Numerical method of value boundary problem decision for 2d equation of heat conductivity with fractional derivatives


Cite item

Full Text

Abstract

In this work a solution is obtained for the boundary problem for two-dimensional thermal conductivity equation with derivatives of fractional order on time and space variables by grid method. Explicit and implicit difference schemes are developed. Stability criteria of these difference schemes are proven. It is shown that approximation order-by time equal but by space variables it equal two. A solution method is suggested using fractional steps. It is proved that the transition module, corresponding to two half-steps, approximates the transition module for given equation.

About the authors

Vetlugin D Beybalaev

Daghestan State University

Email: kaspij_03@mail.ru
(к.ф.-м.н.), ст. преподаватель, каф. прикладной математики; Дагестанский государственный университет; Daghestan State University

Mumina R Shabanova

Institute of Geothermy Problems, Dagestan Research Center of RAS

Email: meil-sha@yandex.ru
научный сотрудник, лаб. математического моделирования и мониторинга геотермальных объектов; Институт проблем геотермии Дагестанского НЦ РАН; Institute of Geothermy Problems, Dagestan Research Center of RAS

References

  1. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ, 1992. - Т. 90, №3. - С. 354-368; англ. пер.: Nigmatullin R. R. Fractional integral and its physical interpretation// Theoret. and Math. Phys., 1992. - Vol.90, No. 3. - P. 242-251.
  2. Головизнин В. M., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях// Изв. РАН. Энергетика, 2004. - №4. - С. 121-130.
  3. Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 498 с.
  4. Кольцова Э. М., Василенко В. А., Тарасов В. В. Численные методы решения уравнений переноса во фрактальных средах// Журн. физ. химии, 2000. - Т. 74, №5. - С. 954-956.
  5. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнения дробной диффузии: Препринт № IBRAE-2002-01. - М.: ИБРАЭ РАН, 2002. - 57 с.
  6. Головизнин В.М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае: Препринт № IBRAE-2002-10. - М.: ИБРАЭ РАН, 2002. - 35 с.
  7. Головизнин В.М., Короткий И. А. Методы численных решений некоторых одномерных уравнений с дробными производными// Дифференц. уравнения, 2006. - Т. 42, №7. - С. 907-913; англ. пер.: Goloviznin V.M., Korotkin LA. Numerical methods for some one-dimensional equations with fractional derivatives// Differ. Equ., 2006. - Vol. 42, No. 7. - P. 967-973.
  8. Meerschaert M. M., Tadjeran С Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations// Appl. Numer. Math., 2006. - Vol.56, No. 1. - P. 80-90.
  9. Meerschaert M. M., Tadjeran С Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations// J. Comput. Appl. Math., 2004. - Vol. 172, No. 1. - P. 65-77.
  10. Tadjeran C, Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation// J. Comput. Phys., 2006. - Vol.213, No. 1. - P. 205-213.
  11. Lynch V.E., Carreras B.A., del-Castill-Negrete D., Ferreira-Mejias K.M., Hicks H. R. Numerical methods for the solution of partial differential equations of fractional order // J. Comput. Phys., 2003. - Vol. 192, No. 2. - P. 406-421.
  12. Liu Q., Liu F., Turner L, Anh V. Approximation of the Levy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method // J. Comput. Phys., 2007. - Vol. 222, No. 1. - P. 57-70.
  13. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев M. X. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 2006. - Т. 46, № 10. - С. 1871-1881; англ. пер.: Taukenova F. I., Shkhanukov-Lafishev М. Kh. Difference methods for solving boundary value problems for fractional-order differential equations// Comput. Math. Math. Phys., 2006. - Vol.46, No. 10. - P. 1785-1795.
  14. Лафишева M.M., Шхануков-Лафишев M.X. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008. - Т. 48, № 10. - С. 1878-1887; англ. пер.: Lafisheva М.М., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. A locally one-dimensional difference scheme for a fractional-order diffusion equation// Comput. Math. Math. Phys., 2008. - Vol.48, No. 10. - P. 1875-1884.
  15. Алиханов А. А. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. - №2(17). - С. 13-20.
  16. Бейбалаев В. Д. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Матем. моделирование, 2009. - Т. 21, №5. - С. 55-62.
  17. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. - Т. 1(18). - С. 267-270.
  18. Назаралиев М.А., Бейбалаев В. Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка// Вестн. ДГУ, 2008. - №6. - С. 46-53..
  19. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса
  20. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.
  21. Самарский А. А. Теория разностных схем: 2-е изд. - М.: Наука, 1983. - 616 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 1970 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».