 4. С. 110-118.
  22. Паровик Р. И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дерПоля // Фундаментальные исследования, 2016. № 3-2. С. 283-287.
  23. Parovik R. I. Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction // Bulletin KRASEC. Phys. Math. Sci., 2015. vol. 10, no. 1. pp. 16-21. doi: 10.18454/2313-0156-2015-10-1-16-21.
  24. Паровик Р. И. Построение карт динамических режимов и бифуркационных диаграмм в нелинейной динамике с помощью среды компьютерной математики Maple / Математика и методика ее преподавания: Сборник научно-методических статей. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2015. С. 110-120.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».